習(xí)題教學(xué)功能之拓展數(shù)學(xué)認(rèn)識和題型見識

浙江海鹽縣三毛小學(xué)（314300） 何月豐

例題的主要功能是讓學(xué)生通過解答問題來學(xué)習(xí)新的知識或技能。那么，例題能把小學(xué)數(shù)學(xué)中的知識與技能全部涵蓋嗎？答案是否定的。在小學(xué)數(shù)學(xué)中，例題教學(xué)的是最基礎(chǔ)、最重要的知識與技能，還有基于例題的知識與技能而衍生出的相關(guān)的知識與技能，以及與此相關(guān)的一些題型，并沒有被編設(shè)成例題，而是蘊(yùn)含在習(xí)題中。由此，小學(xué)數(shù)學(xué)習(xí)題教學(xué)便承載了新的功能。

一、拓展學(xué)生對數(shù)學(xué)的認(rèn)識

具體討論習(xí)題教學(xué)在拓展學(xué)生對數(shù)學(xué)的認(rèn)識這一功能之前，我們先來看一個(gè)案例。

案例1：異分母分?jǐn)?shù)加減法

習(xí)題教學(xué)記：2019年5月27日，周一。

今天的數(shù)學(xué)課，我先反饋上一次作業(yè)的情況——學(xué)生在計(jì)算異分母分?jǐn)?shù)加減法過程中出現(xiàn)的書寫規(guī)范問題；在明確了格式上的規(guī)范性之后，再讓學(xué)生以規(guī)范的格式寫了兩道習(xí)題，以加深印象，鞏固技能；然后出示+這一異分母分?jǐn)?shù)加減法的算式，要求學(xué)生觀察后直接說出答案。在略作等待之后，一位學(xué)生站起來，猶猶豫豫地說出了。我板書答案后，讓他解釋是怎么想的。在確認(rèn)學(xué)生的解釋正確之后，我進(jìn)行+的教學(xué)。

師：你們怎么越算越快了？（問題提出后，很多學(xué)生立刻舉起了手）

生1：只要把分母乘一下，就是分母；分母加一下，就是分子。

師：把這個(gè)特點(diǎn)再觀察、思考一下，為什么可以這樣算呢？（學(xué)生靜靜地思考著，慢慢地，有學(xué)生舉手了）

生2：因?yàn)檫@些分?jǐn)?shù)的分母是互質(zhì)數(shù)，所以分母就是它們的乘積，分子就是交叉相乘，這樣加一下就可以了。

這位學(xué)生的解釋顯然是正確的，只是表述含糊不清。于是，我再請一位學(xué)生表達(dá)自己的想法。最后，我以+為例，結(jié)合板書，與學(xué)生一起再次理解其中的算理+=+==。

第一步：通分。原來分?jǐn)?shù)的分母互質(zhì)，分母相乘做分母；原來分?jǐn)?shù)的分子都是1，分母成了通分后分?jǐn)?shù)的分子。

第二步：相加。和的分母相當(dāng)于原來分?jǐn)?shù)的分母相乘，和的分子相當(dāng)于原來分?jǐn)?shù)的分母相加。

……

以人教版數(shù)學(xué)教材為例，在案例1 涉及的五年級“分?jǐn)?shù)加減法”這一教學(xué)內(nèi)容中，教材一共編排了4 道例題，分別是“同分母分?jǐn)?shù)加減法”的例1、“異分母分?jǐn)?shù)加減法”的例1 以及“分?jǐn)?shù)加減混合運(yùn)算”的例1、例2。這4 道例題都不涉及案例1 中所發(fā)現(xiàn)的知識，與此相關(guān)的“發(fā)現(xiàn)”出現(xiàn)在“異分母分?jǐn)?shù)加減法”教學(xué)之后的練習(xí)二十四第6題中（見圖1）。

