立足經驗生長 輔以技術支持

石雨卓

摘要：為了使學生通過數學課程的學習，獲得基本活動經驗的自然生長，本文中從學生的角度出發，通過GeoGebra的應用，對圓錐曲線“離心率和漸近線”教學進行整合設計，尊重學生的知識生成，使學生親身經歷數學探究過程，成為課堂真正的“主角”.

關鍵詞：經驗生長；信息技術；圓錐曲線；幾何性質

對于圓錐曲線的教學，人教A版教科書類比初等函數，“同構”研究方法、內容和過程，形成如圖1所示的研究流程.

教科書的這一設計兼顧了三種圓錐曲線的“個性”與“共性”，讓學生明確學習方向，同時搭建了新舊知識間的聯系，使學生在學習過程中形成數學研究思路，提煉基本活動經驗.

1 問題提出

在幾何性質的研究中，教科書采用“先通過幾何直觀感知圖形，后通過坐標代數驗證性質”的思路展開.由于較難精準畫出圓錐曲線的圖形，教科書多次采用GeoGebra等信息技術進行探究式教學，但在實際教學中出現了以下問題：

（1）橢圓的扁平程度和雙曲線的“張口”大小可用離心率e=[SX（]c[]a[SX）]來刻畫，但通過GeoGebra的動態展示，學生自然提出用[SX（]b[]a[SX）]刻畫，并未聯想到[SX（]c[]a[SX）]；

（2）在研究雙曲線的幾何性質時，學生基于橢圓的研究經驗，提出雙曲線范圍、對稱性、定點和離心率的研究內容和思路，并未聯想到漸近線；

（3）對于雙曲線的漸近線與[SX（]b[]a[SX）]之間的聯系，學生較難聯想到，導致知識生成不夠自然.

因此，為了使學生成為課堂真正的“主角”，基本活動經驗得以自然生長，筆者對于橢圓與雙曲線的離心率以及雙曲線的漸近線教學作出如圖2的設計：

在橢圓的教學中，通過基本量間的關系，引導學生得出離心率的概念，并與已產生的新知識，即用[SX（]b[]a[SX）]刻畫橢圓扁平程度產生聯系；在雙曲線中，采用類比方法，在橢圓的探究基礎上，先探究離心率，再通過思考e與[SX（]b[]a[SX）]之間的關系，利用GeoGebra觀察二者與雙曲線形狀之間的關系，進而得出漸近線的概念.充分尊重學生的知識生成，守護“主體”地位.

2 橢圓的“離心率”教學

例1?請根據所學知識，畫出下列曲線方程所表示的大致圖形，并找出它們之間的區別與聯系.

生：如圖3，兩個橢圓的長軸長一樣，短軸長不一樣，橢圓C2比橢圓C1更扁.

思考1：橢圓的形狀大小與橢圓的哪些量有關？如何設計實驗？

生：橢圓的形狀和大小與橢圓長軸長2a以及短軸長2b有關.

利用GeoGebra繪制橢圓[SX（]x2[]25[SX）]+[SX（]y2[]m[SX）]=1（m＞0），控制m的大小，觀察橢圓形狀變化，如圖4.

生：當m∈（0，25）時，圖形是焦點在x軸的橢圓，且隨著m的增大，橢圓的長軸不變，短軸變長，橢圓更圓；當m=25時，圖形是以原點為圓心，5為半徑的圓；當m∈（25，+∞）時，圖形為焦點在y軸的橢圓，且隨著m的增大，橢圓的短軸不變，長軸變長，橢圓更扁.

觀察：如圖5，隨著n的變化，

生：隨著n的增大，橢圓的形狀不變.

思考2：如何通過橢圓方程[SX（]x2[]a2[SX）]+[SX（]y2[]b2[SX）]=1（a＞b＞0），定量刻畫橢圓的扁平程度？

生：當[SX（]b[]a[SX）]越接近1時，橢圓的形狀更圓；當[SX（]b[]a[SX）]越接近0時，橢圓的形狀更扁.

