重視概念教學(xué) 提升核心素養(yǎng)

杜文偉

摘要：本文中基于《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》中闡述的在學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)和應(yīng)用數(shù)學(xué)的過程中，學(xué)生能發(fā)展數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運算、數(shù)據(jù)分析等數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)，以人教A版選擇性必修第一冊“2.1傾斜角和斜率”概念課為例進(jìn)行教學(xué)設(shè)計.數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)的靈魂，概念教學(xué)一是要抓住概念的“質(zhì)”（概念的內(nèi)涵），二是要抓住概念的“量”（概念的外延），在此基礎(chǔ)上培養(yǎng)學(xué)生的核心素養(yǎng).

關(guān)鍵詞：直線；傾斜角；斜率

本節(jié)主要是結(jié)合問題導(dǎo)向，讓學(xué)生探索在平面直角坐標(biāo)系中確定一條直線位置的幾何要素，從而得到直線的傾斜角、斜率的概念及斜率公式等，讓學(xué)生經(jīng)歷用幾何和代數(shù)的不同思想在平面直角坐標(biāo)系中定量刻畫一條直線位置的過程，感悟平面解析幾何中蘊含的數(shù)學(xué)思想.

1 教學(xué)分析［1］

1.1 教材分析

本節(jié)是平面解析幾何的起始課，將采用坐標(biāo)法研究平面幾何圖形問題.直線的傾斜角和斜率是刻畫直線傾斜程度的幾何要素與代數(shù)表示，是學(xué)習(xí)平面解析幾何的基礎(chǔ).在直線與直線，直線與圓、橢圓、雙曲線和拋物線的位置關(guān)系以及其他相關(guān)綜合問題的解決上，直線的斜率都會起到非常重要的作用.通過本節(jié)的學(xué)習(xí)，學(xué)生能夠體會平面解析幾何中蘊含的數(shù)學(xué)思想，進(jìn)而能夠提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

1.2 教學(xué)目標(biāo)

1.2.1 知識與能力目標(biāo)

（1）理解與掌握直線的傾斜角和斜率的概念，掌握直線斜率的計算公式，理解直線的方向向量與斜率的關(guān)系；

（2）培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象思維、問題探究等基本的數(shù)學(xué)思維能力；

（3）能夠利用數(shù)學(xué)知識解決簡單的實際問題；

（4）通過知識學(xué)習(xí)，體會分析與解決問題的數(shù)學(xué)思想和方法.

1.2.2 學(xué)科素養(yǎng)目標(biāo)

（1）經(jīng)歷從數(shù)量關(guān)系和圖形關(guān)系中抽象出直線斜率概念的過程，提升數(shù)學(xué)抽象核心素養(yǎng)；

（2）利用圖形描述，建立傾斜角和斜率即數(shù)與形的關(guān)系，提升直觀想象核心素養(yǎng)；

（3）通過依據(jù)三角函數(shù)運算法則求得運算結(jié)果，提升數(shù)學(xué)運算核心素養(yǎng).

1.2.3 情感態(tài)度價值觀目標(biāo)

（1）通過數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動，體會數(shù)學(xué)的特點，培養(yǎng)數(shù)學(xué)的思維品質(zhì)；

（2）培養(yǎng)獨立思考、合作交流、嚴(yán)謹(jǐn)求實的科學(xué)態(tài)度和對知識探究的理性精神.

1.3 教學(xué)重難點

教學(xué)重點：直線的傾斜角和斜率的概念、斜率公式.

教學(xué)難點：直線的斜率和傾斜角之間的關(guān)系.

2 教學(xué)過程

探究1：確定直線位置的幾何要素（點和方向）.

問題1?一次函數(shù)與直線是否一一對應(yīng)？

學(xué)生：一次函數(shù)的圖象都是直線，反之不一定，故一次函數(shù)與直線不是一一對應(yīng).

問題2?對于平面直角坐標(biāo)系中的一條直線l，按照教材中定義的直線的方向，如何利用平面直角坐標(biāo)系確定它的位置？

觀察圖1，你能說出這些直線的區(qū)別嗎？

學(xué)生甲：這些直線相對于x軸的傾斜程度不同.

學(xué)生乙：這些直線與x軸所成的角不同.

追問：如何用直線與x軸所成的角來表示這些直線的方向或傾斜程度呢？

學(xué)生：需要定義直線與x軸所成的角.

教師：很好，下面我們進(jìn)入下一個探究.

設(shè)計意圖：通過問題導(dǎo)向，引入直線的傾斜角這一重要概念，培養(yǎng)通過圖形關(guān)系抽象數(shù)學(xué)概念的數(shù)學(xué)抽象核心素養(yǎng).

探究2：利用直線的傾斜角定量刻畫直線的方向.

教師：直線傾斜角的概念（略）.

