遷移建聯，讓知識結構化生長
——“三位數乘兩位數的筆算”教學片段與思考

江蘇徐州市丁萬河小學（221000） 姚媛媛

數學運算是數學學習的基礎，也是培養學生邏輯思維的重要路徑。在新時代背景下，教師應從整體性和一致性的視角深入理解教學內容的本質，探尋知識間的聯系，促進學生思維不斷進階，助力學生核心素養的形成和發展。面對運算教學，要在現行教材的實施中思考，在有效指引下進行教學實踐。

“三位數乘兩位數的筆算”是蘇教版教材四年級下冊的內容。學生已學習了三年級上冊的“兩、三位數乘一位數”和三年級下冊的“兩位數乘兩位數的筆算”，“三位數乘兩位數的筆算”是整數乘法在整個小學階段的最后一次呈現，但就整個整數乘法的運算而言，并未結束。因此，本課不僅是小學階段整數乘法的“收尾”與“總結”，承載著整理的任務，也是一個節點，承載著整數乘法運算生長、連接的任務。如何在已有整數乘法筆算的基礎上定位與教學本節課內容？如何讓本節課為后續其他復雜整數乘法運算做支撐？在充分思考的基礎上，筆者在教學中多次嘗試引導學生通過自主探究掌握整數乘法間的內在聯系，通過方法遷移構建知識結構。

片段一：舊知遷移，關注知識結構

師：同學們，這節課我們來學習三位數乘兩位數的筆算。請你從這些題目（如圖1）中選擇兩道題來進行復習，你覺得選擇哪兩道題能幫助我們更好地學習三位數乘兩位數呢？

圖1

生1：我選的是②和⑥。

生2：我選①和④，因為①和④都是三位數乘一位數，而今天學的是三位數乘兩位數，我們可以先通過乘一位數來復習。

生3：我選②和⑤，因為今天學的是三位數乘兩位數，②是兩位數乘兩位數，⑤是三位數乘一位數。

師：同學們既關注到了三位數又關注到了兩位數，考慮問題非常全面。我們就按同學們的意思，從三位數乘一位數、兩位數乘兩位數中各選一道題作為復習題。完成學習單中“復習”這一板塊。

（學生完成復習，并交流計算的過程）

【思考】

學生從算式的類型上考慮，尋找知識之間的聯系，從這一點上說，學生已經學會主動建聯。復習階段，學生聚焦計算過程，始終圍繞“乘了幾次？每次都是幾位數乘幾位數？”的問題展開交流。同時，學生呈現計算過程直觀圖，用箭頭直觀地反映運算路徑（如圖2），展現他們的計算思維。

圖2

計算過程直觀圖讓學生明確：“兩、三位數乘一位數”與“兩位數乘兩位數”的運算是一致的，都是先按照數位分開來乘，再把積相加，可以簡單概括為先分后合。通過計算過程直觀圖的呈現，學生能夠感受到“三位數乘一位數”分三次乘，每次都是一位數乘一位數；“兩位數乘兩位數”分兩次乘，每次同樣是一位數乘兩位數。計算過程直觀圖的箭頭能讓學生厘清運算的次數及乘的順序，都是用第二個乘數各數位上的數去乘第一個乘數。同時，也能在方框的指引下，通過對比發現：第一個兩位數在計算中被看成一個整體，一方面有利于提取運算步驟，另一方面，也是將前期兩位數乘一位數的知識直接遷移的具體體現。通過不斷遷移舊知，學生逐步體會知識間的內在聯系，關注知識結構。

片段二：橫豎式建聯，融通知識結構

（呈現例題，學生列出算式）

師：根據已有的計算經驗，你能列豎式來解決學習活動一（如圖3）的問題嗎？

圖3

（學生完成學習活動后交流）

師：誰愿意來給大家講一講？

生1：每車128 箱，10 車是10 個128，也就是128×10；6 車是6 個128 個，也就是128×6。然后把10 車的箱數和6 車的箱數加起來就等于16 車的箱數。

生2：通過這個長方形圖可以發現128×16=128×10+128×6。

師：結合這個情境和圖示，能不能具體解釋一下，在豎式乘法計算中的每一步計算分別表示什么意思？

生3：從豎式來看，先用16 個位上的6 乘128，得6×128=768，再用16 上十位上的1 乘128，得10×128=1280，再把這兩個數加起來就等于倉庫一共購進的箱數——2048箱。

師：豎式對應到圖上，分別是哪一部分？你能用線連一連嗎？

（學生表達并連線）

師：下面我們把這一個乘法豎式完整地來寫一寫。

（關注每一步計算結果的末位與誰對齊，表示什么）

【思考】

本環節依托“倉庫購進迷你南瓜”的問題情境，探索128×16 的筆算方法。這一探索過程需要循“理”入“法”，滿足“理”和“法”的相互融合。根據學生的年齡和認知特點，借助圖形幫助學生理解三位數乘兩位數的算理與算法，與已學過的筆算乘法銜接，并實現知識的有效遷移。在呈現的順序上與前面學過的整數乘法有所不同：先嘗試列豎式解決，再結合圖示進行解釋。學生已經具備一定的筆算乘法的能力，看到算式后，可能更傾向于直接列豎式計算。雖然學生的筆算方法是由經驗直接遷移過來的，但是“算對了”并不一定就是真正“會算了”。因此，采取先列豎式計算的方式，符合學生的認知心理。隨后，用圖形來解釋豎式計算中每一步的含義，讓圖形成為解釋算理的工具，使學生加深對算法的理解，實現從“講清事理”到“理解算理”，再到“建構算法”的過程，實現理法交融。

