稀疏采樣單測(cè)量面相干聲場(chǎng)分離機(jī)理及方法研究

摘 要：為改進(jìn)目前等效源法聲場(chǎng)分離技術(shù)中存在的測(cè)點(diǎn)數(shù)目多、適用范圍小等問題，提出一種稀疏采樣方法分離相干聲場(chǎng)。該方法首先對(duì)等效源強(qiáng)與重建面聲壓之間的傳遞矩陣進(jìn)行奇異值分解，獲取聲場(chǎng)的一組稀疏基；然后通過等效源強(qiáng)建立起全息面上測(cè)量聲壓和測(cè)量法向振速與系數(shù)向量之間的關(guān)系；最后通過稀疏正則化求解系數(shù)向量的解，從而求出聲場(chǎng)的分離聲壓和分離法向振速。數(shù)值仿真分析結(jié)果表明：在測(cè)量點(diǎn)數(shù)較少的情況下，該方法相對(duì)于單全息面等效源法具有更高的分離精度；同時(shí)，該方法提高了等效源向量的稀疏度，擴(kuò)大了聲場(chǎng)分離的頻率范圍，在較高頻率下仍然具有良好的分離精度。

關(guān)鍵詞：等效源法；稀疏采樣；聲場(chǎng)分離；相干聲場(chǎng)

中圖分類號(hào)：TB52 DOI：10.16375/j.cnki.cn45-1395/t.2024.01.002

0 引言

近場(chǎng)聲全息（near field acoustic holography， NAH）技術(shù)[1]突破了早期聲全息的瑞利分辨率限制，是一種空間高分辨率的噪聲識(shí)別和定位技術(shù)，在聲場(chǎng)可視化和重建方面有著巨大的技術(shù)優(yōu)勢(shì)和廣泛的應(yīng)用前景。輸入全息面上測(cè)量得到的聲壓和質(zhì)點(diǎn)振速等聲學(xué)量，通過全息算法便可重建整個(gè)三維空間任一點(diǎn)處的所有聲學(xué)量。然而，當(dāng)空間有多個(gè)聲源時(shí)，全息面測(cè)量所獲得的聲學(xué)量為多個(gè)聲源的疊加，若以該聲學(xué)量作為輸入來進(jìn)行聲源的識(shí)別和聲場(chǎng)的重建，將會(huì)帶來巨大的誤差。近場(chǎng)聲全息技術(shù)要求測(cè)量時(shí)所有聲源位于全息面一側(cè)，另一側(cè)聲場(chǎng)為自由場(chǎng)，工程測(cè)量中，難以滿足這一條件，限制了近場(chǎng)聲全息技術(shù)的應(yīng)用。

如何將目標(biāo)聲源信息從復(fù)雜聲場(chǎng)中提取出來，成為聲源定位和聲源重建的關(guān)鍵。聲場(chǎng)分離技術(shù)能夠很好地解決有多個(gè)相干聲源位于測(cè)量面兩側(cè)的問題。根據(jù)聲場(chǎng)分離的原理，聲場(chǎng)分離技術(shù)可以分為基于空間Fourier變換法[2]、邊界元法[3]、統(tǒng)計(jì)最優(yōu)法[4]、波疊加法[5]和等效源法（equivalent source method， ESM）[6]等。在這些聲場(chǎng)分離方法的基礎(chǔ)上，根據(jù)全息面的數(shù)量，分為單面法和雙面法；根據(jù)輸入的全息面參數(shù)，可以分為基于聲壓-振速（p-v）的單全息面聲場(chǎng)分離、基于聲壓（p-p）和基于振速（v-v）的雙全息面聲場(chǎng)分離。這些方法需要知道2個(gè)全息面上的聲壓或振速，或者同時(shí)知道一個(gè)全息面上的聲壓和振速。采用這些方法進(jìn)行聲場(chǎng)分離，需要的采樣點(diǎn)數(shù)目較多。雙測(cè)量面2個(gè)全息面距離的選擇沒有通用的準(zhǔn)則，只能依靠經(jīng)驗(yàn)，如果參數(shù)選擇不當(dāng)，會(huì)產(chǎn)生較大的分離誤差。Mao等[7-9]提出基于單全息面振速進(jìn)行聲場(chǎng)分離。這些方法過于依賴目標(biāo)聲源內(nèi)部等效源的配置，而且需要預(yù)先了解目標(biāo)聲源的形狀和大致位置，需要一定的先驗(yàn)知識(shí)。