學(xué)生小組合作學(xué)習(xí)1：

根據(jù)教材中定義的直線l的傾斜角的概念，我們知道直線l的傾斜角α的取值范圍為00≤α<180°，那么如何理解直線的傾斜角呢？

學(xué)生探究，教師總結(jié)：

（1）直線的傾斜角可以定量刻畫平面直角坐標(biāo)系中一條直線的傾斜程度，是從“形”的角度定量刻畫直線相對于x軸正向的傾斜程度；

（2）從運動變化的觀點看，當(dāng)直線與x軸相交時，直線的傾斜角可以理解為由x軸繞著直線與x軸的交點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)到與直線重合時所旋轉(zhuǎn)的最小正角.

設(shè)計意圖：使學(xué)生理解在平面直角坐標(biāo)系中確定直線位置的幾何要素是直線上的一個點和傾斜角，從而借助圖形培養(yǎng)學(xué)生直觀想象核心素養(yǎng).

追問：你能在表1中準(zhǔn)確畫出下列直線嗎？

例1?（1）圖2中直線l的傾斜角為[CD#3].

（2）若直線l向上的方向與y軸的正方向成30°角，則此直線的傾斜角為[CD#3].

問題導(dǎo)向：通過以上學(xué)習(xí)，我們可以理解直線的傾斜角是從“形”的角度量化直線相對于x軸正向的傾斜程度，那么是否也可以從“數(shù)”的角度來量化直線的傾斜程度呢？

探究3：用直線的斜率量化直線的傾斜程度.

問題3?直線l的傾斜角α與直線l上P1，P2兩點的坐標(biāo)有什么關(guān)系？

學(xué)生小組合作學(xué)習(xí)2：

在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)直線l的傾斜角為α，分別討論當(dāng)直線l滿足下列情況時，直線l的傾斜角α與此直線上兩點坐標(biāo)的關(guān)系：

（1）已知直線l經(jīng)過兩點O（0，0），P（3，1）；

（2）已知直線l經(jīng)過兩點P1（－1，1），P2（2，0）；

（3）已知直線l經(jīng)過兩點P1（x1，y1），P2（x2，y2）（x1≠x2）.

[JP5]教師總結(jié)：直線l的傾斜角α與P1（x1，y1），P2（x2，y2）（x1≠x2）

兩點坐標(biāo)的關(guān)系為tan α=y1－y2x1－x2=y2－y1x2－x1.

問題4?當(dāng)直線P1P2與x軸平行或重合時，上述

式子還成立嗎？

學(xué)生：成立.因為當(dāng)直線P1P2與x軸平行或重合

時α=0°，

則tan α=tan 0°=0.又P1（x1，y1），P2（x2，y2），

x1≠x2，y1=y2，則

y2－y1x2－x1=0.所以tan α=y2－y1x2－x1.

引入斜率的定義：我們把直線l的傾斜角α的正切值叫做這條直線的斜率，即斜率k=tan α（α≠90°）.

學(xué)生小組合作學(xué)習(xí)3：

通過上述探究我們知道，當(dāng)直線l的傾斜角α不為90°時，其斜率是一個實數(shù)，如何理解其斜率呢？

（1）可以用斜率這一實數(shù)量化傾斜角不是90°的直線相對于x軸正向的傾斜程度；

（2）直線的傾斜角和斜率都是刻畫直線相對于x軸正向的傾斜程度的，傾斜角側(cè)重于從幾何角度而斜率側(cè)重于從代數(shù)角度刻畫.

思考：為什么用傾斜角α的正切值定義直線的斜率，而不是用傾斜角α的正弦值或余弦值呢？

學(xué)生討論，教師總結(jié)：

（1）在后面直線方程的學(xué)習(xí)中，直線方程中x，y的系數(shù)反映了直線傾斜角的正切值;

（2）數(shù)學(xué)來源于生活又服務(wù)于生活，我們?nèi)粘Ｉ钪谐Ｓ谩捌露取北硎疽粌A斜面的傾斜程度，坡度=鉛直高度水平寬度，此計算公式體現(xiàn)的正是傾斜角的正切值.

學(xué)生小組合作學(xué)習(xí)4：

問題5?直線l的傾斜角α與其斜率的變化關(guān)系.

教師引導(dǎo)：因為α∈［0，π），而斜率k=tan αα≠π2，所以可以用正切函數(shù)y=tan x，x∈[JB（［]0，π2[JB）]∪π2，π的圖象進(jìn)行動態(tài)演示（如圖3）.

設(shè)計意圖：使學(xué)生理解直線的傾斜角和斜率分別是從“形”和“數(shù)”兩個角度刻畫直線相對于x軸的傾斜程度，同時體會數(shù)學(xué)中“數(shù)”與“形”的完美統(tǒng)一，能真正理解并掌握直線傾斜角和斜率的辯證統(tǒng)一，培養(yǎng)思維品質(zhì)和理性精神，樹立正確的價值觀.

