巖石單結構面剪切變形滲透性演化規律

常江 姜克儒 馬海春 于智敏

摘 要：為了研究剪切作用下單裂隙滲透性的演化規律，在Comsol中采用Weierstrass隨機分形函數來生成單裂隙，調整2個裂隙面的相對位移來模擬剪切作用，通過分析不同剪切位移條件下裂隙隙寬的變化以及不同流量下的非線性效應發生的界定范圍，并繪制散點圖與函數曲線擬合確定剪切過程影響裂隙滲透率的因素，給出定量關系。結果表明：未發生剪切時，隙寬的概率密度分布滿足標準的高斯分布，而隨著剪切過程的發生，隙寬的高斯分布被破壞，僅體現標準高斯分布的部分特征；發生剪切時，滲透率先有一個減小的過程，然后在一定范圍內波動;當Re>9.6時，流體開始從線性向非線性發展。對巖石單結構面剪切變形過程中裂隙孔徑變化對流體滲流特性的影響進行模擬，可為分析地質體中結構面變形對地熱變化的影響提供參考。

關鍵詞：滲流力學；單結構面；剪切變形；數值模擬；滲透率；Forchheimer公式

中圖分類號：P641.2；TU452?? 文獻標識碼：A? ?文章編號：1008-1542（2024）02-0207-10

Seepage evolution of shear deformation for a single rock structure surface

CHANG Jiang1， JIANG Keru1， MA Haichun2，3， YU Zhimin2

（1.State Grid Economic and Technology Research Institute of Anhui Electric Power Company Limited，?Hefei， Anhui 230061， China;2.School of Resources and Environmental Engineering， Hefei University of Technology，Hefei， Anhui 230009， China;3.Hydraulic Fracturing and Oil-Gas Migration Development Center， Hefei University of Technology，?Hefei， Anhui 230009， China）

Abstract：In order to study the evolution of fracture permeability under shear action， a Weierstrass random fractal function was used in Comsol to generate a single fracture， and the relative displacements of two fracture surfaces were adjusted to simulate shear action. Changes of fracture width under different shear displacements and the defined range of nonlinear effects under different flow rates were analyzed， the factors affecting fracture permeability in shear process were determined by using scatter plot and function curve fitting， and the quantitative relationship was given. The results show that the probability density distribution of the gap width meets the standard Gaussian distribution without shearing， but with the shearing process， the Gaussian distribution of the gap width is destroyed and only reflects parts of the characteristics of the standard Gaussian distribution. When the shear occurs， the permeability first has a decreasing process， and then fluctuate within a certain range. The smaller aperture is unfavorable to the water flow through near the contact area. When Re>9.6， the fluid begins to develop from linear to nonlinear. The influence of fracture aperture on fluid seepage characteristics during shear deformation of single fracture of rock is simulated， which provides some reference for analyzing the geothermal change caused by fracture deformation in geological bodies.

Keywords：seepage mechanics; single structure surface; shear deformation; numerical simulation; permeability; Forchheimer formula

表面幾何形狀及其在剪切過程中的演化對巖石間斷裂的流體力學行為的影響一直是地質學家面臨的重要問題。在剪切過程中，只有一小部分不連續點在接觸，并且這些接觸點上的實際應力遠遠大于名義應力。然而，在剪切過程中測量接觸面積一直是重大的實驗挑戰，因為難以監測剪切過程中表面的演化。地層斷裂的水力學行為主要由預先存在的不連續點（斷層和斷裂）的性質控制[1]。了解巖石不連續體對不同應力條件的流體滲流，具有廣泛的工程地質應用，如邊坡和大壩穩定性、自然斷層地震成核、水庫工程、長期放射性廢物處置、二氧化碳地質封存和地熱資源分布變化等。對與不連續點相交的地質結構失效的評估需要詳細分析不連續點的抗剪強度特性[2]，表面粗糙度作為影響巖石不連續體水力學行為的主要參數之一，在過去幾十年里受到了廣泛關注，量化巖石表面粗糙度的參數有很多，如表面粗糙度均方根Z2、分形維數D、表面粗糙度參數Rs和粗糙度輪廓指數Rp，其中應用最廣泛的參數是BARTON等［3］提出的節理粗糙度系數 （JRC）法，通過將JRC與隙寬結合提出了一個可以合理預測水力開度的公式，但對該過剪切過程中粗糙度變化所造成的地下水滲流變化理論成果是相當有限的[4-7]。