近年來，基于稀疏正則化的壓縮感知（compre-ssive sensing， CS）技術(shù)引入近場(chǎng)聲全息技術(shù)中，其采用少于傳統(tǒng)需要量的測(cè)量數(shù)目實(shí)現(xiàn)了高分辨率聲場(chǎng)重建[10]。壓縮感知[11]是一種潛在的技術(shù)，可以用于NAH以擺脫處理空間采樣造成的限制，當(dāng)采樣稀疏時(shí)，CS能夠利用信號(hào)的稀疏性解決欠定問題，同時(shí)提供高分辨率的重建精度。Fernandez-Grande等[12]在CS框架中擴(kuò)展了基于等效源法的NAH，并討論了傳遞矩陣相干性對(duì)重建聲場(chǎng)魯棒性的影響。隨后，Bi等[13]將CS理論應(yīng)用于利用輻射聲阻抗矩陣奇異值分解獲得等效源強(qiáng)的稀疏基，并利用[l1]范數(shù)促進(jìn)稀疏解的壓縮模態(tài)等效源法。Hu等[14]提出了利用重建矩陣奇異值分解得到聲場(chǎng)一些列正交基，大大提高了解的稀疏性。CS已經(jīng)在聲場(chǎng)重建中得到了廣泛的關(guān)注，但在聲場(chǎng)分離技術(shù)中尚未得到廣泛應(yīng)用。聲場(chǎng)分離作為聲場(chǎng)重建的預(yù)處理，在進(jìn)行聲場(chǎng)分離時(shí)同樣受限于奈奎斯特采樣定理的限制，可引入CS來減少測(cè)點(diǎn)數(shù)目，實(shí)現(xiàn)聲場(chǎng)的精確分離。Bi等[15]將稀疏采樣引入聲場(chǎng)分離技術(shù)中，提出了稀疏框架下基于等效源法的近場(chǎng)聲全息技術(shù)。胡定玉等[16]提出了在雙全息面下對(duì)虛源面與測(cè)量面之間的聲壓傳遞矩陣進(jìn)行奇異值分解，從而獲得聲源源強(qiáng)的稀疏基，然后利用稀疏正則化，分離相干聲場(chǎng)的聲壓。

單全息面聲場(chǎng)分離雖然在一定程度上減少了測(cè)量點(diǎn)的數(shù)目，但在奈奎斯特采樣定理下，仍然需要較多的測(cè)量點(diǎn)且需要一定的先驗(yàn)知識(shí)。本文將稀疏采樣理論結(jié)合聲場(chǎng)分離技術(shù)，將聲壓重建矩陣奇異值分解，獲得聲場(chǎng)的正交基，利用等效源強(qiáng)與聲壓和法向振速之間的關(guān)系，實(shí)現(xiàn)了較少測(cè)點(diǎn)下聲壓和振速的精確分離；建立了單全息面聲場(chǎng)分離的模型，通過仿真實(shí)驗(yàn)證明了該方法的有效性，并對(duì)比了其在不同頻率聲場(chǎng)中的分離精度，證明了該方法的優(yōu)越性。

1 等效源法基本原理

ESM的基本原理是振動(dòng)體內(nèi)部產(chǎn)生的聲場(chǎng)可由其內(nèi)部或測(cè)量表面布置的一系列等效源產(chǎn)生的聲場(chǎng)疊加來代替[17]。本文使用點(diǎn)源作為等效源。假設(shè)使用[N]個(gè)等效源來模擬實(shí)際聲場(chǎng)，那么聲源在聲場(chǎng)中任意一點(diǎn)處輻射產(chǎn)生的壓力[p]和質(zhì)點(diǎn)振速[v]可表示為

