高中數學建模素養培養存在的問題及對策

廖明艷 林瑞記

1 問題的提出

我國在數學學科核心素養方面的研究取得了很多喜人的成果，如中國學生代表隊在各類國際數學比賽中摘冠奪銀.但在這些數學教育成就的背后，也隱藏著很多我們不得不承認的缺點或問題，比如我們的學生適合解決一些指向性明確的或者純數學類的問題，對于生活化的問題往往束手無策.針對該現象，新課改指出了“數學建模”是學科核心素養和解決問題的基本方法之一，對于提高學生的數學知識應用能力有著極佳的效果.筆者結合自身在高中數學一線課堂教學的實際，總結了高中生數學建模素養培養過程中存在的問題，并針對實際問題提出了相應的解決對策.

2 高中數學建模素養培養中存在的問題

高考是高中階段學生學習的共同目標，在高考“指揮棒”的引領下，不可否認我們的數學課堂教學更多的是在鍛煉學生的解題能力，學生的動手能力、發散性思維和創新思維亟待提高.

2.1 學生對數學知識的掌握重理論而輕實踐

楊振寧教授和丘成桐教授都曾在央視采訪里公開表示：中國的學生適合解答一些指向性明確的題目，擅長解答卷面純數字化習題，對于解決有實際背景的問題往往不知道該從哪里入手，而且后期對數學的學習缺乏興趣的驅動和創造性的思維.

2.2 課程內容設置和課時形式安排的局限性

在2017年版的新課標頒布以前，我們的課程設置對數學學科核心素養的培養表述是模糊的，也沒有具體的不同發展水平評價層次.課堂的安排也以教師講授為主，很多時候數學課都變成了滿堂灌的練習課，缺乏探究性課程和發展學生合作學習能力的問題研討.時而久之，學生習慣于老師“出問題”，再由學生“解問題”的填鴨式教學方式，導致思維出現局限性和守舊性，缺乏發散性和創新性.

2.3 [JP4]教師授課方式守舊，缺乏建模經驗，應用意識薄弱

造成學生數學建模素養能力薄弱的另一個原因是教師課堂上的教學方式守舊，將原本應該幫助學生建構知識框架和培養發散性思維的數學課堂，最終變成了解題與刷題的習題課.大多數高中數學教師對數學建模的認識和操作經驗相對較少，更少有就數學建模進行系統且全面的培訓學習，數學授課方式大部分還是傳統的講授法.教師在課堂上沒有做到以學生為主體，學生學習數學的過程是被動接受的，也沒有很好地發揮教師的主導作用.

3 數學建模素養培養中存在問題的解決對策

3.1 教學情境中讓學生感受數學建模的作用

數學課通常是由情境引入開始的，情境引入的成功與否直接影響著整堂課的教學效果.好的教學情境能激發學生“探究數學”的興趣，讓學生感受數學建模的重要作用，并應用已有的知識解決實際生活問題，培養動手能力.

例如，在學習等比數列的前n項和公式時，教師可以對教材中“國王在棋盤上擺麥粒獎勵國際象棋發明者”的故事進行加工處理，以這部分知識為基礎，構建一個合理且引人入勝的教學情境.最后，教師還可以引導學生聯系現實生活中的案例，比如各種非法網貸計算利息的方式，讓學生增強法律意識，拒絕非法網貸，增強法律意識.

探究建模實例：存款、貸款模型.購房需要向銀行貸款a萬元，利率為r，每月還款額x萬元，第n個月仍欠本金an，且第n個月還款額為bn.

（1）如果以等額本息方式還款，那么

第1個月還款后剩余待還金額為a1=a（1+r）-x；

第2個月還款后剩余待還金額為a2=a（1+r）2-［1+（1+r）］x；

…………

第n個月還款后剩余待還金額為an=a（1+r）n-（1+r）n-1rx.

貸款還清即an=0，所以x=ar（1+r）n（1+r）n-1，那么還款總額S=x·n=nar（1+r）n（1+r）n-1.

（2）如果以等額本金方式還款，那么

第1個月還款金額為b1=ar+an；

第2個月還款金額為b2=b1-ran；

…………

第n個月還款金額為bn=bn-1-ran；

綜合上式，可得還款總額S=1+n·r+r2·a.

從近些年數學學科的高考試題來看，高考不再僅是考查學生的解題能力，而是更加重視學生學科素養和綜合能力的考查，以及學生運用已有的數學知識來解決實際生活中的問題.這類問題學生得分普遍偏低，比如，2021年高考數學海南卷就考查了日晷測時問題和新冠肺炎傳染的函數模型實際問題等，2022年高考數學海南卷就考查了中國古建筑的榫卯結構問題和患某種疾病與年齡關系的實際問題等，2023年高考數學海南卷就考查了分段函數和建模診斷等.事實證明，如果學生僅僅停留在對數學知識的掌握，達不到靈活運用的程度，還是同以往那樣僅重視理論研究而忽視生活實際問題，沒有提升從實際問題中抽象出數學問題的數學建模素養，那么在高考中很難再像以往那樣取得好成績了.

3.2 課堂上重視學生的主體性，引導學生“做中學”

新課改提倡“學生為主體，教師為主導”，課堂上要充分發揮學生學習的主體性，引導學生“做中學”.這種教學策略有利于培養學生發散思維的能力，自主發現、探索問題和創新解決問題的能力，能有效為培養數學建模能力奠定基礎.因此，教師在課堂教學中，要積極轉變自身教學觀念，拒絕填鴨式教學，優秀的老師應該是學生的引導者，是學習的“催化劑”，引導學生在“做中學”，激發學生學好數學的自信.

