提高習題訓練實效 提升學生數學素養

江春梅

摘要：談起數學教學就不得不談數學練習，它是鞏固學生基礎知識，提升學生思維能力的必經之路.在具體練習中，教師要緊抓專題練習，通過變式訓練、梯度練習、縱橫拓展等方式將相同或相似的知識進行反復的練習，以此鞏固“雙基”，落實數學素養，提高學生數學綜合應用能力.

關鍵詞：數學練習；思維能力；數學素養

在教學中，為了幫助學生鞏固“雙基”，深化思維，教師可以在一定的時間內引導學生對相同或相似的內容進行反復練習，以此通過滾動性的訓練讓學生獲得更深層次的理解，深化學生的數學素養.當然，反復練習并不是將相同的題目反復做，而是借助一些典型性的、梯度的問題讓學生的思維逐層深入，以此提升訓練的實效性，讓學生更好地認識知識，理解知識，提高教學有效性.筆者結合教學實踐，例談開展滾動性的訓練注意的幾個方面，以期通過有效的訓練，提升學生的數學素養.

1 專題訓練，夯實重點

高中數學教材知識內容繁多，不同的知識內容有著不同的教學要求.如有的知識要求不高，不需要理解和記憶，只要做到了解即可，這類知識就不需要專題訓練；有的知識較為淺顯易懂，學生不必專題訓練就能理解并掌握；而有的知識比較復雜，關聯性較強，學生雖然聽得懂，但是難以認清問題的本質，難以形成解決此類問題的方法，那么對于此類問題就有必要借助滾動性練習幫助學生進一步扎實基礎、深化理解，從而讓學生將知識學懂學透.可見，在教學中，若想開展有意義的教學，教師要把握好教材，深暗教學的重難點，以此通過有針對性和目的性的專題訓練幫助學生夯實重點，提高學習品質.

例如，對于“導數在函數中的應用”一課，其教學的重難點之一是引導學生靈活運用導數方法解決相關的問題.為了突破這一重難點，在基礎知識教學完成后，教師針對函數單調性問題組織學生進行專題練習，以此借助具體應用深化對該教學重難點的理解，提高學生數學應用能力.

例1?已知f（x）=13x3－（4m－1）x2+（15m2－2m－7）x+2在[WTHZ]R[WTBX]上是增函數，求m的取值范圍.

本題是一道研究函數單調性的問題，難度不大.若f（x）在[WTHZ]R[WTBX]上是增函數，則f′（x）=x2－2（4m－1）x+15m2－2m－7≥0對任意的x∈[WTHZ]R[WTBX]恒成立.根據二次函數的性質，若x2－2（4m－1）x+15m2－2m－7≥0恒成立，則Δ=4（4m－1）2－4（15m2－2m－7）≤0，整理得m2－6m+8≤0，解得2≤m≤4，故m的取值范圍為［2，4］.

這樣從教學重點出發，通過專題練習進一步夯實重點，讓學生獲得了成功的喜悅，有利于提高學生的解題信心.這樣既促進了知識的深化，又激發了學生的學習興趣.

2 逐層深入，深化理解

在高中教學中，部分教師認為高考題目新、題目難，為了讓學生更好地適應高考，教師在教學中喜歡追求一些難題、新題，而這些難題、新題因不適合學生的實際學情而讓學生出現了畏難情緒，從而影響了學生的解題信心，可見過難的問題不利于學生的發展.當然，題目也不是越簡單越好，過于簡單的問題往往難以激發學生探究的熱情，同樣會讓學生產生厭煩心理，影響訓練效果.因此，教師在設計練習時，應從學生的實際學情出發，把握好問題的難度，讓題目的難度呈漸進式加大，以此順應學生發展，激發學生潛能，讓學生的思維能力螺旋式上升，深化學生的思維.

例2?不等式－6x2－x≤0的解集是[CD#3].

例3?設函數f（x）=2|x－1|+x－1，g（x）=16x2－8x+1，記f（x）≤1的解集為M，g（x）≤4的解集為N.

（1）求M；

（2）[JP4]當x∈M∩N時，證明x2f（x）+x［f（x）］2≤14.

