大規模復雜換熱網絡聯動進化障礙分析及策略改進

摘要：針對啟發式算法在優化大規模換熱網絡時出現優化精細度不足的問題，提出一種以小負荷公用工程為導向的換熱單元耦合聯動強制進化策略。該策略以小負荷公用工程作為導向，構建具有耦合關系的換熱單元環路，并對環路內的換熱單元熱負荷進行聯動調整，同時保持環路外換熱單元的熱負荷和流股匹配不變。該策略旨在最大程度回收流股的能量，以減少小負荷公用工程使用帶來的費用增加。將策略應用于強制進化隨機游走算法并對兩個算例進行測試，算例H8C7 和H10C10 的優化結果分別為1 495 292 $/a 和1 713 637 $/a。與改進前相比，分別降低了7 466 $/a 和7 533 $/a；與文獻中最優解相比，分別減少了2 033 $/a 和1 450 $/a，證明了該策略的有效性。

關鍵詞：換熱網絡綜合；聯動進化障礙；耦合聯動；啟發式算法

中圖分類號：TQ 021.8 文獻標志碼：A

換熱網絡是石油化工、能源、鋼鐵等領域重要的能量回收系統。換熱網絡優化旨在合理確定物流間匹配換熱的結構以及相應的熱負荷分配，確保每一過程物流由初始溫度達到目標溫度，從而實現最小的年綜合費用（ total annual cost， TAC）或最大的熱回收量[1]。這對于節能減排和提高能源的綜合利用水平具有重要意義。

換熱網絡優化是典型的混合整數非線性規劃難題[2]。隨著規模的增加，其復雜度急劇上升，局部極值點星羅棋布，尋找全局最優解極為困難。隨著計算機技術的快速發展，模擬退火算法[3]、遺傳算法[4]、微分進化算法[5]、粒子群算法[6-7]、布谷鳥算法[8] 以及強制進化隨機游走算法（RWCE）[9] 等啟發式算法因控制參數少、易實現、隨機性，以及對目標函數和約束條件要求不高的特點，已成功應用于換熱網絡優化。然而，啟發式算法在優化后期存在早熟收斂的問題，易陷入局部極值無法跳出。

研究者針對啟發式算法的早熟收斂問題提出了多種改進策略。文獻[10] 使用模擬退火算法優化換熱網絡結構，并用粒子群算法對換熱量進行優化，改進的粒子群算法表現出較強的魯棒性。文獻[11] 為提高遺傳算法的效率和搜索能力，引入了局部優化策略、自適應方案、精細策略以及結構識別和結構控制策略，成功降低了固定投資費用和公用工程費用。文獻[12-14] 分別基于微分進化算法提出改進措施，包括采用動態更新策略、多種群混合、根據實時種群多樣性自適應調整縮放因子等策略來提升算法的全局優化性能。文獻[15] 提出了布谷鳥算法優化換熱網絡，并引入改進步長控制向量、設置最小熱負荷、接受差解等優化策略，改進了鳥巢建立機制，增強了全局搜索能力。文獻[16] 基于RWCE 算法建立了控制參數的動態協調策略，周期性更新種群個體的優化參數，實現個體優化路徑的動態調整，從而尋找最佳的參數匹配，提高了全局優化能力。以上啟發式算法在控制參數設置、進化選擇機制、提高種群多樣性、多算法混合等方面進行了改進，但在優化后期仍存在進一步提高的空間。

通過對文獻中的最優解結構進行分析，發現小負荷公用工程的使用成本相對較高。這些公用工程僅滿足流股距離目標溫度的小溫差，卻需要承擔固定投資、面積和運行費用。因此，若能消除這些小負荷公用工程而不引入新的換熱單元，就有望進一步降低年綜合費用，展現出結構的進化潛力。然而，由于啟發式算法具有一定的隨機性，很難簡單地通過調整控制參數來準確地消除小負荷公用工程而不引入新的換熱單元。為實現這一目標，應以消除小負荷公用工程為導向，將其承擔的熱負荷轉移到其他換熱單元。然而，執行熱負荷轉移必然會帶來其他費用的增加。只有當消除小負荷公用工程所帶來的費用減少量大于轉移熱負荷所帶來的費用增加量時，年度綜合費用才會進一步降低。