沿不連續界面形成的實際接觸面積遠低于界面的標稱面積，即使是平面和平面不連續界面。只有實際接觸區域負責摩擦響應，而施加的應力不能通過空隙空間傳遞[8-9]。因此，作用于表面接觸點的實際應力可能比作用于標稱表面的應力大幾個數量級[10-11]。巖體不連續性是低滲透性地層中流體流動的主要通道，也是地熱資源的廣泛分布和交換位置。受外力作用影響，2個表面之間的接觸面積和相應的空隙空間發生變化，導致斷裂巖石的水力特性發生改變[12-13]。

本文結合單結構面剪切變形對裂隙的孔徑分布規律進行了分析，在不同的接觸位置變化下滲流流態均是層流，呈現非線性流，壓力梯度-▽P和出口流量Q呈二次函數變化關系，可以使用Forchheimer公式進行擬合。

1 裂隙水流運動基本理論

流體在通過單裂縫時的運動規律可以由Navier-Stokes方程描述，在穩態下該方程可以寫成：

f-1ρSymbolQC@p+μSymbolQC@2u=ut+（u·SymbolQC@）u ，（1）

式中：ρ為流體的密度；u為流體的速度矢量；p為流體動力壓力；f為物體力，通常f的大小等于重力加速度g，即|f|=g。但是，直接求解三維粗糙表面間流體流動的N-S方程是相當困難的，為了簡化計算，學者們將天然裂隙壁簡化為2個平行板模型[14]，對于2個平行板間的層流滲流，體積流速Q與垂直于流向的裂縫寬度的關系由Boussinesq方程給出[15]：

Q=-wb3h12μSymbolQC@p? ，（2）

式中：Q為流量，m3/s；bh為等效水力隙寬，m；-SymbolQC@p為壓力梯度的大小，Pa/m，SymbolQC@p=dp/dx；w為裂隙的寬度，m，在三維模型中，w取垂直于流體流動方向的寬度。式（2）為計算單裂隙或裂隙網絡內的流體流動的立方定律公式。由表達式可知，流量Q與壓力梯度的大小-SymbolQC@p線性相關，與等效水力隙寬bh的三次方呈正比。

當流速較小、慣性力的影響可近似忽略時，裂隙中的水流屬于線性流，即黏滯力發揮主要作用。在水流速度增大時，流量和壓力梯度不再呈線性關系[16]，非線性的弱慣性效應開始顯現，流速繼續增大，過渡到強慣性效應，慣性力的影響不可忽視，立方定律不再適用，描述非線性流的Forchheimer方程表述方式如下[17]：

-▽p=AQ+BQ2 ，（3）

式中：A和B為系數，與結構面幾何特性、水流運動參數等有關；Q為黏滯力的影響；Q2為慣性力的影響。

2 單裂隙剪切滲流模型

2.1 模擬基于的前提和假設

1）研究表明，在高地應力條件下，單裂隙的剪切過程存在平移剪切，即法向壓力遠遠大于剪應力，結構面發生的變形可近似忽略[18]。故模型可以簡化為形態結構穩定的上下結構面發生相對運動（見圖1），選取剪切過程中的幾個位移狀態進行研究，d代表剪切位移量。

2）本研究忽略了剪切過程的磨損以及滲流壓力對巖石作用帶來的影響，主要是通過對上下結構面施加相對位移使裂隙的幾何形態發生變化，如隙寬、粗糙度、接觸面積等，從而引起流體在裂隙中滲流特性發生變化。

