巧用分段放縮法證明函數(shù)不等式

周建鋒

摘要：放縮法是證明函數(shù)不等式的一種常見方法，如尋找中間常量、切線放縮、割線放縮、利用泰勒展開式放縮等，但放縮的尺度不易掌握．分段放縮法將函數(shù)不等式成立的區(qū)間劃分為若干個(gè)子區(qū)間，有利于在每個(gè)子區(qū)間上縮小放縮的幅度，避免“放過頭”的問題，從而證明函數(shù)不等式在整個(gè)區(qū)間內(nèi)成立．本文中通過幾個(gè)實(shí)例，剖析了分段放縮證明函數(shù)不等式的方法，以及如何調(diào)整區(qū)間的劃分，對(duì)函數(shù)不等式的證明是一個(gè)很好的補(bǔ)充．

關(guān)鍵詞：函數(shù)不等式；分段放縮

1 問題的提出

函數(shù)不等式的證明一直是中學(xué)數(shù)學(xué)中的一個(gè)熱點(diǎn)，證明函數(shù)不等式，可以將其轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值的問題，通過求導(dǎo)，劃分單調(diào)區(qū)間，找出最值．但新的高考改革越來越關(guān)注學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，對(duì)學(xué)生分析問題、解決問題的能力提出了更高的要求，因此建立在通性通法基礎(chǔ)上的應(yīng)變能力尤為重要．

放縮法作為一種重要的證明不等式的方法被廣泛應(yīng)用，包括尋找中間常量、切線放縮、割線放縮、利用泰勒展開式放縮等．放縮法最大的難點(diǎn)在于放縮的尺度，因?yàn)榉趴s法的理論基礎(chǔ)是不等式的傳遞性，如a>b，b>ca>c．這是一條“單行道”，一旦尺度過大 “放過頭”，如a>b，bc．此時(shí)在放縮法證明中結(jié)合分段放縮，將會(huì)起到很好的效果．目前分段放縮法證明函數(shù)不等式的研究較少，文[1]用分段放縮證明了一個(gè)三角形不等式，文[2]用分段放縮證明了一個(gè)數(shù)列不等式，文[3]用分段放縮證明了一個(gè)含絕對(duì)值的函數(shù)不等式．筆者經(jīng)過研究，通過分段放縮法與切線放縮、割線放縮等的結(jié)合，可將分段放縮法更廣泛地應(yīng)用于多種類型的函數(shù)不等式的證明之中．

4 結(jié)束語

數(shù)學(xué)的樂趣在于不斷探索，推陳出新．在證明某些函數(shù)不等式（如指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)與三角函數(shù)中至少兩類混雜在一起的函數(shù)不等式）時(shí)，直接用求導(dǎo)的方法證明往往比較困難，通常考慮利用放縮法證明．而分段放縮法可以更精確地解決放縮尺度的問題，在需要運(yùn)用放縮法的時(shí)候不妨結(jié)合分段放縮法，這樣易于攻破難點(diǎn)，體會(huì)數(shù)學(xué)的美妙，在數(shù)學(xué)的世界里快樂地翱翔！

參考文獻(xiàn)：[WTBZ]

[1]王振寰，吉玉環(huán)，關(guān)冬月，等．用分段放縮法證明不等式［J］.內(nèi)蒙古農(nóng)業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2001（1）：105-110．

[2]李新衛(wèi)．巧用分組或分段等比放縮方法證明不等式［J］.數(shù)理化學(xué)習(xí)（高三版），2015（6）：19-20.

[3]楊飛．分段解決掌握好切線放縮顯靈妙——一道含絕對(duì)值函數(shù)題的解析［J］．考試與招生，2022（2）：5-6．