熱負荷的轉移需要考慮換熱單元之間的耦合關系。這種關系是指當同一流股的某個換熱單元的熱負荷發生變化時，會影響該流股的其他換熱單元的熱負荷，同時受到該換熱單元影響的換熱單元又會影響其他換熱單元。已有研究者利用換熱單元耦合關系展開了研究，文獻[17] 為解決優化后期費用難以降低的問題，提出通過大概率選擇少數幾個換熱器參與聯動進化，小概率選擇多個換熱器參與聯動進化，以提高算法的搜索效率和搜索精度。文獻[18] 提出了一種基于耦合關系的隨機消去換熱單元的方法，割裂換熱單元之間的耦合關系，打破已形成的冷熱流股的匹配關系，并重新建立新的匹配關系。文獻[19] 提出了結構識別方法，用于找到存在耦合關系的換熱單元，建立具有耦合關系的換熱單元間的聯系，從而顯著減少優化變量的數量以提高優化效率，并運用模擬退火算法優化換熱網絡，取得了比其他文獻更好的結果?？梢姡脫Q熱單元之間的耦合關系對換熱網絡結構進行局部調整，效果明顯。

考慮到小負荷公用工程仍有進化空間，提出一種以小負荷公用工程為導向的換熱單元耦合聯動強制進化策略。該策略的實現包括分析換熱單元聯動進化過程中可能遇到的障礙，選取符合條件的公用工程及與之具有耦合關系的換熱網絡環路，并強制消去該公用工程。通過該策略消除小負荷公用工程的影響，打破原有結構的僵局，進而提高算法的全局和局部搜索能力。

1 換熱網絡優化問題模型

在一些工業生產過程中，有些熱流需要被冷卻，有些冷流需要被加熱。為了充分利用能量，通常利用熱流來加熱冷流，同時利用冷流來冷卻熱流。換熱網絡優化旨在充分利用熱流和冷流之間的能量交換，以減少外部能源消耗，實現最佳的經濟效益。以H2C2 算例為例的有分流換熱網絡節點非結構模型[20]，如圖1 所示。

圖1 中：ndH 和ndC 分別代表熱節點組和冷節點組數； nfH 和nfC 分別表示熱分流比和冷分流比；mdH 和mdC 分別表示熱流體分支和冷流體分支上的節點數。熱流體用紅色箭頭表示，箭頭指向右側，表示冷卻方向，標注為H；冷流體用藍色箭頭表示，箭頭指向左側，表示加熱方向，標注為C。可能的換熱器位置通過空心熱節點和冷節點進行定位。隨機匹配生成換熱器后，由一組黑色實心圓和它們之間的連接線表示一個換熱器，其上的Q 表示該位置換熱器的熱負荷。HU 和空心圓圈的組合表示熱公用工程，CU 和空心圓圈的組合表示冷公用工程。圖1 展示了兩個熱流體和兩個冷流體，共有4 個換熱器、2 個熱公用工程和2 個冷公用工程。

1.1 目標函數

換熱網絡優化數學模型包括目標函數和約束條件，目標函數為最小年綜合費用 f，包括固定投資費用、面積費用和運行費用。目標函數如下：

等式右邊第一項為換熱器的固定投資費用和 面積費用；第二項為冷公用工程的固定投資費 用、面積費用和運行費用；第三項為熱公用工程 的固定投資費用、面積費用和運行費用。式中： i，j，nNH分別表示熱流體、冷流體、熱流體節點 編號；Fe，FC和Fh分別是換熱器、冷公用工程和 熱公用工程的固定投資費用；ZnNH，Zi和Zj是二元 變量，分別表示換熱器、冷公用工程與熱流體i、 熱公用工程與冷流體j的熱交換情況；Cae， Cac和Cah是換熱器、冷公用工程和熱公用工程的 面積費用系數；β是面積費用指數；Ccu和Chu是 冷、熱公用工程的運行費用系數；Qcu，i和Qhu，j分 別表示第i股熱流體的冷公用工程熱負荷和第j股冷 流體的熱公用工程熱負荷；AnNH，Acu，i和Ahu，j 別是換熱器、冷公用工程和熱公用工程的面積， 換熱器面積AnNH由式（2）?（4）計算可得。

