由一道解析幾何題引發的一題多解與多題歸一

王麗萍

摘要：解析幾何是高考數學考查的重點內容，其中定點、定值問題也是高考的?？紗栴}.解決此類問題常用的方法主要有兩類.一類是直接從已知條件出發，利用韋達定理求解；還有一類是先猜后證，通過特殊情況確定定點或定值，再用常規方法解決.本文中以一道解析幾何題為例，通過一題多解再到多題歸一，培養學生的發散思維能力與歸納總結能力，進一步提升學生的數學學科素養.

關鍵詞：定點；定值；韋達定理

近幾年高考中經?？疾榈慕馕鰩缀蔚亩c、定值問題，大部分學生會覺得入手比較困難，究其原因：（1）解題方向不明確；（2）解題方法不清晰.《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》中指出：“教師要加強學習方法的指導，幫助學生養成良好的數學學習習慣，敢于質疑、善于思考，理解概念、把握本質，數形結合、明晰算理，厘清知識的來龍去脈，建立知識之間的關聯.教師還可以根據自身教學經驗和學生學習的個性特點，引導學生總結出一些具有針對性的學習方式，因材施教.”[1]因此，筆者以一道解析幾何題為例，將“解析幾何中的定點、定值問題”作為微專題的復習內容，重點研究其解題方法，并進行變式思考，指導學生如何解決這類問題.

5 多題歸一

由上述例題筆者認為，有關定點、定值的問題基本上可以從兩個方向入手.

（1）從已知條件出發，直接求解

在聯立方程組利用韋達定理求解的時候會遇到如下兩種情況：

（?。皩ΨQ的韋達定理”型，即x1，x2的系數相同，x1，x2交換之后結構不變的對稱結構.如利用韋達定理處理|x1－x2|，x21+x22，1x1+1x2之類的對稱結構.

（ⅱ）“非對稱韋達定理”型，即x1，x2的系數不對等，x1與x2交換后結構發生改變的非對稱結構.比如x1x2－x1－2x2+2x1x2－2x1－x2+2，my1y2+y1my1y2+y2之類的式子，解決此類問題先要進行消元轉化.

無論是上述哪種情況，都可以借助韋達定理來解決.

（2）先猜后證

通過尋找特殊位置或者特殊點先把定點或者定值確定之后，再用常規方法解決，這種方法通常計算簡潔，運算步驟較少.

一題多解，是從不同角度求解同一個問題；多題歸一，是不同題目采用的做法類似.一題多解能培養學生的發散思維，而多題歸一能培養學生的總結與歸納能力.在平時的解析幾何復習中，除了要培養學生的運算能力，還要培養學生的思維能力.因為只有多思考才能在解題中少走“彎路”，才能讓解析幾何的運算“如虎添翼”.

參考文獻：

［1］中華人民共和國教育部.

普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）[S].北京：人民教育出版社，2020.