大概念視域下課堂例題教學的實踐

司緒榮

課堂教學是形成與發展學生數學核心素養的一個重要載體，更是落實課改理念的一個重要環節，因而課堂成為大概念視域下教學實踐的一個重要場所.

重視課堂例題教學是在當前習題操作模塊的基礎上，合理引導學生積極主動參與其中，動口、動手、動腦，在課堂例題的基礎上進行合理的深度學習，以典型例題為中心向外延伸與拓展，形成更加高階的數學思維能力，促進課堂合理轉型.

1 高考真題

（2023年新高考Ⅱ卷·13）已知向量a，b滿足|a－b|=根3，|a+b|=|2a－b|，則|b|=______。

2 大概念的理論基礎

大概念視域下的數學課堂教學，從具體問題及相關基礎概念入手，聯系與之相關的重要概念，進而挖掘問題的核心概念，為問題的解決與應用奠定基礎，從而形成大概念思維，構建良好的解題思維品質.

3 例題中的大概念建構

基于深度學習，從大概念的建構層面剖析對應的平面向量及其應用問題.此題借助兩個平面向量之間的線性關系，以及對應的模的數值與關系等創設條件，進而確定對應向量的模.

試題體現的大概念是數形結合思想，這種思維方法將平面向量兼備的“數”與“形”的雙重特征體現得淋漓盡致，如圖1所示，從而也為問題的數學抽象與數學運算等打下基礎.依托平面向量的數量積這一重要概念，回歸平面向量的線性運算與模等基礎概念，引導學生通過合理的概念分析與應用來解決問題.

以大概念的指導為方向，基于此類平面向量的綜合應用問題，借助平面向量自身所兼備的“數”與“形”的雙重特征，從代數思維切入，合理數學運算；從幾何思維切入，巧妙直觀想象.當然還可以利用該問題的特殊形式，從特殊值思維切入，借助特殊值加以巧妙選取與合理驗證.這些都是解決本題的基本數學思維方式，展示紛呈多樣的技巧與方法.

4 大概念視域下的課堂教學實踐

大概念視域下平面向量的綜合問題，可以從“數”“形”以及特殊思維等方面來展開與應用，從而得以分析與解決實際問題.

4.1 代數思維

問題1?如何從代數視角，以“數”的屬性來解題？

合理引導學生通過來平面向量數量積的轉化，借助平方運算等來達到目的.

問題2?對平面向量的模的關系式兩邊進行平方處理，有怎樣的效果？

解法1：平方轉化法.

將|a+b|=|2a－b|兩邊平方，可得（a+b）2=（2a－b）2，

整理得a2－2a·b=0.

又|a－b|=3，兩邊平方可得（a－b）2=3，則有a2－2a·b+b2=3，可得b2=3，即|b|=3.[WTBX]

設計意圖：根據平面向量的模之間的關系式，通過平方處理，轉化為平面向量的數量積問題，結合平面向量的運算法則加以變形轉化與巧妙應用，是解決此類平面向量問題的“通性通法”.抓住向量的模以及模之間的關系，遇“模”平方是潛意識操作，通過平方運算以及方程組的聯立，可以為問題的進一步解決指明方向，也是解決問題的關鍵所在.

問題3?對問題中的平面向量線性關系進行整體代換，有何效果？

解法2：整體換元法.

設計意圖：根據題中平面向量之間的線性關系，借助整體換元引入新向量，由此構建兩個平面向量的非對稱線性關系式的模之間的恒等關系，同樣利用平方運算來轉化與應用.整體換元的目的在于關系式的變形轉化與巧妙應用，其關鍵在于利用了

這個基本結論.

問題4?回歸平面直角坐標系，如果利用坐標運算如何分析與解決問題？

解法3：坐標法.

設計意圖：建立平面直角坐標系，合理引入平面向量的坐標，利用坐標運算以及模的公式合理轉化與應用，利用方程求解、等量代換等加以轉化與應用，通過數學運算達到目的.坐標法也是平面向量中“數”的屬性的一大體現，利用坐標的表示與應用，合理通過數學運算來處理一些相關的向量問題，也是解決平面向量問題的“通性通法”.

4.2 幾何思維

問題5?如何從幾何視角，以“形”的結構特征解題？

問題6?合理構建平面幾何圖形，如何基于圖形直觀來推理與運算呢？

解法4：平面幾何法.

設計意圖：回歸平面向量自身“形”的幾何特征，構建與題設相關的平面幾何圖形，利用平面幾何的相關知識與基本性質，結合直觀視角來數形結合，從“形”的視角來分析與解決問題.在解決一些平面向量問題中，由“數”轉“形”，借助“形”的直觀，通過數形結合與邏輯推理來解決相關問題，可以減少數學運算.

4.3 特殊值思維

問題7?解決問題的“巧技妙法”往往是處理選擇題與填空題的一種特殊方法，那么該問題能否通過特殊思維來快捷處理呢？

問題8?如何從特殊思維視角，用一般與特殊的轉化與化歸思維來解決該問題呢？

解法5：特殊值法1.

由|a+b|=|2a－b|，顯然當a=0這個特殊值時，有|0+b|=|0－b|，該關系式成立，

此時有|a－b|=|－b|=|b|=3.

解法6：特殊值法2.

由|a+b|=|2a－b|，顯然當a=2b這個特殊值時，有|2b+b|=|4b－b|=3|b|，該關系式成立，

此時有|a－b|=|2b－b|=|b|=3[WTBX].

設計意圖：特殊值思維是解決數學問題中最為特殊的一種“巧技妙法”.抓住題設條件中平面向量之間的線性關系，以特殊的零向量、特殊的數乘向量關系等代入滿足的關系式，借此通過這個特殊值的應用來技巧化解決問題.利用特殊值法在解決一些具有確定結論的選擇題或填空題時，借助特殊值（特殊函數、特殊向量、特殊圖形等）的應用，以特殊代替一般，又回歸到一般情況，符合辯證唯物主義思想.

大概念視域下，涉及平面向量的綜合問題，往往可以從定義思維視角、代數思維視角、幾何思維視角、特殊值思維視角等不同角度切入，合理發散思維.

大概念視域下，借助“一題多解”的巧妙應用，充分融合數學基礎知識與基本技能，形成穩定的數學知識架構，從而脫離“題海戰術”，拓寬數學基礎知識，切實提高數學能力，提升數學品質與核心素養，真正達到舉一反三、融會貫通的效果，得以創新拓展.