式中：GnNH為第nNH個熱節點位置的換熱器熱負 荷； mnNH為與第nNH個熱節點相連接的冷節點序 號；Ui，j為熱流體與冷流體間的傳熱系數；hi為第 i股熱流體的換熱系數；LnNH為對數平均溫差，當 換熱器兩端溫差為0時，采用算數平均溫差計算；Tin nNH，Tout nNH，Tin mnNH和Tout mnNH分別表示第nnh個 熱節點位置的換熱器的進口溫度、出口溫度與第 nNH個熱節點換熱器相連接的冷節點rnnNH位置的進 口溫度、出口溫度。

冷公用工程面積Acu，i的計算如式（5）?（8）計 算可得。

2 換熱單元聯動進化障礙分析

H22C17 算例是換熱網絡優化中的經典大規模算例，包含22 股熱流體和17 股冷流體，其流體及費用參數見文獻[21]。由于涉及大量流股和類似的流股參數，容易導致換熱網絡中出現許多局部極值點，且后期的結構變異難度較大。為了分析在算法優化過程中陷入停滯、無法擺脫局部最優解的現象，下面以該算例為例，探討換熱單元之間的耦合關系及可能遇到的進化障礙。

圖2 為使用RWCE 算法 [9] 獲得的換熱網絡結構。主要參數設置如下：種群規模為10，最大游走步長為100 kW，新生成最大換熱量為150 kW，新生成換熱器概率為0.2，接受差解概率為0.01。具有耦合關系的換熱單元可以形成獨立的環路，這表示該環路中換熱單元參數變化不會影響結構中的其他換熱單元。根據是否存在公用工程，將環路分為3 類。第1 類是不存在公用工程的環路，第2 類是存在一個公用工程的環路，第3 類是存在兩個公用工程的環路，具體分類如圖3 所示。

在圖2 的C3 流股上有一個熱負荷為59.65 kW的小負荷熱公用工程。為了避免生成新的換熱單元增加費用，對包含該公用工程的環路進行如圖4所示的處理，再回代入RWCE 算法優化后得到如圖5 所示的結構。

從圖中可以看出，經過耦合聯動后，獲得的TAC（圖5 結構）比基礎RWCE 算法（圖2 結構）下降了7 618 $/a。費用下降的原因在于減少了C3 流股上熱公用工程的固定投資費用、運行費用和面積費用以及H21 流股上的冷公用工程的運行費用和面積費用。盡管流股H21 與C3 匹配的換熱器增加了59.65 kW 的熱負荷，導致面積費用增加，但在費用權衡后仍實現了7 618 $/a 的降低。如果沒有使用耦合聯動方法，由于算法的隨機性，難以在調整控制參數時剛好找到該結構。通過以上分析，該方法能夠避免陷入局部最優解，促進結構變異，獲得更具潛力的結構。

3 換熱單元耦合聯動強制進化策略提出

根據以上分析得出如下結論：首先，在優化結果中存在小負荷公用工程，啟發式算法的隨機性很難完全消除該公用工程，因此結構趨于固化；其次，隨著優化程度的加深，結構變異變得更加困難，導致難以產生新的組合方式?；谝陨蠁栴}，本研究提出一種以公用工程為導向的換熱單元耦合聯動的強制進化策略，旨在打破結構固化現象。該策略的核心思想是充分利用流股的能量回收，從而減少小負荷公用工程的使用所帶來的費用增加。通過以公用工程為導向，建立換熱單元耦合的環路，對環路內的換熱單元聯動增減，同時保持環路外的換熱單元負荷大小與匹配關系不變。通過最大限度減少公用工程的使用，促進結構變異，從而增強局部搜索能力，獲得更優的能量分布，最終達到降低年綜合費用的目標。

圖6 為以小負荷公用工程為導向的換熱單元環路耦合聯動示意圖，紫色虛線連接的換熱單元構成環路，綠色帶箭頭的虛線展示了耦合聯動優化路徑。圖中，熱公用工程熱負荷QHU，"j代表小負荷公用工程，所有由綠色虛線連接的換熱單元構成一個環路。綠色虛線箭頭朝下表示需要減小該位置的熱負荷，箭頭朝上表示需要增加該位置的熱負荷。為避免使用小負荷公用工程并避免在流股上額外增加換熱單元，需按以下步驟處理：（a）增加② 號換熱單元的熱負荷， 增加量為QHU， j；（ b） 減少③ 號換熱單元的熱負荷， 減少量為QHU， j；（c）增加①號換熱單元的熱負荷，增加量為QHU，"j。通過這些處理，強制消去小負荷公用工程，促進結構變異，以尋找可能的最優解。圖7為將該策略應用于RWCE 算法的實施流程圖，其中藍色部分為換熱單元耦合聯動強制進化策略的流程，具體說明如下。