3）研究對象為上下水平巖體中間的水平單裂隙，無任何角度的傾斜。

4）流體設置為水，所有物理參數的選取均以水為參考。

2.2 物理模型與數學模型

HUANG 等[19]通過建立三維粗糙裂隙模型，探究滲流方向、粗糙度、剪切位移等因素對流動特性和滲透性的影響，LIU等[20]通過數值方法生成大量粗糙表面，并模擬了裂隙面的滲流剪切過程。本研究采用Weierstrass隨機分形函數來生成水平裂隙上下結構面的角點坐標，具體表達式如下：

zij（xi，yi）=∑∞k=1Ckλ-（3-D）ksin［λk（xicos Bk+yisin Bk）+Ak］，（4）

式中：zij （xi，yi）為結構面上平面位置（xi，yi）的角點坐標；Ck為服從標準正態分布的相互獨立的隨機數；D，λ為分形變量；Ak和Bk為在[0，2π]上服從均勻分布的相互獨立的隨機數；i，j為角點在平面上投影位置的標號；k為隨機數的個數，本文取150；xi，yi為對應x，y軸的坐標。

將Weierstrass隨機分形函數計算得到的上、下裂隙面散點數據以 .[KG-*3]txt格式導入COMSOL中，經過插值處理再通過拉伸和掃掠等幾何操作，得到如圖2所示的上下盤巖體模型。

其中上下兩盤巖體沿x方向長度為50 mm，沿y方向長度為20 mm，中間的縫隙即為模擬的裂隙。選取30 mm×20 mm的裂隙區域作為研究范圍（如圖2中紫色區域所示）。

COMSOL在進行裂隙滲流仿真時，首先要考慮的是流體類型，不同的流體具有不同的性質，參數的取值也不同。其次還要考慮四面體網格的剖分精度，權衡計算精度與計算效率等問題。COMSOL在模擬地下水層流運動時分為穩態和瞬態2種模型，本模型類型設置為穩態，通過求解黏性不可壓縮流體動量守恒的運動方程（N-SEquations）得到裂隙水流基本物理參量，在直角坐標系中N-S方程的分量形式如下：

ρut+uux+vuy+wuz=ρfx-px+μ2ux2+2uy2+2uz2，ρvt+uvx+vvy+wvz=ρfy-py+μ2vx2+2vy2+2vz2，ρwt+uwx+vwy+wwz=ρfz-pz+μ2wx2+2wy2+2wz2，（5）

式中：ρ為流體密度，kg/m3；u，v，w為流體在t時刻、點（x，y，z）處的速度分量，m/s；p為壓強，Pa；f為單位體積流體受的外力，N；μ是流體動力黏度，Pa·s。

圖3所示為裂隙模型研究范圍及邊界條件設置，其中邊界條件如下：

q|Γn=0 ，（6）

式中Γn代表除去入口和出口的所有邊界，式（6）表示Γn均為零流量邊界。

初始條件如下：

vs|Γ1=vi，? t=0，psΓ2=0，? t=0，（7）

式中：Γ1為入口邊界；Γ2為出口邊界；vs為入口處初始速度設定值，取值為0.05～0.40 m/s，間隔0.05，共8個速度值，該范圍相對于試驗測試的范圍更寬，便于充分考察線性和非線性滲流特征；i=1，2，…，8，代表每次的注水次數；初始時出口為自由邊界，壓強為0。

通過求解COMSOL中自帶的N-S方程得到裂隙內的三維流場分布。本文采用COMSOL中的層流模塊，用常規四面體對模型進行劃分，采用的網格剖分精度為較細化。以剪切位移6 mm的模型為例，四面體網格剖分后生成126 386個單元。對于不可壓縮流體，針對非線性流動的Forchheimer方程和線性流動的滲透率計算公式可以分別寫為

-▽p=AQ+BQ2=μkvυ+ρkiυ2 ， （8）

k=-μQSSymbolQC@p，（9）

式中：Q為出口流量，m3/s；A為線性項系數，Pa·s·10-4；B為非線性項系數，即慣性系數，×10-4 Pa·s；kv為黏性滲透率，m2；ki為慣性滲透率，m2；υ為體積通量，m/s；μ為動力黏度，Pa·s；k為裂隙滲透率，m2；S為試樣橫截面面積，m2。