例2?（1）已知O（O為平面直角坐標(biāo)系的坐標(biāo)原點）是等腰直角三角形OAB的直角頂點，點A在第一象限，∠AOy=15°，則斜邊AB所在直線的斜率為[CD#3].

（2）若直線l的傾斜角α的變化范圍是[JB（［]π6，π3[JB）]，則直線l斜率的取值范圍是[CD#3].

問題導(dǎo)向：我們知道兩點確定一條直線，如果已知直線上兩點的坐標(biāo)，那么這條直線的傾斜角就唯一確定，若直線l的傾斜角不為90°時，其斜率唯一確定.那么，直線的斜率和此直線上兩點的坐標(biāo)有什么關(guān)系呢？

探究4：用直線上任意兩點的坐標(biāo)表示斜率.

學(xué)生小組合作學(xué)習(xí)5：

（1）已知直線上的兩點A（a1，a2），B（b1，b2），運用上述公式計算直線AB的斜率時，與A，B兩點的順序有關(guān)嗎？

（2）當(dāng)直線平行于y軸或與y軸重合時，上述公式還適用嗎？為什么？

設(shè)計意圖：提醒學(xué)生在研究直線斜率問題時，要根據(jù)題意分析是否需要討論斜率存在與不存在兩種情況，培養(yǎng)學(xué)生分類討論和數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，以及數(shù)學(xué)運算核心素養(yǎng).

例3?（1）已知三點A（3，1），B（－2，t），C（8，1）能構(gòu)成三角形，則實數(shù)t的取值范圍是[CD#3].

（2）已知點M（x，y）在函數(shù)y=－2x+8，x∈［2，5］的圖象上，則y+1x+1的取值范圍是[CD#3].

探究5：建立直線的方向向量與斜率的關(guān)系.

問題6?我們知道，直線的方向向量為直線P1P2上的向量P1P2以及與它平行的非零向量，那么直線的斜率與直線的方向向量有什么關(guān)系呢？

學(xué)生自主探究，教師總結(jié)：

（1）若直線l的斜率不存在，即直線與x軸垂直時，則它的一個方向向量的坐標(biāo)為（0，t）（t≠0）；

（2）若直線l的斜率為k，則它的一個方向向量的坐標(biāo)為（1，k）.

以上即建立了直線的方向向量與斜率的關(guān)系.

設(shè)計意圖：讓學(xué)生理解直線的斜率和直線的方向向量的內(nèi)在聯(lián)系，培養(yǎng)學(xué)生把握事物關(guān)聯(lián)的理性思維品質(zhì).

例4?（1）若直線l的方向向量是（1，sin θ），則此直線傾斜角的取值范圍是[CD#3].

（2）若直線l的方向向量是（3，sin θ），則此直線傾斜角的取值范圍是[CD#3].

3 教學(xué)反思，提高認(rèn)識

3.1 重視概念生成，提升數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)

本節(jié)課以直線的傾斜角和斜率為載體，重在發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象核心素養(yǎng)，通過將平面中確定一條直線位置的幾何要素（點和方向），抽象為在平面直角坐標(biāo)系中確定一條直線位置的量，進(jìn)而抽象出傾斜角的概念，然后由“形”到“數(shù)”，抽象出斜率的概念，進(jìn)而得到直線方向向量的概念.通過概念教學(xué)，提升了學(xué)生數(shù)學(xué)抽象核心素養(yǎng).

3.2 重視問題驅(qū)動，提升直觀想象素養(yǎng)

在教學(xué)方法上，利用如何在平面直角坐標(biāo)系中確定一條直線位置的問題設(shè)計，以及如何理解直線的傾斜角和斜率的概念等，采用問題驅(qū)動，讓學(xué)生小組合作、主動探究，將課堂主動權(quán)真正交給學(xué)生.學(xué)生通過直觀想象、合作探究和教師引導(dǎo)的概念教學(xué)，提升了直觀想象核心素養(yǎng)［２］.

3.3 重視知識反饋，提升數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)

在課堂教學(xué)中，學(xué)生不僅要能理解傾斜角和斜率及直線的方向向量等重要概念，還要能應(yīng)用概念解決數(shù)學(xué)實際問題.通過設(shè)計典型例題解析，加深學(xué)生對概念的理解，能應(yīng)用概念正確解決問題，提升學(xué)生數(shù)學(xué)運算核心素養(yǎng).

參考文獻(xiàn)：

[1]中華人民共和國教育部.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）［S］.北京：人民教育出版社，2018.

[2]馬清太，尹祖榮.核心素養(yǎng)下的單元教學(xué)設(shè)計——以“三角函數(shù)概念”為例［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2022（7）：17-20.