帶有競爭的非線性捕食者-食餌模型解的有界性

趙司軍,王 輝,2

(1.伊犁師范大學數學與統計學院,新疆 伊寧 835000; 2.伊犁師范大學應用數學研究所,新疆 伊寧 835000)

0 引言

在生態系統中,捕食關系被視為生物種群之間最主要的關系之一,是指一個生物種群捕食另一個生物種群以獲取所需的能量和營養物質.捕食關系對于生態系統的結構和功能具有重要影響,能夠調節生物種群的數量和分布,保持生態系統的平衡和穩定.1987年KAREVIA和ODELL[1]提出了以下模型:

(1)

其中,u(x,t)和w(x,t)分別代表捕食者和食餌的密度.常數d和D分別表示捕食者和食餌的擴散速率,d,D>0;-χ?·(u?w)表示捕食者對食餌的趨向性;γ表示從食餌到捕食者的轉換率;函數h(u)和f(w)表示種內相互作用,uF(w)表示種間相互作用.

許多學者都對模型(1)進行了研究,得到了模型解的動力學的研究結果,如全局存在性[2-5]、一致有界性[4,6]和漸近行為[6]等.在模型(1)單個捕食者的基礎上,也有研究人員考慮了以下雙捕食者的情形:

其中,u(x,t)和v(x,t)代表兩類捕食者的密度,w(x,t)代表食餌的密度.

ZHENG[7]成功證明了在二維有界區域中模型(2)存在唯一的全局經典解.同時,針對β1=β2=0的情形,ZHENG也研究了模型(2)的常值穩態解的全局漸進穩定性.鑒于自然界中捕食者朝著食餌的運動遠不是模型(2)所描述的那么簡單,在文獻[7]的研究基礎之上,本文考慮以下帶有競爭機制的非線性捕食者-食餌模型:

定理1假設γ1,γ2,θ1,θ2和μ都是正常數,β1,β2則為非負常數.如果條件:

αi<1,i=1,2

1 預備知識

首先簡述一下模型(3)經典解的局部存在性結果.

引理1.1 假設定理1中的條件成立,則存在最大存在時間Tmax∈(0,∞],使得滿足:

的唯一的三元函數組(u,v,w)是模型(3)在Ω×(0,Tmax)中的經典解.同時可知,

u(x,t),v(x,t)>0,0

進一步地,若Tmax<+∞,則有

(5)

在證明定理1時,除了局部存在性外,還需要借助以下結論,詳細的證明過程可參閱文獻[7]和[8].

引理1.2 假設定理1中的條件成立,則對任意t∈(0,Tmax),存在某個常數C>0,使得

2 定理1的證明

從估計模型(3)解的第三個分量w開始討論.

引理2.1 假設定理1中的條件成立,則存在一個常數C>0,使得對于任意t∈(0,Tmax),有

證明 利用模型(3)中的第三個方程,由Young不等式計算可以得到:

根據u和v的非負性,可以推出:

從而引理2.1得證.

根據引理2.1, 立即得到以下推論.

推論2.1 假設定理1中的條件成立,則存在一個常數C>0,使得對于任意t∈(0,Tmax-τ),有

受到CAO等[9]所使用的試驗函數的啟發,接下來將使用加權積分的方法來獲得Lp有界性.

引理2.2 假設定理1中的條件成立,則對任意p∈(1,∞),對任意t∈(0,Tmax),存在某個常數C>0滿足:

和

因為α1<1,利用Young不等式,可以找到常數C1,C2>0,使得對于任意s>0,有下列不等式成立:

(13)

和

(14)

結合(3)中第一個和第三個方程,對任意t∈(0,Tmax),可以得到:

(16)

進一步地,將(16)中右邊最后四項分別記作I1,I2,I3,I4.首先,通過Cauchy-Schwarz不等式得到:

再次使用Cauchy-Schwarz不等式,聯立(11)和(13)可以得到:

(18)

類似地,聯立(11)和(14)可以得到:

(19)

對于I4,記C3∶=μKη+γ1Kp+1,由式(6)、式(11)、Gagliardo-Nirenberg不等式和Young不等式可以推導出,存在常數C4>0和C5>0使得:

(20)

綜合上述估計,將(17)～(20)一起代入(16),結合(12),對任意t∈(0,Tmax),可以得到:

(21)

其中,c6∶=C1p(p-1)+pησηC2.

聯立引理1.3和推論2.1,對任意t∈(0,Tmax),存在C7>0滿足:

根據(11)有φ(w)≥σ-η.在(22)兩邊同時乘以ση,可以證明(9)成立,其中C∶=σηC7.類似地,也可以證明式(10)成立.至此,引理2.2得證.

定理1的證明在引理2.2結論的基礎上,根據拋物方程的正則性理論,對任意t∈(0,Tmax),存在一個常數C>0滿足:

‖w(·,t)‖W1,∞(Ω)≤C.

此外,利用Moser-Alikakos迭代技巧[10],對任意t∈(0,Tmax),可以得到:

‖u(·,t)‖L∞(Ω)+‖v(·,t)‖L∞(Ω)≤C,

其中,C也是一個常數,C>0.

結合引理1.1,由此完成了定理1的證明.