模糊結合代數的商及同態定理

楊曉曼,周 鑫,2

(1.伊犁師范大學數學與統計學院,新疆 伊寧 835000;2.伊犁師范大學應用數學研究所,新疆 伊寧 835000)

0 引言

1965年,ZADEH[1]引入了模糊集的概念,標志著模糊數學的誕生.1986年,NANDA[2]給出了模糊域以及模糊線性空間的定義.1989年,BISWAS[3]重新給出了由NANDA定義的模糊域以及模糊線性空間,這種定義更為合理.1990至1991年,NANDA[4]討論了模糊域上的模糊代數的概念,并給出了模糊理想的概念.NANDA[5]進一步引入了任意值域上的模糊線性空間中的一些概念,如凸模糊集等.1993年,GU等[6]指出NANDA對模糊域的定義是不合理的,因此模糊域上模糊代數的定義也是不合理的;且重新定義了模糊域和模糊代數;在沒有任何限制的情況下,證明了模糊代數的同態像是模糊代數.1996年,黨發寧[7]更深入地探討了模糊代數以及模糊理想的性質,定義了模糊商代數,并證明了代數Y關于代數Z的同態核f-1[Oz]的模糊商代數與代數Z同構等性質.2002年,孫紹權等[8]定義了模糊商代數,給出了模糊代數的同態基本定理.同年,姚炳學等[9]重新定義了模糊域上的模糊商代數,研究了模糊域上的模糊代數與模糊理想的性質,并給出了模糊商代數的同構定理.2019年,魏曉偉等[10]引入了模糊集上模糊泛代數的概念,研究了商代數、同余關系等概念.2021年,ADDIS[11]引入了L-值模糊代數的概念,并討論了模糊陪集的結構.

本文基于以上模糊代數的研究內容,首先,給出了模糊結合代數的概念,在此基礎上定義了模糊結合代數之間的模糊同態、模糊單同態、模糊滿同態以及模糊同構.其次,證明了模糊同態的復合仍然是模糊同態.然后,引出了模糊結合代數中模糊理想的概念,利用模糊理想構造了模糊結合代數的商結構.最后,在上述定義的基礎上證明了模糊結合代數的同態定理.

1 預備知識

定義1[12]設(L,≤)為偏序集,若任意a,b∈L,均存在最小上界sup{a,b}和最大下界inf{a,b},則稱偏序集(L,≤)為格,簡記為L.

在L中定義∨和∧兩種運算,對于任意a,b∈L,a∨b=sup{a,b},a∧b=inf{a,b}.若格L的每一個子集S均有最小上界和最大下界,則稱L為完備格.

定義2[13]設X是一個非空集合,L為完備格,映射χ:X→L稱為集合X的模糊子集,其中χ稱為模糊子集的隸屬函數.對于任意x∈X,χ(x)稱為x對χ的隸屬度.用FL(X)={χ|χ:X→L}表示X上所有隸屬函數的族.

2 主要結論

本文中代數均指具有單位元e的結合代數.

定義3 設A是數域F上的一個代數,L為完備格.若χA∈FL(A),任意a1,a2∈A,k∈F,滿足:

(1)χA(a1)∧χA(a2)≤χA(a1+a2),

(2)χA(a1)∧χA(a2)≤χA(a1·a2),

(3)χA(a1)≤χA(k·a1),

(4)χA(e)=1.

則稱χA是A上的模糊結合代數,簡稱模糊代數,記為(A,χA).

定義4 設(A,χA),(B,χB)為模糊代數,α:A→B為A到B的同態.若任意a∈A,滿足:

χA(a)≤χB(α(a)),

則稱映射α:(A,χA)→(B,χB)為(A,χA)到(B,χB)的模糊同態.

若模糊同態α為單射,則稱α:(A,χA)→(B,χB)為(A,χA)到(B,χB)的模糊單同態.

若模糊同態α為滿射,則稱α:(A,χA)→(B,χB)為(A,χA)到(B,χB)的模糊滿同態.

若模糊同態α為雙射,則稱α:(A,χA)→(B,χB)為(A,χA)到(B,χB)的模糊同構.

注1 (1)任意a∈A,若α:(A,χA)→(B,χB)為模糊同態,則χB(α(a))=∨χA(α-1(α(a))).

(2)任意a∈A,若α:(A,χA)→(B,χB)為模糊同構,則χB(α(a))=χA(a).

定理1設(A,χA),(B,χB),(C,χC)為模糊代數,α:(A,χA)→(B,χB)為(A,χA)到(B,χB)的模糊同態,β:(B,χB)→(C,χC)為(B,χB)到(C,χC)的模糊同態,則復合β°α:(A,χA)→(C,χC)為(A,χA)到(C,χC)的模糊同態.

證明 設a∈A,α(a)=b,β(b)=c,則(β°α)(a)=c.

由模糊同態的定義可知,χA(a)≤χB(α(a)),χB(b)≤χC(β(b)),則有:

χA(a)≤χB(α(a))=χB(b)≤χC(β(b))=χC(c)=χC((β°α)(a)),

即χA(a)≤χC((β°α)(a)),故復合β°α為(A,χA)到(C,χC)的模糊同態.