圖1 人教版數(shù)學(xué)教材五年級下冊練習(xí)二十四第6題

類似于上述將某一數(shù)學(xué)知識蘊(yùn)含在習(xí)題教學(xué)中的情況，在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中是非常常見的。如學(xué)習(xí)平行四邊形、三角形的面積計(jì)算之后，教材會在后續(xù)的習(xí)題教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)“等底等高”的相關(guān)知識。由此可見，習(xí)題教學(xué)具有拓展學(xué)生數(shù)學(xué)認(rèn)識的功能。這也正如波利亞所言：“一個(gè)重大的發(fā)現(xiàn)可以解決一道重大的題目，但是在解答任何一道題目的過程中都會有點(diǎn)滴的發(fā)現(xiàn)。”因此，作為一名小學(xué)數(shù)學(xué)教師，要善于理解和挖掘習(xí)題的內(nèi)涵，精心設(shè)計(jì)習(xí)題的教學(xué)過程，帶領(lǐng)學(xué)生在解答習(xí)題的過程中去進(jìn)一步發(fā)現(xiàn)，拓展學(xué)生的數(shù)學(xué)認(rèn)知。

這個(gè)時(shí)候，我們自然會有這樣一個(gè)疑問：“為什么這樣的數(shù)學(xué)知識、技能不編排成例題呢？”原因是多方面的，以下兩點(diǎn)可以作為對此問題的回答。

第一，突出例題的代表性，控制例題數(shù)量。

例題中承載的知識或技能，往往是某一知識或技能的源點(diǎn)。通過這個(gè)源點(diǎn)，可以衍生出很多支流。在從源點(diǎn)衍生出的這些支流中，一些基礎(chǔ)的、重要的代表性支流中蘊(yùn)含的知識或技能則可以再次編排成例題。如學(xué)習(xí)“乘法分配律”之后，應(yīng)用乘法分配律進(jìn)行簡便計(jì)算，一般有7 種典型題型（見表1）。

表1 乘法分配律簡便計(jì)算的典型題型分析表

對小學(xué)數(shù)學(xué)7 個(gè)版本的教材進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析后發(fā)現(xiàn)，沒有一個(gè)版本的教材將表1 中的7 種典型題型都編排為例題（見表2）。一方面，通過表2 可以發(fā)現(xiàn)，在乘法分配律的7 種典型題型中，例題編排率最高的是“34×72+34×28”型，有6 個(gè)版本的教材編排了；例題編排率位于第二的是“（80+4）×25”型，有5 個(gè)版本的教材編排了；例題編排率位于第三的是“32×102”型，有3 個(gè)版本的教材編排了。可見，這3 種題型是具有代表性的。其中，“34×72+34×28”型和“（80+4）×25”型的代表性體現(xiàn)在其基礎(chǔ)性上，即這2 種題型是乘法分配律這個(gè)源點(diǎn)衍生出去的主干支流，因此編排為例題的必要性最高；而“32×102”型的代表性體現(xiàn)在其拓展性上，是具有代表性的一種典型題型，所以也有編排為例題的必要性。至于“107×34-7×34”型，雖然蘊(yùn)含了乘法對減法的分配律這一新知識，具有拓展、完善學(xué)生對乘法分配律認(rèn)識的功能，但因?yàn)檫@一知識只要基于乘法對加法的分配律的意義，就容易從“34×72+34×28”型中實(shí)現(xiàn)思維的正向遷移，因此不具有代表性，故7 個(gè)版本的數(shù)學(xué)教材將這種題型均編排在習(xí)題中，而不編排為例題。至于“37×99+37”型和“99×49”型，同樣只要在習(xí)題中將例題知識實(shí)現(xiàn)遷移即可。

表2 乘法分配律典型題型在各版本數(shù)學(xué)教材中的編排情況統(tǒng)計(jì)表

另一方面，如果把這些支流都編排為例題的話，那么教材上的例題會有很多，數(shù)學(xué)教材就會很厚，這顯然是不合適的。因此，只要將具有代表性的支流編排為例題即可，與此有一定關(guān)系的知識或技能，可在習(xí)題教學(xué)中讓學(xué)生進(jìn)行遷移學(xué)習(xí)，這也是提升學(xué)生應(yīng)用能力、創(chuàng)造性解決問題能力的一個(gè)重要途徑。