對于裂隙流，可對雷諾數Re進行如下定義：

Re=ρQLμ， （10）

式中L為裂隙沿壓力梯度方向的長度，m。

本文中流體設置為水，動力黏度μ取0.001；出口流量Q取出口流速與出口面積的乘積；S取等效水力隙寬bh與w的乘積；▽p取出入口間的壓力差Δp與裂隙長度L的比值。

3 剪切滲流結果分析與討論

3.1 隙寬b（x，y）

為了檢驗建立的裂隙模型是否可以和實際裂隙很好近似，以及剪切過程對隙寬函數b（x，y）值的分布情況的影響，計算了各剪切狀態研究區域的隙寬值，并繪制了二維分布圖（見圖4），右圖藍色顏色越深代表該處隙寬值越小，反之則越大，而白色區域則顯示隙寬為0 mm，表明該處上下裂隙面已經閉合。隙寬大小分布情況與左圖所示的接觸區域也基本可以形成對應，證明計算結果無較大偏差。

關于裂隙的諸多研究表明[21-22]，裂隙的隙寬函數值b（x，y）基本滿足高斯分布規律，即在頻率分布直方圖上呈現中間高、兩邊低的鐘形曲線分布，統計各剪切狀態計算所得隙寬值，繪制頻率分布直方圖，如圖5所示。

從圖5可以看出：未發生剪切時隙寬的頻率分布符合完整的高斯分布，平均隙寬值附近出現的頻率較高，這也證明了Weierstrass隨機分形函數的合理性;隨著剪切過程的進行，小隙寬（0.1 mm以下）出現的頻率增大，相比于未發生剪切狀態（d=0 mm），當剪切位移為10 mm時，小隙寬相對頻率增加約20%;平均隙寬（0.3 mm）以下的數量大于平均隙寬以上的數量，不再符合完整的高斯分布形式。

3.2 水流性質

不同剪切位移下壓力梯度的大小-▽p和出口流量Q的關系如圖6所示。由散點的分布情況可知，隨著流量Q的增加，-▽p以非線性的形式增長，對散點圖進行二次函數擬合，相關系數R2與1非常接近。這說明通過求解Navier-Stokes方程得到的-▽p與Q的關系，同樣也可使用Forchheimer方程進行描述。流動的雷諾數已被廣泛用于量化流動系統中慣性效應的預期影響程度[23]。BEAR［24］認為，當雷諾數Re>1時，流動變為非層流（非達西式），但當雷諾數Re= 1～10時，一種過渡流動形式（可能表現出達西式行為的某些方面）占主導地位。這與本文實驗結果一致，如圖7所示。

當Re<9.6時，Forchheimer公式與Darcy公式基本吻合，此時層流占據了主導地位；隨著出口流量Q的增加，即Re>9.6時，拋物線的彎曲程度增大，在出口流量增長至20×10-7 m3/s時，壓力梯度-▽p隨著增加了約200 kPa/m。二者的非線性關系更加明顯，也就是BQ2/AQ不斷增大，裂隙水流的非線性特征越來越明顯，慣性力的影響逐漸增強[25-28]，此時Forchheimer公式逐漸偏離Darcy公式，裂隙中的流體開始向著紊流方向發展。

3.3? 剪切對滲透性影響

各剪切位移、不同入口速度條件下，滲透率k與剪切位移d的關系如圖8所示。入口流速一定時，滲透率在一定范圍內波動變化。縱向來看，隨著入口流速的增加，滲透率呈現減小的趨勢，當入口流速從0.05 m/s增長至0.4 m/s時，滲透率也隨之增加2×10-9 m2，這表明裂隙入口處的水流速度可以改變裂隙滲透率的計算結果；整體來看，不同入口流速下剪切過程滲透率變化趨勢基本一致，不同折線間基本無交點。值得注意的是，在同一剪切位移狀態下，隨著入口流速的增加，滲透率的差異是在逐漸減小的，如圖8中紅色虛線矩形所示，折線間距依次減小。當剪切位移距離為10 mm、入口流速從0.05 m/s 增加到0.1 m/s時，滲透率增加了約0.3×10-9 m2，而此時同一狀態下入口流速若從0.35 m/s增長至0.4 m/s 時，滲透率僅增加了0.1×10-9 m2。