步驟1 RWCE 算法部分的步驟詳見文獻[9]。

步驟2 策略啟動條件判斷。為了實時跟蹤換熱網絡的TAC 變化情況，設定一個步數停滯計數器K 和步數停滯閾值K0。當TAC 不下降時，步數停滯計數器K 開始計數。當K 值大于步數停滯閾值K0，啟動換熱單元耦合聯動強制進化策略，結構強制更新后，將步數停滯計數器K 重置為0。

步驟3 根據算例設定小負荷公用工程的負荷閾值，當公用工程的熱負荷小于或等于負荷閾值，符合小負荷條件。依次選取小負荷公用工程所在的流股，識別與該公用工程相關聯的換熱網絡環路。若環路內不存在兩個公用工程，則返回繼續選擇下一個小負荷公用工程流股。當存在兩個公用工程，則根據以下3 種情況對該環路進行耦合聯動處理。

（a）一個換熱器耦合聯動兩個公用工程，如圖8所示，則進行式（21）的操作。

Q1′= Q1 + QB，"i 2 NH （21）

式中：G1為該換熱器的熱負荷；G1'為聯動后該換 熱器的熱負荷；QB為小熱負荷公用工程熱負荷。

（b）兩個換熱器耦合聯動兩個公用工程，如圖9 所示。第1個聯動的換熱器按式（21）操作，第 2個聯動的換熱器按式（22）操作。

G2' = G2- Gb， i ∈ Nh （22）

式中：G2為第2個耦合的換熱器的熱負荷；G2'為 第2個耦合的換熱器聯動后的熱負荷。

（c）有n個換熱器耦合，如圖10所示，對第 n個換熱器按式（23）操作。

Gφ' = Qφ+（-l）φ+1QB，i∈NH，φ=l，2，…，ε（23）

式中：Qφ為第φ個耦合的換熱器負荷；Gφ'為其聯 動后的熱負荷。

步驟4強制接受耦合聯動后的結構，判斷算 法終止條件，滿足條件則結束，不滿足條件則繼 續優化。

4 策略有效性驗證

為驗證策略的有效性，以H22C17 算例為例，參數設置與上文RWCE 算法保持一致。使用具有換熱單元耦合聯動強制進化策略的改進RWCE 算法優化該算例，得到如圖11 所示的換熱網絡結構，其TAC 為1 881 364 $/a。與基礎RWCE 算法結果（圖2 所示）相比，TAC 降低了18 760 $/a；與圖5 結果相比，TAC 降低了11 142 $/a?？梢姡摬呗源龠M了結構變異，實現了更佳的能量分布。費用下降的原因在于C13 流股上的熱公用工程被消去（見圖12），導致相應的固定投資費用、運行費用和面積費用減少。通過聯動調整結構中局部換熱單元的熱負荷，最終實現費用減少量大于費用增加量，整體結果是費用下降。

5 算例驗證

大型復雜換熱網絡由于流股眾多，換熱匹配復雜，需要配置相對較多的公用工程，存在大量的局部極值點，陷入局部極值的可能性更大。因此，從眾多算例中選用僅次于H22C17 算例的兩個大規模復雜換熱網絡H8C7 和H10C10 進行計算與討論。

5.1 算例1

H8C7 算例源自文獻[22]，包含8 股熱流體和7 股冷流體， 其流體及費用參數見文獻[22]。Bj?rk 課題組提出了該算例，并結合確定性方法和遺傳算法獲得到了TAC 為1 513 854 $/a 的換熱網絡結構[22]。此后，國內外學者對該算例展開了進一步優化研究，Pav?o 等[23] 采用粒子群算法和模擬退火算法，獲得了TAC 為1 525 394 $/a；隨后，Pav?o 等[24] 利用模擬退火算法和火箭煙花算法得到了TAC 為1 497 325 $/a。表1 為該算例的歷史最優結果對比情況。本文分別使用改進前后的RWCE 算法進行求解，使用的參數設置與上文相同。經過RWCE 優化，得到的TAC 為1 502 758 $/a；而改進后的RWCE 算法優化結果為1 495 292$/a，比改進前降低了7 466 $/a。圖13 和圖14 為改進前后優化得到的結構。