[p（r）=jρcki=1Nq（ri）g（r，ri）]， （1）

[v（r）=i=1Nq（ri）?ng（r，ri）]， （2）

式中：[r]為聲壓[p]處源點(diǎn)的位置；[j=-1]；[ρ]是介質(zhì)密度；[c]為聲速；[k=ω/c]，表示波數(shù)，[ω]為角頻率；[q（ri）]為位于[ri]處第[i]個(gè)等效源的源強(qiáng)；[?n]為法向梯度的函數(shù)運(yùn)算符；[g（r，ri）]為自由場(chǎng)的格函數(shù)，可以表示為[g（r， ri）=e-jk|r-ri|4π|r-ri|]。

假設(shè)全息面上有[M]個(gè)測(cè)量點(diǎn)，這時(shí)全息面上的聲壓和法向振速可以表示為

[Ph=Gq]， （3）

[Vh=Dq]， （4）

式中：[Ph]表示全息面上采樣點(diǎn)測(cè)量得到的聲壓向量，其維度為[M×1]；[q]表示布置在等效源面上的等效源點(diǎn)的源強(qiáng)向量，其維度為[N×1]；[G]表示[Ph]和[q]兩者之間的傳遞矩陣，其維度大小為[M×N]；[Vh]表示全息面上采樣點(diǎn)測(cè)量得到的質(zhì)點(diǎn)法向振速；[D]表示等效源點(diǎn)產(chǎn)生的等效源強(qiáng)與法向振速之間的傳遞矩陣，其維度大小為[M×N]。

由式（3）、式（4）可看出，通過測(cè)得的[M]個(gè)測(cè)量點(diǎn)聲壓或法向振速，從而求出等效源強(qiáng)向量，便可計(jì)算聲場(chǎng)中任意位置處的聲壓和法向振速，

[Pr=Grq]， （5）

[Vr=Drq]， （6）

式中：[Pr]表示重建面上的聲壓向量；[Gr]為等效源強(qiáng)與重建面聲壓之間的傳遞矩陣；[Vr]表示重建面上的法向振速向量；[Dr]表示等效源強(qiáng)與重建面法向振速之間的傳遞矩陣。

當(dāng)全息測(cè)量面上使用的采樣點(diǎn)數(shù)小于在等效源面上布置的等效源點(diǎn)數(shù)量時(shí)，即[Mlt;N]，式（3）、式（4）求解等效源強(qiáng)向量為不適定的聲學(xué)逆問題，可以通過最小化問題尋求具有最小二范數(shù)的解來求解，即

[argminq || q ||2，]

[subject to || Ωh-Γhq ||2≤ε，] （7）

式中：[Ωh=Ph， VhT]；[Γh=Gh， DhT]；[ε]為一個(gè)與噪聲有關(guān)的誤差項(xiàng)。在存在噪聲的情況下，通常使用Tikhonov正則化來解決不適定問題以穩(wěn)定求解過程，

[argminq || Ωh-Γhq ||22+λ || q ||22，] （8）

式中：[λ]為正則化參數(shù)，可通過L曲線法和廣義交叉驗(yàn)證法獲得。由式（8）求出等效源強(qiáng)向量后代入式（5）、式（6）便可實(shí)現(xiàn)聲場(chǎng)的重建。

在許多情況下，大部分等效源對(duì)聲場(chǎng)貢獻(xiàn)很小，僅有一小部分便可重建聲場(chǎng)，這時(shí)等效源強(qiáng)呈現(xiàn)稀疏或者近似稀疏表示，可以使用[l1]范數(shù)代替式（7）中的[l2]范數(shù)求解等效源強(qiáng)向量，即

[argminq || q ||1，]

[subject to || Ωh-Γhq ||2≤ε.] （9）

2 稀疏采樣聲場(chǎng)分離理論

對(duì)式（5）中聲源內(nèi)部布置的等效源產(chǎn)生的聲源源強(qiáng)與重建面聲壓之間的傳遞矩陣[Gr]進(jìn)行奇異值分解，

[Gr=UPΣPVTP，] （10）

式中：[UP]和[VP]分別為等效源強(qiáng)與重建面之間聲壓傳遞矩陣[Gr]的左酉矩陣和右酉矩陣；[ΣP]為通過對(duì)[Gr]奇異值分解得到的奇異值組成的對(duì)角矩陣，其對(duì)角線上的第[i]個(gè)元素為[λPi]。