第二，知識點(diǎn)是一種拓展性認(rèn)識，非“雙基”。

2023 年春季，人教社數(shù)學(xué)1～6 年級下冊全新插圖版教材正式使用。這套新插圖版教材除了插圖全部重繪，對部分內(nèi)容的編排也進(jìn)行了調(diào)整。如四年級下冊“小數(shù)的意義”單元，在學(xué)習(xí)了“小數(shù)點(diǎn)移動”之后，舊插圖版教材中編排了一道解決問題的例題（見圖2），并在這道例題之后的練習(xí)十一中編排了4 道對應(yīng)的解決問題習(xí)題。而在新插圖版教材中，圖2 這道解決問題的例題被刪除了，同時(shí)刪除的還有練習(xí)十一中4道解決問題的習(xí)題。

圖2 人教版（舊插圖版）數(shù)學(xué)教材四年級下冊“小數(shù)點(diǎn)移動”解決問題的例題

這在一定程度上反映出教材在例題與習(xí)題編排上的一個(gè)要求：數(shù)學(xué)教材中，編排為例題的知識或技能，一定是“雙基”的重要組成部分。但是，出現(xiàn)在習(xí)題中的數(shù)學(xué)知識或技能可以不是“雙基”，而是作為一種對例題知識學(xué)習(xí)之后的拓展性認(rèn)識。如在上面的例子中，圖2 作為例題出現(xiàn)，那么這個(gè)知識就是“雙基”，是要求所有學(xué)生都要掌握的，為此就有專門的習(xí)題用于練習(xí)鞏固。而在案例1 中提到的異分母分?jǐn)?shù)加減法的計(jì)算方法，因?yàn)槌霈F(xiàn)在習(xí)題中，故不要求所有學(xué)生都要學(xué)會，理由是這種計(jì)算方法只是針對異分母分?jǐn)?shù)加減法中的一類特殊題型才適用的簡便算法而已，這種計(jì)算方法學(xué)生會不會與能不能正確計(jì)算異分母分?jǐn)?shù)加減法沒有關(guān)系。因此，這只是作為異分母分?jǐn)?shù)加減法中的一種拓展性知識來認(rèn)識，不是“雙基”。由此可見，類似于案例1 中的拓展性知識，適合出現(xiàn)在習(xí)題中，而不適合編排為例題。

二、拓展學(xué)生對習(xí)題題型的見識

有一定教學(xué)經(jīng)驗(yàn)的小學(xué)數(shù)學(xué)教師在針對某一知識的習(xí)題教學(xué)中，會在合適的時(shí)機(jī)針對這一知識安排一些特定的習(xí)題題型。甚至有時(shí)候會有這樣一種感覺，如果在教學(xué)這一知識時(shí)沒有安排這種特定的習(xí)題題型，就會覺得這一知識沒有教學(xué)完整，學(xué)生難以理解與掌握這一知識。

案例2：除數(shù)是一位數(shù)的除法

習(xí)題教學(xué)記：2020年4月28日，周二。

課件出示習(xí)題：□63÷8，如果商末尾有0，那么□里可以填（ ）。

師：怎樣才能使商末尾有0？（學(xué)生被這個(gè)問題難住了，略作等待之后，一位學(xué)生猶豫著舉手了）

生1：就是最后比除數(shù)小。

我理解這位學(xué)生的意思，但估計(jì)現(xiàn)在只有自己才是他的知音，其他學(xué)生肯定是一頭霧水。

師：也就是個(gè)位除不動，是不是這個(gè)意思？（生1點(diǎn)點(diǎn)頭）這到底是什么意思呢？我們來試試看。

我板書了如上的除法豎式，從最小的數(shù)開始，填入1試一試，得到下圖。

師：觀察一下，看明白了什么？

生2：最后的3比除數(shù)小。

此時(shí)，我知道有些學(xué)生對生1的說法有點(diǎn)理解了。于是，我和學(xué)生再一起邊看豎式邊理解。

師：對呀，將最后個(gè)位的數(shù)移下來，商不夠1，就只能是0了。這樣，商的末尾就有0了。

我把豎式寫完整，讓學(xué)生直觀地看到商末尾的0。但感覺這樣教學(xué)，還是不痛不癢，不是滋味，需要繼續(xù)觀察思考。

師：怎樣才能使個(gè)位上的數(shù)移下來還是不夠除呢？

很快就有學(xué)生舉手了，我知道這個(gè)時(shí)候?qū)W生對這道習(xí)題開始有點(diǎn)感覺了。于是，我依舊等待，等待更多的學(xué)生舉手。