思考3：如何在例1的圖形中找到橢圓的焦點？

生：對于橢圓C1，直接通過c2=a2-b2計算得到；而對于橢圓C2，則以橢圓上頂點B2為圓心，OA2為半徑作圓，與x軸的交點即為橢圓的焦點.如圖6.

教學說明：先組織學生觀察兩個特殊橢圓的區別與聯系，聯想到橢圓的扁平程度與基本量a，b有關，接著自主設計并進行GeoGebra實驗，得出結論.通過在例1中找出橢圓焦點，推導出[SX（]c[]a[SX）]與橢圓扁平程度的關系，引出離心率的概念.最后通過例2，發現學生均利用[SX（]b[]a[SX）]來比較橢圓的扁平程度.因此對于學生來講，[SX（]b[]a[SX）]比e刻畫橢圓扁平程度效果更好，這需要教師做好引導工作，幫助學生找出橢圓形狀與基本量間的聯系.

3 雙曲線的“離心率與漸近線”教學

類比橢圓，如何確定雙曲線[SX（]x2[]a2[SX）]-[SX（]y2[]b2[SX）]=1（a＞0，b＞0）幾何性質的研究內容？

生：研究雙曲線的范圍、頂點、對稱性和離心率.（此處，學生易得雙曲線相關性質，并證明.）

對于雙曲線的頂點，若令x=0，則y2=－b2，方程無實數解，即雙曲線與y軸沒有交點，但仍將B1（0，－b），B2（0，b）畫在坐標系中，類比橢圓得到一個相切矩形，雙曲線落在矩形外的左右兩側（如圖7）.

思考5：類比橢圓，雙曲線的離心率e與[SX（]b[]a[SX）]有何關系？

思考6：如何設計GeoGebra實驗，觀察e與[SX（]b[]a[SX）]能否刻畫雙曲線的形狀？如果能，又如何刻畫？

生：保持a=1不變，控制b的大小，隨著b的增大，離心率e也隨之增大，如圖8.觀察雙曲線的形狀特征及變化.

教學說明：在類比橢圓進行雙曲線幾何性質的研究時，學生自然想到了對雙曲線的范圍、頂點、對稱性和離心率.為了讓學生更好地觀察雙曲線“漸近線”的特征，筆者仍以類比的方法，引入相切矩形，使學生自然觀察到“漸近線”，理解橢圓與雙曲線之間的“共性”與“個性”.

4 教學反思

4.1 立足經驗生長

愛因斯坦曾說“把在學校所學到的東西全忘光，所剩下來的東西便是教育”，而經驗或許便是那“所剩下來的東西”.在學習過程中，不斷產生新的經驗，并且先前的經驗不斷被檢驗和更新，學生的基本活動經驗從而得到生長.因此，在“離心率和漸近線”的教學中，為了讓學生更好地進行類比學習，筆者先在橢圓的教學中尊重學生的知識生成.例如，用[SX（]b[]a[SX）]刻畫橢圓的扁平程度；后在雙曲線的教學中尊重學生的經驗檢驗和更新，并適當加以引導，以辨析圓錐曲線間的“共性”與“個性”，促進學生經驗的自然生長.

4.2 輔以技術支持

“工欲善其事，必先利其器”，在探究活動中合理使用GeoGebra進行動態實驗，不僅可以使原本枯燥乏味的數學知識變得更加生動形象，更能促進學生養成動手操作、觀察猜想、歸納驗證、辨析修正的學習習慣.因此，筆者在探究圓錐曲線的幾何性質中通過GeoGebra的動態實驗，將原本枯燥單調的圓錐曲線變得活潑生動且富有表達力，拉進了學生與解析幾何的距離.同時，筆者也注重學生的主體地位和技術的輔助角色，讓學生自主設計動態實驗，使GeoGebra成為學生探究數學知識的有力工具，從而更好地理解圓錐曲線的幾何性質，深入本質，促進數學思維品質的發展，以便更好地面對時代競爭.