將式（10）代入式（5）、式（6）可將重建面的聲壓和法向振速進(jìn)行稀疏表示，即

[Pr=i=1NuPiλPivTPi，q=i=1NuPiwPi=UPWP，] （11）

[Vr=Dr（Gr）-1i=1NuPiwPi=UVWP.] （12）

式（11）、式（12）通過奇異值分解將聲壓和法向振速表示為左酉矩陣和相應(yīng)系數(shù)向量之間的乘積。這時(shí)的聲壓和法向振速可以稀疏表示，利用稀疏采樣理論，以遠(yuǎn)低于奈奎斯特采樣定理的采樣點(diǎn)數(shù)獲取聲源的全部信息[16]。

基于單面聲壓和法向振速測(cè)量的相干聲場(chǎng)分離模型如圖1所示。

根據(jù)疊加原理，全息面上的測(cè)量聲壓和測(cè)量法向振速為2個(gè)聲源單獨(dú)輻射產(chǎn)生的聲壓和法向振速疊加得到，

[PH=P1+P2，] （13）

[VH=V1-V2，] （14）

式中：[P1]和[P2]分別為聲源[S1]和[S2]在全息測(cè)量面[H]上輻射的聲壓向量；[V1]和[V2]分別為聲源[S1]和[S2]在全息測(cè)量面[H]上輻射的法向振速向量。根據(jù)式（3）、式（5），聲源[S1]和[S2]單獨(dú)向全息測(cè)量面輻射的聲壓和法向振速可以表示為

[P1=G1q1，] " " "（15）

[P2=G2q2，] （16）

[V1=D1q1，] （17）

[V2=D2q2，] （18）

式中：[G1]和[G2]分別為目標(biāo)聲源[S1]和干擾聲源[S2]的等效源強(qiáng)與全息測(cè)量面[H]上測(cè)點(diǎn)聲壓之間的傳遞矩陣；[D1]和[D2]分別為目標(biāo)聲源[S1]和干擾聲源[S2]的等效源強(qiáng)與全息測(cè)量面[H]上測(cè)點(diǎn)法向振速之間的傳遞矩陣。

將式（14）、式（17）—式（18）代入式（13），可以得到

[P1=PH+G2D+2VHI+G2D+2D1G+1.] （19）

同理，將式（13）、式（15）、式（17）、式（18）代入式（14），可以得到

[V1=V+D2G+2PI+D2G+2G1D+1，] （20）

其中，式（19）、式（20）為基于等效源法的單全息面聲場(chǎng)分離公式。

由式（5）、式（6）可知，聲源[S1]和[S2]在聲場(chǎng)中的重建聲壓和重建法向振速表示為

[Pr1=Gr1q1，] （21）

[Pr2=Gr2q2，] （22）

[Vr1=Dr1q1，] （23）

[Vr2=Dr2q2.] （24）

對(duì)式（21）、式（22）求逆，可以得到聲源[S1]和[S2]的等效源強(qiáng)向量為

[q1=（Gr1）-1Pr1，] （25）

[q2=（Gr2）-1Pr2.] （26）

由式（11）、式（12）可得到重建聲壓和重建法向振速的矩陣表示，即

[Pr1=UP1W1，] （27）

[Pr2=UP2W2，] （28）

[Vr1=UV1W1，] （29）

[Vr2=UV2W2，] （30）

式中：[UP1]和[UP2]分別為聲源[S1]和[S2]等效源強(qiáng)與重建面之間聲壓傳遞矩陣[Gr1]和[Gr2]通過奇異值分解得到的左酉矩陣；[UV1=Dr1（Gr1）-1UP1]；[UV2=Dr2（Gr2）-1UP2.]這時(shí)目標(biāo)源和干擾源的聲壓和法向振速可以表示為

[P1=G1（Gr1）-1UP1W1=Φ1W1，] （31）

[P2=G2（Gr2）-1UP2W2=Φ2W2，] （32）

[V1=D1（Gr1）-1UP1W1=Ψ1W1，] （33）

[V2=D2（Gr2）-1UP2W2=Ψ2W2，] （34）

將上式寫成矩陣形式，可表示為

[Ω=ΘW，] （35）

式中：[Ω=PV]；[Θ=Φ1Φ2Ψ1Ψ2]；[W=W1W2]。

通過對(duì)等效源強(qiáng)與重建面之間聲壓傳遞矩陣[Gr1]和[Gr2]奇異值分解，獲得聲源[S1]和[S2]輻射信息的稀疏表示。這時(shí)可將CS理論直接引入式（33），通過求解[l1]范數(shù)最小化問題獲得系數(shù)向量的解，即