1）沿x軸方向在y軸的中間位置依次截取裂隙研究區域，如圖9所示，計算截面處上下邊界的高度差，繪制曲線如圖10所示。

從圖10可以看出，初始狀態截面處隙寬分布均勻，隨后的剪切過程隙寬分布均呈現明顯的不均勻性，曲線起伏波動較大。由圖11可知，上下結構面接觸區域的增加也會使繞流現象增多。初始剪切狀態壓力分布變化也反映出水流的不規則流動。壓力梯度由均勻分布逐漸過渡至不規則分布，在入口流速均設置為0.2 m/s的條件下，由比例尺刻度可知，入口最大水壓有增大的變化過程，當剪切距離增加至2 mm時，最大壓力增加了3.4×103? Pa，說明水流通過裂隙的阻力增加，初始剪切階段滲透性能是減小的。

由圖12可知：未發生剪切時，整體流線保持相對平行，流速相對均勻，流線只在裂隙起伏較大的位置發生變化；發生剪切后，由于接觸區阻礙了流體的流動，流體會繞過接觸區繼續流動，繞流增多，流線在接觸區域附近彎曲和偏轉。結合隙寬分布圖發現，剪切作用發生后，小隙寬所占比例增加（深色區域占比增多），因此流動的孔徑變窄，可供流體流動的面積變小，導致整體的流線分布不均。

繪制剪切位移下的滲透率k與入口實際流速ve散點圖，如圖13所示（以d=2 mm為例）。結果表明，滲透率隨著入口實際流速增加呈現非線性減小，入口實際流速從0.1 m/s增加至0.3 m/s 時，滲透率降低了約1.4×10-9m2。為了研究滲透率與入口實際流速之間的關系，采用二次函數和冪函數模型進行最佳擬合回歸分析，2種函數擬合程度如表1所示，可以發現二次函數的相關擬合系數R2更接近于1，表明二次函數擬合更為準確，這說明Forchheimer方程（二次函數）可以更好地表達剪切狀態下裂隙滲流規律。

4 結 語

基于單裂隙幾何模型，對不同剪切狀態下隙寬進行滲流計算與統計分析，得到以下結論。

1）未發生剪切時，隙寬的概率密度分布滿足標準高斯分布，驗證了隨機分形函數的可靠性；而隨著剪切過程的進行，由于剪切作用破壞了裂隙面凸起面的分布，小隙寬的比例在增加，隙寬的頻率分布直方圖呈現單調遞減的趨勢，此時不在滿足高斯分布的特征。

2）當Re<9.6時，Forchheimer公式與Darcy公式基本吻合，此時層流占據了主導地位；隨著出口流量Q的增加，即Re>9.6時，拋物線的彎曲程度增大，裂隙水流的非線性特征越來越明顯，慣性力的影響逐漸增強，此時Forchheimer公式逐漸偏離Darcy公式，裂隙中的流體開始向著紊流方向發展。

3）在剪切作用初始階段，由于剪切作用改變了裂隙面的接觸條件，接觸面積增加，對水流的阻礙作用增加導致k明顯減小，隨著剪切的進行，接觸面積繼續重新分布，滲透率有所增加，但相較于剪切作用前還是有所降低。剪切位移一定時，k隨入口實際流速ve增加以二次函數規律減小。

在剪切作用下，除了剪切作用本身造成的隙寬變化引起裂隙滲透性發生改變，巖石的種類以及巖石基質等因素同樣會對裂隙滲流產生較大的影響，本文只單一地考慮了剪切作用，未對巖石種類等因素進行進一步的探究，在今后的研究中需要深入探究不同種類巖石的剪切作用對滲流的影響。

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責任編輯：馮民

基金項目：國家自然科學基金（41831289）；國網安徽省電力有限公司項目（B6120922000S）

第一作者簡介：常江（1981-），男，安徽阜南人，高級工程師，主要從事電網區域地質適宜性評價方面的研究。

通信作者：馬海春，副教授。E-mail：mahaichun@hfut.edu.cn常江，姜克儒，馬海春，等.巖石單結構面剪切變形滲透性演化規律［J］.河北科技大學學報，2024，45（2）：207-216.CHANG Jiang，JIANG Keru，MA Haichun，et al.Seepage evolution of shear deformation for a single rock structure surface［J］.Journal of Hebei University of Science and Technology，2024，45（2）：207-216.