探究建模實例：在學習“成對數據的統計相關性”時，教師可以拋出問題“探索中學生身高y與父親身高x兩個變量之間的相關關系”，讓學生馬上動手統計自己和父親的身高，再應用統計得到的數據讓班級學生以小組為單位繪制出散點圖，利用一元線性回歸模型y=bx+a+e，E（e）=0，D（e）=σ2，其中e為隨機誤差，可利用最小二乘法得到b[KG-0.6mm]︿=∑ni=1（xi-x-）（yi-y-）∑ni=1（xi-x-）2，a[KG-0.6mm]︿=y--b[KG-0.6mm]︿x-，看學生能否建立模型找到二者之間的關系，這樣的教學可以使學生高效地參與課堂，真正落實“在做中學”.

新課標課程設置和課時安排的局限性在新課改中受到了專家們的足夠重視，課程設置方面，教學中明確數學素養培養水平的層次目標，比如對于數學建模就有“水平一”“水平二”“水平三”三個不同的層次目標，讓教師在教學中“有法可依”，也讓可以核心素養從操作上落到實處.此外，課時設置上新教材相比于舊教材設置了很多探究類的知識模塊，有的還與“互聯網+”相結合，讓學生應用課堂上學到的數學知識來解決實踐生活中的問題，個人能力得到了鍛煉.

3.3 培養學生發現、分析和解決生活實際的問題等能力，強化“用數學”的意識[BT）]

（1）數學知識的歸宿是應用于生活，教材是教師教和學生學的最科學的資料.2023年海南高考數學科的選擇題幾乎都可以在教材中找到出處，這也啟發我們在培養數學建模能力時，要注重充分挖掘教材的衍生知識.教材的探究題便是最好的載體，開展數學建模活動要以研究和解決現實問題為重心.此外，“用數學”是數學建模的重要思維方式，引導學生會“用數學”是落實數學學科核心素養的重要體現，教師要充分引導學生分析實際問題，培養學生將實際問題轉化為數學問題的能力，特別是數學抽象和數學建模的能力，強化學生的“用數學”意識.

例如，“居民用電分段計費方式”是分段函數知識最典型的案例，2023年海南高考數學第18題便考查了分段函數.此外，讓學生主動建構起教材知識與實踐生活的密切聯系，這樣的學科育人效果也是極佳的.比如，物理中的簡諧運動是和三角函數相契合的，教學中讓不同的學科知識交互起來，有助于學生建構知識框架且感受到知識的應用價值.

（2）啟發學生“數學建模”思維，引導數學建模操作過程.教師通過課堂教學使學生擁有扎實的基礎知識，依據最近發展區的教學理論啟發學生的建模思維，指導學生完成建模的每一個環節，發展學生的數學建模實操能力.此外，教師可以指導學生充分利用“互聯網+”技術平臺，讓學生直觀地體驗建立數學模型全過程，明晰建模思路.

例如，教師以“食鹽包裝的重量誤差”為建模實例，從分析問題和統計數據出發，直到發現并建立正態分布模型f（x）=1σ2πe-[HT5.]（x-μ）2[HT5.]2σ2，整個過程讓學生親身經歷，讓學生有參與感和成就感，提高建模能力，切實做到用數學知識解決實際問題.

3.4 成立建模興趣小組，培養“發現數學問題”的眼光，開展建模競賽活動

（1）數學來源于現實，服務于生活，影響著未來.教師可以鼓勵學生成立建模興趣小組，首先培養學生學會用數學的眼光觀察世界，然后學會用數學的思維理解世界，最后學會用數學的語言表達世界.在此過程中教師要做好引領者，引導學生發現生活中的數學建模問題.

好的問題有助于啟發學生思考，例如，探究“兩所學校數學成績的優秀率差異問題”“居民用水分段收費定價標準制定問題”“測量不可到達距離”等與生活密切相關的數學問題，都有助于培養學生的數學建模思維.

探究建模實例：如圖1，測量不可到達“理想大廈”的方法探究.

①找一小塊平地，實地測量并記錄所用測量工具距離地面的高度h（單位：m）；

②將量角器一邊水平對準大廈底部，另一邊對準大廈的頂部，測量并記錄仰角α；

③后退a m，同樣測量仰角β；

④由正弦定理，即可求得樓高x的計算公式

怎樣才能提升學生素養水平，新課改也正在思考[LL]如何破局，體現在2023年海南省高考第19道上就是通過引入實際生活中的問題，考查學生的數學建模思維，高考的“指揮棒”已經朝數學建模的方向指引我們，其重要性已不言而喻.

（2）興趣是最好的老師，利用空余時間成立“興趣課堂”，鼓勵學生參加各級、各類教育部門組織的建模比賽，讓學生將已學到的數學建模知識和方法在實戰中加以應用.此外，興趣是學習最大的內驅力，教學中教師可以設置“開放型”作業，不僅僅是讓學生解決已有問題，更讓學生主動去發現問題并解決問題，同時還可以組建數學建模興趣小組，給對數學建模有興趣并且想進一步提升建模能力的學生搭建發展平臺.

核心素養貫穿新課改始終，通過各種教學策略學生可以親身經歷數學建模過程，由此積累學數學、做數學、用數學的基本經驗，提升數學建模能力.最重要的是，通過以數學建模為切入點開展的各種活動的洗禮，相信學生一定會領悟到數學建模與實際生活之間的密切聯系，真正做到落實新課改提倡的數學學科核心素養，畢竟實踐是檢驗真理的唯一標準.