[MinimizeW || Ω-ΘW ||22+λ||W ||1.] （36）

使用Matlab中CVX工具箱進(jìn)行稀疏正則化，求解出系數(shù)向量[W]，將其代入式（31）—式（34）便可求解出每個(gè)聲源在全息測(cè)量面上輻射的聲壓和法向振速，從而實(shí)現(xiàn)相干聲源的聲場(chǎng)分離。

3 數(shù)值模擬分析

為了驗(yàn)證本文所提方法對(duì)聲場(chǎng)分離的可行性，對(duì)其進(jìn)行了數(shù)值仿真實(shí)驗(yàn)，聲場(chǎng)位置如圖1所示。在全息測(cè)量面[H]兩側(cè)布置2個(gè)脈動(dòng)球作為聲源，聲源1為目標(biāo)源，將其布置于[S1（-0.15，0，0）]，聲源2作為干擾源，將其布置于[S2（0.15，0，0.2）]。2個(gè)聲源大小一致，其半徑均為0.01 m。傳播介質(zhì)為空氣，其密度取為1.21 kg/m3，傳播速度取為34 m/s。聲源的表面徑向振速為0.25 m/s。重建面[R1]與全息測(cè)量面[H]之間的距離為[δ1]，重建面[R2]與全息測(cè)量面[H]之間的距離為[δ2]，[δ1=δ2=0.02 m]。等效源布置在與聲源同中心的等效源面上。測(cè)量面[H]位于[ZH=0.1 m]處，測(cè)點(diǎn)位于大小為[0.5 m×0.5 m]的網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)上，網(wǎng)格間距為0.025 m，從測(cè)量面中隨機(jī)選取36個(gè)采樣點(diǎn)，測(cè)量面上的測(cè)點(diǎn)分布如圖2所示。為了使仿真結(jié)果更加接近真實(shí)測(cè)量結(jié)果，在測(cè)量面上加入了高斯白噪聲，信噪比為[30 dB]。為了定量地描述誤差，將其定義為

[EP=Pth-Pcal2Pth2，] （37）

[EV=Vth-Vcal2Vth2，] （38）

式中：[Pth]和[Vth]分別為目標(biāo)源的聲壓理論值和法向振速理論值；[Pcal]和[Vcal]分別為聲壓分離值和法向振速分離值。

當(dāng)頻率為1 000 Hz時(shí)，按照上述條件仿真得到了全息測(cè)量面[H]上的聲壓和法向振速測(cè)量值、聲源S1單獨(dú)輻射的聲壓和法向振速理論值，以及使用本文方法得到的聲壓和法向振速分離值，如圖3所示。圖3（a）和（b）為全息測(cè)量面測(cè)量聲壓、理論聲壓以及分離聲壓的實(shí)部和虛部對(duì)比圖，圖3（c）和（d）為全息測(cè)量面測(cè)量的法向振速、理論振速以及分離法向振速的實(shí)部和虛部對(duì)比圖。從圖中可以看出，由于干擾源的存在，全息測(cè)量面上的聲壓和法向振速測(cè)量值與理論值存在較大的差異，同時(shí)可以看出聲壓和法向振速理論值與使用本文提出的分離方法得到的分離值在實(shí)部和虛部都非常的接近，驗(yàn)證了提出的方法能實(shí)現(xiàn)相干聲場(chǎng)分離，且具有較高的分離精度。

