原創(chuàng)函數(shù)與導數(shù)解答題的一次實踐

張君 李武學 楊永清 肖皓月

1 題目

2 命題過程

3 試題分析以及思維導圖

4 測試結果及分析

4.1 測試對象

為調查本題編制質量，難度設置是否適宜，是否具有良好的區(qū)分度，將本題編為“高三數(shù)學周練8”中的第21題，對本校高三學生其中一平臺53人，二平臺48人，共101人進行了書面測試.此次書面測試共發(fā)放101份，收回101份，回收率100%.

5 命題體會與反思

5.1 命題體會

本次命題的考查范圍是函數(shù)與導數(shù)，難度相當于高考中的同類題.高考題年年都在變，但基本的東西其實是沒有變的.比如，不出偏題怪題，考通性通法，考主干知識，以教材為基礎，不少試題來源于教材而又高于教材，等等.所以，在平時模擬考試的試題命制中，也必須體現(xiàn)這些特點，這樣才能與高考題保持一致，也才符合新課標的精神.因此，我們確定了這次命題的一些標準：（1）知識上不超出教材的內容，要求上不超出新課標，避免用高等數(shù)學知識才能求解的情況；（2）考查學生必備知識的掌握情況，是否達到了靈活運用的程度；（3）考查學生通性通法的掌握情況，是否達到了需要時信手拈來的程度；（4）考查學生的觀察發(fā)現(xiàn)能力，以及對函數(shù)表達式特征的敏感性；（5）考查學生的創(chuàng)新思維能力，特別是從新穎的角度去思考的能力.解題方法都是通性通法，但又必須有足夠的靈活性甚至有所創(chuàng)新才能走到最后；可以從多個角度入手，但都有足夠的難度，需要很強的思維能力才能解完.

5.2 命題反思

從第（2）問的幾種解法可以看出，盡管這類題變化多端，解法繁多，但還是有一些規(guī)律的，而且是有跡可循.一方面通性通法是根本，必須熟練掌握，做到運用自如.比如，第（1）問中證明不等式的放縮法就是一種很常用的方法.第（2）問的幾種方法都是圍繞極值點展開的，這也是利用導數(shù)解題的常用方法.解題過程中多次用到先猜想再求證或否定的思路，這是數(shù)學上典型的合情推理與邏輯推理的完美結合.再如，第（2）問的四種方法都用到了用特殊值來否定某些情況，這實際上就是通過舉出f（x）≥0的反例來解決問題.特別是方法二中對于0＜a＜1這種情況，先根據(jù)前面的解題過程，猜想這種情況無解，再通過取特殊值g（1）=ea－a－e+1＜0很輕松地就解決了問題.另一方面敏銳的觀察發(fā)現(xiàn)能力常常能起到?jīng)Q定性的作用，要善于發(fā)現(xiàn)函數(shù)式中隱藏的有用的特點，然后以此為出發(fā)點找到解決問題的巧妙方法.比如方法一中從第（1）問的結論發(fā)現(xiàn)當a=1時f（x）min=0，恰好符合f（x）≥0的條件，進而想到以a作為主元研究函數(shù)的單調性，很快發(fā)現(xiàn)了a≥1時都成立.方法三中發(fā)現(xiàn)了若ax0－ln x0=0，則eax0－ln x0－（ax0－ln x0）=1＜e－1，不合題意，

進而想到方程ax－ln x=0無實數(shù)根，也即a=ln xx無實數(shù)根，這樣就把a的取值范圍縮小了許多，極大地

降低了后面討論的難度.方法四中注意到

當x趨近于0時

ax－ln x趨向于+∞，因而想到可以用初等的方法否定D（－∞，x0］的情況，進而確定只有D［1，+∞）的情況，即ax－ln x≥1，極大地簡化了解題過程.其實，在同類高考題中，通常也隱藏有一些可以利用的特殊點，它們往往成為解題的突破口.比如，2022年新高考Ⅰ卷第22題第（2）問中 “直線y=b與兩條曲線y=f（x）和y=g（x）共有三個不同的交點”這個條件，就隱藏了“方程x－ln x=b的兩根和ex－x=b的兩根恰有一根相同”，也就是這一根是方程x－ln x=ex－x的唯一解，發(fā)現(xiàn)這一點對解題過程會帶來突破性的進展.