比較圖13 和圖14 的網絡結構，均由11 個換熱器組成。其中，有8 個換熱器的熱冷流股匹配關系和相應的熱負荷一致，而剩余的3 個換熱器具有相同的流股匹配關系，但對應的熱負荷略有變化。在圖15 中，C3 流股存在一個小負荷公用工程，其熱負荷為78.47 kW。該公用工程的使用提供了78.47 kW 的熱負荷，滿足了C3 流股達到目標溫度的要求，但帶來了面積費用、運行費用以及固定投資費用等較高的成本。

觀察圖15 中的換熱單元耦合聯動路徑。當HX6 熱負荷增加了78.47 kW，C3 流股的熱負荷需求被滿足，因此，不再需要使用冷公用工程。同時，隨著HX6 熱負荷的變化，與之耦合的換熱器HX7 和HX10 也發生聯動變化。HX7 的熱負荷減小了78.47 kW，而HX10 熱負荷增加了78.47 kW，而環路外換熱單元熱負荷及匹配保持不變。此外，由于HX10 熱負荷增加，導致H8 流股上熱公用工程的熱負荷減小，這意味著換熱網絡的熱回收能力得到增強。

RWCE 算法在優化過程中具有一定的隨機性，這使得在已搜索到的最優結構基礎上難以進一步搜索到涉及耦合聯動的結構變化。具體來說，無法準確找到需要改變換熱器HX6、HX7 和HX10 的熱負荷的換熱單元環路，即對他們分別增加78.47 kW，減小78.47 kW 和增加78.47 kW，而環路外的優化路徑保持不變。策略有效性在于加入策略后，能夠識別小負荷公用工程為導向的環路，強制進化耦合聯動的換熱單元熱負荷變化，促進結構的變異，獲得更加合理的熱負荷分布，從而推進優化過程朝著更有利的方向發展。

5.2 H10C10 算例

H10C10 算例源自文獻[25]，包含10 股熱流體和10 股冷流體，其流體及費用參數見文獻[25]?；ARWCE 算法和改進后的RWCE 算法使用相同的優化參數，與上文參數相同。經過RWCE 優化得到的換熱網絡的TAC 為1 721 170 $/a，而經過改進后的RWCE 算法得到的TAC 為1 713 637 $/a，比改進前降低了7 533 $/a。圖16 和圖17 為改進前后的結構圖。

觀察圖16 和圖17，兩個換熱網絡中均包含13 個換熱器，其中10 個換熱器的流股匹配及相應熱負荷保持一致，其余3 個換熱器HX10，HX11和HX12 的流股匹配相同，但熱負荷各不相同。圖18 為換熱單元耦合聯動優化路徑。在策略作用下，識別到C7 流股的熱公用工程是小負荷公用工程。以該公用工程為導向，HX12 熱負荷增加了70.25 kW，導致與HX12 耦合的C7 流股上的熱公用工程隨之消失，與HX12 耦合的H9 流股上的HX10 熱負荷減少了70.25 kW。與HX10 耦合的C1 流股上的HX11 熱負荷增加了70.25 kW，與之耦合在H4 流股上的冷公用工程熱負荷減少了70.25 kW。兩個結構對比發現大部分換熱單元熱負荷保持不變，只有少數換熱單元聯動變化。這說明策略推動了結構的變異，找到了有潛力的結構。表2 對比了本研究與文獻的結果。本研究獲得的TAC 為1 713 637 $/a，比文獻中的1 715 088 $/a低了1 450 $/a，證明了該策略的有效性。

6 結 論

本研究提出了一種以小負荷公用工程為導向的換熱單元耦合聯動強制進化策略。通過以小負荷工程為導向，建立具有耦合關系的換熱單元環路，對環路內的換熱單元進行耦合聯動強制進化，同時保持環路外的換熱單元不變，使其跳出局部極值點并持續搜索，以獲得更優結構。通過H8C7 和H10C10 兩個算例的驗證，該策略促使換熱網絡結構變化，并得到了比歷史文獻更低的優化結果。H8C7 和H10C10 算例結果分別為1 495 292 $/a 和1 713 637 $/a。與RWCE 優化結果相比，分別降低了7 466 $/a 和7 533 $/a。同時，與歷史文獻最優解相比， 分別降低了2033 $/a 和1 450 $/a，證明了該策略的有效性。

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（編輯：丁紅藝）

基金項目：國家自然科學基金資助項目（21978171，51976126）；中國博士后科學基金資助項目（2020M671171）