圖4為頻率1 000 Hz情況下使用441個(gè)測(cè)點(diǎn)得到的聲壓和法向振速。圖4（a）—（c）分別為全息面測(cè)量聲壓值、目標(biāo)源S1單獨(dú)輻射的理論聲壓值、本文方法得到分離聲壓值的分布圖，圖4（d）—（f）分別為全息面測(cè)量的法向振速值、目標(biāo)源S1單獨(dú)輻射的理論法向振速值、采用本文方法得到的分離法向振速值的分布圖，其中圖4（c）和（f）的誤差分別為0.24%和0.23%。從圖中可以看出，由于干擾源的存在，聲壓和法向振速的測(cè)量值與理論值都存在巨大的差異，說明了當(dāng)聲場(chǎng)中有多個(gè)聲源作用時(shí)，測(cè)量面的聲壓和法向振速是由多個(gè)聲源共同產(chǎn)生的，不能直接使用全息測(cè)量面上的聲壓和法向振速來重建聲場(chǎng)，這將會(huì)導(dǎo)致重建精度低，甚至重建失效，因此當(dāng)多個(gè)聲源作用于聲場(chǎng)時(shí)，需要進(jìn)行聲場(chǎng)分離，獲得目標(biāo)源輻射的聲場(chǎng)信息，從而重建其在聲場(chǎng)中任意一點(diǎn)的輻射信息。同時(shí)看出使用441個(gè)測(cè)點(diǎn)時(shí)，本文方法得到的聲壓和法向振速均有較高的分離精度，說明了當(dāng)采樣點(diǎn)足夠多時(shí)，該方法分離的聲壓和法向振速都具有良好的精度。

本文方法能夠在較少測(cè)點(diǎn)時(shí)實(shí)現(xiàn)聲場(chǎng)的精確分離，圖5為36個(gè)采樣點(diǎn)時(shí)，使用常規(guī)等效源法分離聲場(chǎng)和在聲場(chǎng)稀疏假設(shè)情況下使用[l1]范數(shù)分離聲場(chǎng)以及使用本文提出方法分離聲場(chǎng)得到的誤差對(duì)比圖。從圖中可以看出，使用36個(gè)隨機(jī)測(cè)點(diǎn)，無論是低頻還是高頻，本文提出的方法和稀疏等效源法在聲壓分離和法向振速分離都具有良好的分離精度，且本文提出的方法具有更高的分離精度。同時(shí)可以看出本文方法和稀疏等效源法相對(duì)于基于聲壓-振速的單面等效源法都具有更高的分離精度，說明了在聲源源強(qiáng)稀疏情況下利用奇異值分解能夠進(jìn)一步提高等效源強(qiáng)的聲場(chǎng)稀疏性，驗(yàn)證了在測(cè)點(diǎn)數(shù)目少時(shí)，本文方法相比于其他方法具有更好的聲場(chǎng)分離精度。

當(dāng)測(cè)量聲場(chǎng)源強(qiáng)并不稀疏時(shí)，本文方法能夠獲得較好的聲場(chǎng)稀疏性。圖6為121個(gè)采樣點(diǎn)在使用常規(guī)等效源法分離聲場(chǎng)和在聲場(chǎng)稀疏假設(shè)情況下使用[l1]范數(shù)分離聲場(chǎng)以及使用本文提出方法分離聲場(chǎng)得到的誤差對(duì)比圖。從圖中可以看出，在低頻情況下，本文方法和稀疏等效源法均具有良好的分離精度，均比常規(guī)等效源法具有更高的分離精度，且本文方法相對(duì)于稀疏等效源法具有更高的分離精度。1 000 Hz以后稀疏等效源法出現(xiàn)波動(dòng)，聲壓分離誤差和法向振速分離誤差均不穩(wěn)定，隨著頻率的增加，聲場(chǎng)變得更加復(fù)雜，聲場(chǎng)稀疏性變差，稀疏等效源法分離聲場(chǎng)變得不穩(wěn)定，精度降低。在源強(qiáng)并不稀疏時(shí)，使用本文提出的將聲壓和等效源源強(qiáng)之間的傳遞矩陣奇異值分解能夠獲得聲場(chǎng)的稀疏表示，提高聲場(chǎng)的稀疏性。

為了進(jìn)一步研究該方法對(duì)不同聲源的適用性，在上述仿真的基礎(chǔ)上，改變聲源2的大小，采用半徑為0.008 m的脈動(dòng)球作為干擾源，其余條件保持不變。圖7為使用36個(gè)隨機(jī)測(cè)點(diǎn)獲得的不同頻率下，不同聲源的3種分離方法的誤差對(duì)比圖。圖7（a）為3種分離方法的聲壓分離誤差對(duì)比曲線圖，圖7（b）為3種分離方法的法向振速誤差對(duì)比曲線圖。從圖中可以看出，使用36個(gè)隨機(jī)測(cè)點(diǎn)，無論是低頻還是高頻，本文提出的方法和稀疏等效源法在聲壓分離和法向振速分離都具有良好的分離精度，且本文提出的方法具有更高的分離精度。同時(shí)可以看出本文方法和稀疏等效源法相對(duì)于基于聲壓-振速的單面等效源法都具有更高的分離精度，說明了在聲源不同的情況下，本文提出的方法仍然具有更好的分離效果。