生3：前面正好減去，沒有余數(shù)。

（這是很了不起的一步，但我裝作若無其事的樣子）

師：說說簡單，怎樣才能使前面正好減去而沒有余數(shù)呢？

學(xué)生先獨(dú)立思考，再同桌討論，最后全班一起交流，最終發(fā)現(xiàn)：只要8的乘法口訣中得數(shù)個(gè)位是6的情況就可以。于是，學(xué)生又想到了□中可以填5，這樣商是70，末尾有0，并填入2 和6 驗(yàn)證是不行的。

從回答的情況看，學(xué)生填入1 和5 的情況比較多，當(dāng)然兩個(gè)都填入的極少。不過，明眼人一定已經(jīng)看到，這道習(xí)題還有一個(gè)答案——9。為什么學(xué)生能想到1和5，卻想不到9呢？因?yàn)?的乘法口訣中沒有得數(shù)是96的。

師：看來，這里可以填1，也可以填5。還有不一樣的答案嗎？（學(xué)生表示沒有了）我告訴大家，還有一個(gè)答案。（等待，等待……終于，一位學(xué)生舉手了）

生4：9。（學(xué)生自己嘗試，發(fā)現(xiàn)9是正確的）

在完成9 的驗(yàn)證之后，學(xué)生進(jìn)一步討論：為什么我們都想不到9？

……

案例2 中的習(xí)題“□63÷8，如果商末尾有0，那么□里可以填（ ）”，相信教過“除數(shù)是一位數(shù)的除法”這一知識的教師一定不會陌生，因?yàn)檫@是習(xí)題中的一種經(jīng)典題型。因此，當(dāng)教學(xué)這一知識時(shí)，很多教師都會安排這樣的特定題型讓學(xué)生練習(xí)。這種題型后續(xù)還會出現(xiàn)在很多相關(guān)知識的習(xí)題中，如“除數(shù)是兩位數(shù)的除法”等。

計(jì)算教學(xué)的一個(gè)很重要目標(biāo)，就是使學(xué)生能夠正確、靈活地進(jìn)行計(jì)算。但是，類似案例2 這樣的習(xí)題不是為了獲得一個(gè)正確的計(jì)算結(jié)果，而是為了鞏固學(xué)生對算理的理解和掌握，因此這種題型也會經(jīng)常出現(xiàn)在檢測題中。這就是說，有時(shí)候?yàn)榱藱z測學(xué)生對某一數(shù)學(xué)知識是否全面、深入地理解和掌握，經(jīng)常會有一些與這一目標(biāo)相匹配的特定題型出現(xiàn)。經(jīng)過長時(shí)間的發(fā)展，其中有一些特定題型已經(jīng)成為經(jīng)典題型。這種經(jīng)典題型有時(shí)出現(xiàn)在例題中，有時(shí)則出現(xiàn)在習(xí)題中。

類似于這樣的經(jīng)典題型，在小學(xué)數(shù)學(xué)習(xí)題教學(xué)中是很常見的。

“小數(shù)的意義”中的習(xí)題：一個(gè)兩位小數(shù)，保留一位小數(shù)后是2.6。這個(gè)兩位小數(shù)最大是（ ），最小是（ ）。

