關于高階差等比數列通項公式的證明

戴中林

(西華師范大學 數學與信息學院,四川 南充 637002)

0 引 言

若某正整數列在逐差法下能得到等比數列,則稱原數列為高階差等比數列.這種新型數列多年來在現有的數學教材上一般都很少介紹,研究得到的成果也不多.但近年來關于高階差等比數列這一新概念上的研究性文章陸續出現在當今數學刊物上.目前主要有以下三個結果.

其一,《數學通報》2004年第6期刊出文章:高階差等比數列.

該文給出了定義及相關公式:

定義1[1]對于數列{an},a1為首項,dk(k=1,…,r)是數列{an}第k次作差所得數列的首項,若第r次作差所得數列時一個公比為q(q≠1)的等比數列,則稱數列為r階差等比數列.

在定義1下,其通項公式為

(1)

其二,《大學數學》2019年第1期刊出文章:求高階差等比數列的通項公式及前n項和.

該文給出了另一定義和相關公式:

定義2[2]若一數列的前r階差數列不是等比數列,而其r+1階差數列是等比數列,則稱該數列為r階差等比數列.

在定義2下,有下述公式:

定理1設r階差等比數列的首項為a1,各階差首項分別為dk(k=1,…,r);等比數列的首項為b,公比為q.則該數列的通項公式為

(2)

其三,《高等數學研究》2019年第4期給出文章:r階差等比數列的通項公式及前n項和.

該文在定義2下又給出了另一公式:

定理2[3]設r階差等比數列的首項為a1,各階差首項分別為dk(k=1,…,r);等比數列的首項為b,公比為q.則該數列的通項公式為

(3)

上述三個通項公式,僅有通項公式(2)已有證明,而其余兩個通項公式(1)和(3)均未給與證明,事實上這三個通項公式是完……