圖8為121個(gè)采樣點(diǎn)在使用常規(guī)等效源法分離聲場(chǎng)和在聲場(chǎng)稀疏假設(shè)情況下使用[l1]范數(shù)分離聲場(chǎng)以及使用本文提出方法在不同聲源條件下獲得的聲場(chǎng)分離誤差對(duì)比圖。圖8（a）為不同聲源條件下的聲壓分離誤差對(duì)比圖，圖8（b）為不同聲源條件下的法向振速分離誤差對(duì)比圖。從圖中可以看出，在低頻情況下，本文方法和稀疏等效源法均具有良好的分離精度，均比常規(guī)等效源法具有更高的分離精度，且本文方法相對(duì)于稀疏等效源法具有更高的分離精度。800 Hz以后稀疏等效源法出現(xiàn)波動(dòng)，聲壓分離誤差和法向振速分離誤差均不穩(wěn)定，隨著頻率的增加，聲場(chǎng)變得更加復(fù)雜，聲場(chǎng)稀疏性變差，稀疏等效源法分離聲場(chǎng)變得不穩(wěn)定，精度降低。說明在不同聲源條件下，當(dāng)聲源源強(qiáng)并不稀疏時(shí)，使用本文方法能夠獲得更穩(wěn)定的分離效果，且具有較高的分離精度。

4 結(jié)論

本文在稀疏采樣重建聲場(chǎng)研究的基礎(chǔ)上，對(duì)稀疏采樣方法引入單全息面聲場(chǎng)分離進(jìn)行了研究。利用等效源強(qiáng)向量與重建面聲壓之間的傳遞矩陣進(jìn)行奇異值分解，獲得等效源強(qiáng)的稀疏基，建立起測(cè)量面聲壓和法向振速與目標(biāo)源聲壓和法向振速之間的關(guān)系。 數(shù)值仿真實(shí)驗(yàn)證明了本文方法能實(shí)現(xiàn)聲壓和振速的有效分離。通過與常規(guī)的基于聲壓-振速單全息面聲場(chǎng)分離方法對(duì)比，證明了在同樣的情況下，該方法具有更高的分離精度。通過對(duì)不同頻率下的脈動(dòng)球進(jìn)行仿真，發(fā)現(xiàn)隨著頻率的增加，該方法仍然具有良好的分離精度，并且一直優(yōu)于常規(guī)的等效源法。通過對(duì)不同測(cè)點(diǎn)數(shù)目和不同大小的聲源進(jìn)行仿真分析，證明了隨著測(cè)量點(diǎn)數(shù)目的增多，本文方法和常規(guī)等效源法的聲場(chǎng)分離精度都會(huì)提升，說明測(cè)點(diǎn)數(shù)目對(duì)聲場(chǎng)分離精度具有重要的影響；當(dāng)聲源不同時(shí)，本文提出的方法仍然具有較高的精度，而且優(yōu)于常規(guī)等效源法和稀疏等效源法。

參考文獻(xiàn)

[1] MAYNARD J D，WILLIAMS E G，LEE Y. Nearfield acoustic holography：theory of generalized holography and the development of NAH[J]. Journal of the Acoustical Society of America，1985，78（4）：1395-1413.

[2] 周鶴峰，曾新吾.雙面聲場(chǎng)反向神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)聲壓外推分離[J].聲學(xué)學(xué)報(bào)，2018，43（6）：873-882.

[3] LANGRENNE C，MELON M，GARCIA A.Boundary element method for the acoustic characterization of a machine in bounded noisy environment[J]. Journal of the Acoustical Society of America，2007，121（5）：2750-2757.