片段三：框架圖搭建，完善知識結構

師：回顧一下，我們學習過哪些乘法的計算？

生1：我們學習過三位數乘一位數、兩位數乘兩位數、三位數乘兩位數、兩位數乘一位數，還有一位數乘一位數。

師（出示寫有不同類型的乘法的牌子）：瞧，我們學了這么多種乘法，你能不能擺一擺，讓它們更有序、讓人看得更清晰？

生2（邊擺邊說）：把“一位數乘一位數”放在最上面，再把“兩位數乘一位數”放在“一位數乘一位數”下面，然后把“兩位數乘兩位數”放在“兩位數乘一位數”旁邊，接著把“三位數乘一位數”放到“兩位數乘一位數”下面，最后把“三位數乘兩位數”放在“三位數乘一位數”旁邊。乘號的左邊是按照一位數、兩位數、三位數的順序排列的。

師：如果按照這個方式繼續拓展下去，你覺得我們還將會學習怎樣的乘法計算呢？

生3：三位數乘三位數、四位數乘一位數、四位數乘兩位數、四位數乘三位數、四位數乘四位數……

師：這是大家的想法，其實我們的學習并不是這樣的順序。在我們的課本當中對于整數的運算只學習到今天這節課——三位數乘兩位數的筆算，后面就不再安排相關知識的學習了。為什么不學了呢？想一想，把你的想法跟同學說一說。

（學生交流并匯報）

生4：我覺得只要掌握了計算規律，后面的數無論多大都可以算出來。

生5：我感覺它們之間是有聯系的，三位數乘兩位數乘了兩次，每一次都是三位數乘一位數，我想，如果是三位數乘三位數，應該是乘三次，每次還是三位數乘一位數。照這樣，就可以計算其他的大數的乘法了。

生6：我發現，不管是幾位數乘幾位數，都可以轉化成幾位數乘一位數，而乘一位數實際上就是在算一位數乘一位數，都回歸到了一位數乘一位數的表內乘法。

（教師板書如圖4所示）

圖4

【思考】

在回顧與建聯的過程中，學生發現計算總是經歷“橫向溯源”和“縱向溯源”兩個過程。橫向看，不論是幾位數乘幾位數，都可以回歸到“幾位數乘一位數”，只是乘的次數不同，如“四位數乘三位數”需要計算三次“四位數乘一位數”；縱向看，不論是幾位數乘一位數，都可以回歸到“一位數乘一位數”，同樣是乘的次數不同，如“四位數乘一位數”需要計算四次“一位數乘一位數”。這樣的發現使學生的思維連成一個整體，進而發現新知識與舊知識的循環轉化，以及整數乘法運算本質上的一致性。回顧、整理、拓展、建聯的過程不僅使方法得以向后延續，也實現了向前回歸。通過梳理與轉化，將所有整數乘法建立密切聯系，學生經歷知識點構建成知識網的過程，通過推理算法，形成整體性、結構性的認識與思考。

［總結］

本節課是一節典型的計算課，需要讓學生經歷算理、算法的探究提升過程，進而形成運算技能，同時，作為“節點課”，它承載著梳理知識、建立聯系及把握乘法計算本質等任務。這一課的教學，本身也是培養學生運算能力的一部分，通過明晰算法，為后續準確、熟練運算奠定堅實基礎。

“三位數乘兩位數”的筆算從本質上看是打通各種類型整數乘法計算的脈絡，轉化為表內乘法的計算。從思維方法上看，從“兩位數乘一位數”開始，就已經涉及乘法分配律的運用。雖然“兩位數乘兩位數”的運算在形式上有所區別，只是運算步驟增加了，但本質是相同的，“三位數乘兩位數”同樣如此，學生有了前期多種運算的經驗，更容易在探尋運算本質的過程中感受一致性。這有助于他們將所學知識應用于更多整數乘法的計算中。在對比和分析各種乘法的計算方法時，學生發現其中的共性，領悟“先分后合”的數學思想，體會知識間的內在聯系，進行結構化思考。

教師進行整體教學，注重知識的延伸點，讓學生“見樹木，也見森林”。從已有知識出發，從“兩位數乘兩位數”到“三位數乘兩位數”，再到其他復雜多位數相乘的計算歸納，逐步擴出一片“林”，織出一張“網”。通過這種漸進式的教學方式，學生不僅對整數乘法有整體把握，也可能跳出整數乘法系統，將整數乘法與整數加法、減法及整數除法結合，形成一個綜合和完整的數學運算體系。在不斷聯系知識、豐富認知的同時，學生的知識結構也不斷完善，知識之間的聯系不斷豐富、逐步緊密。

學習的真正意義在于學習者厘清事物的內在聯系，積極構建合理的認知結構。學生將知識相連的過程，是構建知識、遷移方法的過程，這一過程使簡單、碎片化的知識連成線、織成網，讓知識結構化，讓學生的數學思維能力及學習能力得到提升，從而提高數學素養。