基于切向量的兩類曲線積分的關(guān)系

吳淑君, 于 娟

(中國石油大學(xué)(華東) 理學(xué)院,山東 青島 266580)

0 引 言

第二類曲線積分是多元函數(shù)積分學(xué)中的重要內(nèi)容[1-2],很多文獻(xiàn)已經(jīng)從理論、教法等方面討論了該積分的計(jì)算[3-5].其中,兩類曲線積分之間的關(guān)系是一個重要的公式:

(1)

其中cosα,cosβ是“有向曲線弧的切向量”的方向余弦.

在文獻(xiàn)[1]中,“有向曲線弧的切向量”定義為 “指向與有向曲線弧的方向一致的切向量”.這個定義是在文獻(xiàn)[1]中8.6這一節(jié),利用向量值函數(shù)的導(dǎo)數(shù)結(jié)合幾何直觀給出的.文獻(xiàn)[6]曾指出文獻(xiàn)[1]中的缺陷,并加以改進(jìn)(1).文獻(xiàn)[7]以弧長作為參數(shù),用極限的方法嚴(yán)格證明了在文獻(xiàn)[2]中提出的 “有向曲線弧的切向量”的表達(dá)式,并推導(dǎo)出(1).

在教學(xué)中注意到,如果按照文獻(xiàn)[1]的授課順序,學(xué)生會對突然插入的向量值函數(shù)感覺很突兀,不容易理解向量值函數(shù)的導(dǎo)數(shù),也不能全面深刻地掌握切向量和曲線方向以及參數(shù)變化之間關(guān)系.受文獻(xiàn)[7]的啟發(fā),不再引入向量值函數(shù),而是用一般的參數(shù),借助極限的基本方法求出切向量.具體來說,利用切線是割線的極限位置這個學(xué)生熟悉的知識點(diǎn),證明切向量的表達(dá)式,該過程可以直觀地展示出切向量和曲線方向以及參數(shù)變化的關(guān)系.

1 提出問題

假設(shè)平面曲線L的兩個端點(diǎn)分別記為A和B,曲線的參數(shù)方程是

端點(diǎn)A和B對應(yīng)的參數(shù)分別是t1和t2.M(x,y)是L上的一個點(diǎn),對應(yīng)參數(shù)為t.函數(shù)x(t),y(t)在以t1和t2為端點(diǎn)的區(qū)間上具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù),且(x′(t))2+(y′(t))2≠0.曲線的方向是從A到B.下面針對不同的情況,先用極限計(jì)……