[4] ZHANG Y B，CHEN X Z，JACOBSEN F. A sound field separation technique based on measurements with pressure-velocity probes[J].The Journal of the Acoustical Society of America，2009，125（6）：3518-3521.

[5] JIA W Q，CHEN J，YANG C，et al. Study of a sound field separation technique based on a single holographic surface and wave superposition method[J].Journal of Mechanical Engineering Science，2009，223（8）：1827-1836.

[6] BI C X，CHEN X Z，CHEN J. Sound field separation technique based on equivalent source method and its application in near field acoustic holography[J]. Journal of the Acoustical Society of America，2008，123（3）：1472-1478.

[7] MAO J，DU J F，LIU K，et al. Sound field separation of multiple coherent sound sources with single measurement surface[J]. Journal of Vibration and Control，2022，28（19-20）：2777-2785.

[8] 宋玉來，盧奐采，金江明.單層傳聲器陣列信號(hào)空間重采樣的聲波分離方法[J].物理學(xué)報(bào)，2014，63（19）：187-196.

[9] 田湘林，樓京俊.寬頻帶內(nèi)的單全息面分離聲場(chǎng)研究[J].振動(dòng)工程學(xué)報(bào)，2019，32（1）：184-190.

[10] CHARDON G，DAUDET L，PEILLOT A，et al. Near-field acoustic holography using sparse regularization and compressive sampling principles[J]. Journal of the Acoustical Society of America，2012，132（3）：1521-1534.

[11] BARANIUK R G. Compressive sensing[J]. IEEE Signal Processing Magazine，2007，24（4）：118-120.

[12] FERNANDEZ-GRANDE E，XENAKI A，GERSTOFT P. A sparse equivalent source method for near-field acoustic holography[J]. Journal of the Acoustical Society of America，2017，141（1）：532-542.

[13] BI C X，LIU Y，XU L，et al. Sound field reconstruction using compressed modal equivalent point source method[J]. Journal of the Acoustical Society of America，2017，141（1）：73-79.

[14] HU D Y，LI H B，HU Y，et al. Sound field reconstruction with sparse sampling and the equivalent source method[J]. Mechanical Systems and Signal Processing，2018，108：317-325.

[15] BI C X，LIU Y，ZHANG Y B，et al. Extension of sound field separation technique based on the equivalent source method in a sparsity framework[J]. Journal of Sound and Vibration，2019，442：125-137.

[16] 胡定玉，劉馨悅，李曷冰，等.采用稀疏測(cè)量的高分辨率相干聲場(chǎng)分離[J].聲學(xué)學(xué)報(bào)，2020，45（4）：563-570.

[17] 魏晟弘，伍松，鄭賢.壓縮感知等效源法近場(chǎng)聲全息關(guān)鍵參數(shù)選取[J].廣西科技大學(xué)學(xué)報(bào)，2021，32（4）：50-57.

Study on the separation mechanism and method of sound field in single measurement surface with sparse sampling

ZHENG Xian1， 2， WU Song*1， ZHAO Xin1， 2， WEI Shenghong1， 2

（1. School of Mechanical and Automotive Engineering， Guangxi University of Science and Technology，

Liuzhou 545616， China; 2. Guangxi Key Laboratory of Automobile Component and Vehicle Technology

（Guangxi University of Science and Technology）， Liuzhou 545616， China）

Abstract： A sparse sampling method is proposed to separate the coherent sound field to improve the problems of large number of measurement points and small range of application in the current equivalent source sound field separation technology. Firstly， the transfer matrix between the equivalent source strength and the reconstructed surface sound pressure is decomposed by singular value to obtain a set of sparse basis of the sound field， and then the relationship between the measured sound pressure and the measured normal vibration velocity on the holographic surface is established by using the equivalent source strength. Finally， the solution of the coefficient vector is solved by sparse regularization， so as to obtain the separated sound pressure and the separated normal vibration velocity of the sound field. Numerical simulation analysis shows that the proposed method has higher separation accuracy than the single holographic surface equivalent source method with few measurement points. Meanwhile， the proposed method improves the sparsity of the equivalent source vector， expands the frequency range of the sound field separation， and still has good separation accuracy at higher frequencies.

Keywords： equivalent source method; sparse sampling; sound field separation; coherent sound field

（責(zé)任編輯：黎 婭、于艷霞）