定義5 設(A,χA),(B,χB)為模糊代數,α,β為(A,χA)到(B,χB)的模糊同態.若任意a∈A,α(a)=β(a)均成立,則稱模糊同態α與β相等,記為α=β.

定義6 設A是代數,R為A的子代數,L為完備格,χR∶R→L.

(1)若a∈A,b∈R,有χR(a·b)≥χR(b),則稱(R,χR)是(A,χA)的模糊左理想;

(2)若a∈R,b∈A,有χR(a·b)≥χR(a),則稱(R,χR)是(A,χA)的模糊右理想;

(3)若a,b∈R,有χR(a·b)≥χR(a)∨χR(b),則稱(R,χR)是(A,χA)的模糊理想.

定義7 設(A,χA)為模糊代數,(R,χR)是(A,χA)的模糊理想.任意a,b∈A,k∈F,在A/R上可以定義運算:

(1)加法:(a·R)+(b·R)=(a+b)·R;

(2)乘法:(a·R)·(b·R)=(a·b)·R;

(3)數乘:k(a·R)=(ka)·R.

定理2設(A,χA)為模糊代數且存在a∈A,使得χA(a)=1,(R,χR)是(A,χA)的模糊理想,定義:

則(A/R,χA/R)為模糊代數,稱(A/R,χA/R)為(A,χA)的模糊商代數.

證明 先驗證乘法運算下結論是否成立.

(1)假設a1,a2∈R,則

χA/R((a1·R)·(a2·R))=χA/R((a1·a2)·R)=1,

故χA/R(a1·R)∧χA/R(a2·R)≤χA/R((a1·R)·(a2·R)).

(2)假設a1∈R,a2?R,則

由于χA/R(a1·R)=1,則

χA/R(a1·R)∧χA/R(a2·R)=χA/R(a2·R),

故χA/R(a1·R)∧χA/R(a2·R)≤χA/R((a1·R)·(a2·R)).

因此,在乘法運算下結論成立.加法運算、數乘運算的證明同理可得,且χA/R(e)=1.

綜上所述,(A/R,χA/R)為模糊代數.

定理3設(A,χA)為模糊代數且存在a∈A,使得χA(a)=1,(R,χR)是(A,χA)的模糊理想,(A/R,χA/R)為(A,χA)的模糊商代數.對于任意a′∈A,定義映射:

ν∶(A,χA)→(A/R,χA/R),ν(a′)=a′·R,

則ν為模糊同態.

證明 先驗證乘法運算下結論是否成立.

(1)假設a1,a2∈R,則

χA/R((a1·R)·(a2·R))=χA/R((a1·a2)·R)=1,

故χA(a1)∧χA(a2)≤χA/R((a1·R)·(a2·R)).

(2)假設a1∈R,a2?R,則

即χA(a1)∧χA(a2)≤χA/R((a1·R)·(a2·R)).

因此,在乘法運算下結論成立.加法運算、數乘運算的證明同理可得,零元運算的結論顯然成立.

綜上所述,ν為模糊同態.

定理4設(A,χA)為模糊代數且存在a∈A,使得χA(a)=1,α是(A,χA)到(B,χB)的模糊滿同態,(R,χR)是(A,χA)的模糊理想,(A/R,χA/R)為(A,χA)的模糊商代數.其中,

當a′∈R時,χB(α(a′))=1.ν:(A,χA)→(A/R,χA/R)為模糊同態,且對于任意a′∈A,有ν(a′)=a′·R,則存在唯一的模糊同態:

β∶(A/R,χA/R)→(B,χB),

使得圖1交換.

圖1 交換圖

證明 (i)存在性.對于任意a′∈A,令映射β:(A/R,χA/R)→(B,χB),β(a′·R)=α(a′),則β是A/R到B的同態,且β°ν(a′)=β(a′·R)=α(a′),即β°ν=α.

下證χA/R((a1·a2)·R)≤χB(β((a1·a2)·R)).

先驗證乘法運算下結論是否成立.

(1)假設a1,a2∈R,則

χB(β((a1·a2)·R))=χB(α(a1·a2))=1=χA/R((a1·a2)·R).

(2)假設a1∈R,a2?R,則

任意a1,a2∈A,因為

χB(α(a1·a2))=∨χA(α-1(α(a1·a2)))≥χA(a1)∧χA(a2),

故

χA/R((a1·a2)·R)≤χB(β((a1·a2)·R)).

因此,在乘法運算下結論成立.加法運算、數乘運算的證明同理可得,零元運算的結論顯然成立.

(ii)唯一性.假設存在同態β′:A/R→B同樣滿足上述條件,即對于任意a′∈A,有β′°ν(a′)=α(a′),可推出對于任意a′∈A,有β′°ν(a′)=β°ν(a′)均成立,又由于ν為滿同態,則可推出β′=β.由經典交換圖(圖2)中β的唯一性可知,交換圖(圖1)中的β唯一存在.

圖2 經典交換圖

3 結語

本文主要研究了模糊結合代數的理想以及商等相關性質,證明了模糊結合代數的同態定理.文中的定理、結論有助于更好地理解其他具體的模糊代數結構,并且為研究其他模糊代數結構提供了理論支撐.