矩陣奇異值分解與非齊次線性方程組系數(shù)矩陣的廣義逆求解

吳 華, 邵廣周

(1.長安大學 理學院,西安 710064; 2.長安大學 地質(zhì)工程與測繪學院,西安 710054)

0 引 言

在實際線性反演問題中,對于任意非齊次線性方程組Ax=b有解,則稱其為相容的,否則稱之為不相容或矛盾的.廣義逆理論把求解任意非齊次超定、欠定或混定線性方程組的解全部概括統(tǒng)一起來[1].如果能夠找到其系數(shù)矩陣A的Moore-Penrose逆A+,就可得到問題對應的解.由于A+存在且唯一,所得的解x=A+b也是唯一的[2].矩陣廣義逆在解線性方程組、矩陣方程組中有著廣泛的應用,文獻[3]通過研究相關矩陣方程的性質(zhì)找出了解存在的條件.文獻[4]基于內(nèi)積理論對線性矛盾方程組最小二乘解問題進行了理論推導.本文則從矩陣奇異值分解算法著手,給出非齊次線性方程組的自然解.

1 矩陣奇異值分解

對任意秩為p的m×n階矩陣A,可分解成如下形式[5]

(1)

其中,Λ為對角矩陣,對角線元素λ1,λ2,…,λp為正的非增序列,其平方是矩陣ATA和AAT的p個非零特征值,稱對角線元素λi為奇異值.U和V分別為m×m和n×n的正交矩陣,對應的特征向量相互正交(即UUT=UTU=I,VVT=VTV=I),U對應的特征向量張成數(shù)據(jù)空間.V對應的特征向量張成模型空間.

其中,Up,Vp分別為U,V的前p列,則可將A寫為

(2)

由(2)式知,在進行奇異值分解后,矩陣A可用不含零特征值向量U0和V0的矩陣的乘積來表示,可見奇異值分解是把數(shù)據(jù)空間和模型空間分解為非零空間和零空間兩部分.非零特征值對應的特征向量Up和Vp張成非零空間,U0和V0則張成零空間.

現(xiàn)以正交矩陣U為例進一步說明奇異值分解的作用,考查Up和……