有理分式函數的對稱復極點的留數

丁明玲, 肖祥春, 李 薇

(1.福建農林大學 計算機與信息學院,福州 350002; 2.廈門理工學院 數學與統計學院,福建 廈門 361024)

0 引 言

留數定理及推廣的留數定理[1]是計算閉合路徑復積分的重要工具,同時也為數學分析無法或難以處理的一些實的定積分及廣義積分提供有效的計算方法[1-4].復變函數在三大類孤立奇點(可去奇點、極點及本性奇點)的留數的計算規則與方法很多,但對于其中的極點,特別是級數較高的極點,其留數計算往往較為復雜.而有理分式函數是常見的復變函數,其孤立奇點多以關于坐標軸或原點對稱的形式出現,但目前關于有理分式函數(特別是復系數有理分式函數)對稱極點的留數的研究很少.

本文主要研究復系數有理分式函數在各類對稱極點的留數之間的關系:有理分式函數的某一種形式的對稱極點的留數之間是否也存在某種對稱性?結合有理分式函數的奇偶性給出相應的結論.這些結論為有理分式函數對稱極點的留數以及有理分式函數在閉合路徑上的復積分提供了新的簡便計算方法.

1 預備知識

定義1設

P(z)=a0zn+a1zn-1+…+an-1z+an,Q(z)=b0zm+b1zm-1+…+bm-1z+bm,

其中ai,bj∈,i=0,1,2,…,n,j=0,1,2,…,m.a0≠0,b0≠0,且Q(z)≠0,則稱

為復系數有理分式函數.

特別地,若ai,bj∈,i=0,1,2,…,n,j=0,1,2,…,m,則稱

為實系數有理分式函數.

引理1[1]如果z0是復變函數f(z)的k級極點,k為正整數,則

引理2[5]設f(z)是不恒為零的解析函數,則z0是f(z)的k級零點的充要條件是

f(z)=(z-z0)kφ(z),

其中φ(z)在點z0處解析,且φ(z0)≠0.

引理3[1]z0是函數f(z)的m級極點的充要條件是f(z)在z0點的某空心鄰域0<|z-z0|

其中φ(z)在z0點解析,φ(z0)≠0.

引理5[6]設

是實系數有理分……