“分?jǐn)?shù)的意義”中的習(xí)題：把一根5 米長的繩子平均分成9段，每段長（ ）米，每段占全長的（ ）。

“圓的面積”中的習(xí)題：一塊草地上有一根木樁，上面用一根4 米長的繩子拴著一只羊。這只羊最多能吃到草的面積是多少平方米？

上面三道習(xí)題，都是相對應(yīng)知識習(xí)題中的經(jīng)典題型，甚至像“小數(shù)的意義”和“分?jǐn)?shù)的意義”中的習(xí)題，已經(jīng)成為這些知識習(xí)題教學(xué)中的易錯題型。因此，像這樣的經(jīng)典題型，如果在習(xí)題教學(xué)時(shí)沒有讓學(xué)生見識過，估計(jì)沒有一位教師心里是踏實(shí)的，因?yàn)檫@不僅關(guān)系到學(xué)生對相對應(yīng)知識的理解和掌握，還關(guān)系學(xué)生的檢測成績。

由此可見，小學(xué)數(shù)學(xué)習(xí)題教學(xué)具有拓展學(xué)生對習(xí)題題型見識的功能。當(dāng)然，這種見識不是僅僅見過這樣的習(xí)題，更是理解和掌握這些習(xí)題的解題策略。

在習(xí)題教學(xué)中拓展學(xué)生對習(xí)題題型的見識，一方面體現(xiàn)在上述提到的經(jīng)典習(xí)題上；另一方面，體現(xiàn)在習(xí)題的變式上（見圖3）。

圖3 人教版數(shù)學(xué)教材四年級上冊解決問題的習(xí)題

這是人教版數(shù)學(xué)教材四年級上冊“除數(shù)是兩位數(shù)的除法”單元“整理與復(fù)習(xí)”中的一道習(xí)題，其特點(diǎn)是首次出現(xiàn)了“買3棵送1棵”這樣購物問題中經(jīng)典的“買幾送幾”的信息。因此，對于使用人教版數(shù)學(xué)教材的學(xué)生而言，面對這道習(xí)題是一種新的題型見識。教學(xué)中，通過直觀演示、圖示表征等方式，學(xué)生能較好地理解其中“買3 棵送1 棵”的意思，進(jìn)而理解這道習(xí)題的解答方法。

但是，這道習(xí)題的教學(xué)到此還遠(yuǎn)沒有結(jié)束。請看圖4，在與這節(jié)課配套的本地《課堂作業(yè)本》（浙江教育出版社，浙江省廳教研室組織編寫）中連續(xù)出現(xiàn)了這道習(xí)題的兩次變式。

圖4 《課堂作業(yè)本》中的兩道變式題

變式一：增加了一個(gè)比較單價(jià)的問題。

變式二：將原本告知“總價(jià)”的條件變成告知“數(shù)量”的條件，問題也隨之發(fā)生變化。

因此，在教學(xué)這道習(xí)題時(shí)，絕不能僅僅滿足于這道習(xí)題本身，而要著眼于這道習(xí)題可能存在的變式，進(jìn)一步拓展學(xué)生對題型的見識。類似于這樣的情況在小學(xué)數(shù)學(xué)習(xí)題教學(xué)中很常見，我們不妨再來看其他的例子。

一位有經(jīng)驗(yàn)的教師，會在教學(xué)經(jīng)典習(xí)題后，教學(xué)變式習(xí)題；一位新手教師，則可能不會教學(xué)變式習(xí)題。因此，不管是從學(xué)生對知識、習(xí)題的理解和掌握來看，還是從最后的學(xué)科檢測成績來看，幫助學(xué)生拓展題型見識往往成了新手教師在教學(xué)質(zhì)量上敗給有經(jīng)驗(yàn)教師的重要原因。所以，學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的疑難點(diǎn)，一般不是表現(xiàn)在數(shù)學(xué)知識和技能本身，而是表現(xiàn)在運(yùn)用數(shù)學(xué)知識和技能解答某一類型的習(xí)題上。有沒有讓學(xué)生見識過多樣的、特別是經(jīng)典的習(xí)題，對學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)非常重要。

綜上所述，小學(xué)數(shù)學(xué)習(xí)題教學(xué)具有拓展學(xué)生數(shù)學(xué)認(rèn)識和習(xí)題題型見識的重要功能。