以上是教師在復習不等式的相關內容時設計的幾道梯度問題.例2是一道基礎題，考查學生的基礎知識的掌握情況，涉及的知識點比較單一，問題難度不大.例3是一道綜合性的習題，具有一定難度，對學生的思維水平要求較高，通過問題的解決有利于提高學生的分析和解決問題的能力.

這樣有梯度、有層次、難易兼顧的問題設計，符合學生的認知規律，有利于推動學生思維能力的發展.在以上教學過程中，對于例2，可以讓學生獨立完成；對于例3，教師可以鼓勵學生進行小組合作，通過溝通交流幫助學生找到解決問題的突破口，讓學生享受合作的樂趣，培養學生合作意識，讓學生在享受成功喜悅的同時，獲得不同層次的成長.

3 變式探究，發散思維

變式訓練是提高學生解題能力、發散學生思維的重要手段.通過有效的變式可以鞏固學生的基礎知識，幫助學生抽象問題的本質屬性，有利于學生理解數學的本質，也有利于學生理解問題的通性通法，進而實現知識的融會貫通，提高學生舉一反三的能力.

例4?已知等比數列{an}：12，14，18，116，…….求它的前8項和.

例4主要考查的就是等比數列求和公式，學生應用公式可以快速地解決問題.為了提高學生解決等比數列求解問題的熟練度，教師設計了如下變式問題：

變式1?已知等比數列{an}：12，14，18，116，…….若它的前n項和為6364，求n.

變式2?已知等比數列{an}：12，14，18，116，…….求它的第5項到第10項的和.

變式3?已知等比數列{an}：12，14，18，116，…….若數列{bn}滿足bn=a2n，求數列{bn}前2n項中所有偶數項的和.

以上變式問題的難度不大，旨通過變式探究深化對等比數列通項公式和求和公式的理解.對于變式1，學生直接利用公式順利地解決了問題.對于變式2，學生給出了多種解題方案.有的學生先是求出通項公式，即an=12n，然后利用等比數列的求和公式分別求出了前4項和S4和前10項和S10，二者作差即求得了數列第5項到第10項的和；還有的學生在求出通項公式為an=12n后，求得a5=125，然后以a5為首項，利用等比數列求和公式求和.對于以上兩種解法，教師給予了充分肯定，并鼓勵學生探尋其他的解題方法，以此不斷地優化解題過程，探尋最優解題方法.這樣，從學生的最近發展區出發，通過有效的變式成功地打開了學生的思路，發展了學生的思維，調動了學生解題的積極性.有了變式2的探究經驗，學生在解變式3時首先就想到了用等比數列的偶數項構造新數列，應用公式順利解決了問題.

這樣通過以上變式練習，不僅提高了學生參與學習的積極性，還有效地打破了單一訓練的枯燥感，更幫助學生深化了對等比數列相關公式的理解，而且提高了學生舉一反三的能力，提升了學生的數學素養.

4 橫縱拓展，建構體系

數學知識是相互聯系的，有些聯系學生一眼能夠看得到，而有些聯系是需要在日常的練習中不斷積累和提煉的.在教學中，教師要認真研讀教材，打破單一知識、單一課時的束縛，帶領學生站在更高的角度審視問題，理解數學.在開展滾動性訓練的過程中，教師要重視相關聯知識的橫縱聯系，引導學生自主建構知識網絡，形成知識框架，以此提高學生的綜合應用能力.

函數與方程、函數與不等式具有一定的關聯性.在學習三角函數相關內容后，可以引導學生將三角函數知識與函數知識對接，從而將新知納入到原有的認知體系中去，幫助學生建構完善的認知網絡.

例5?已知函數f（x）=2asin xcos x+2bcos2x，且f（0）=8，fπ6=12.

（1）求實數a，b的值；

（2）求函數f（x）的最大值及取最大值時的x值.

本題具有一定的綜合性，但是難度不大，主要考查學生對倍角公式和降冪公式的掌握情況.利用待定系數法，易得a=43，b=4.將第（1）問的結果代入后得f（x）=83sin xcos x+8cos2x=43sin 2x+4（1+cos 2x）=8sin2x+π6+4，所以f（x）的最大值為12，此時2x+π6=2kπ+π2（k∈[WTHZ]Z[WTBX]），即x=kπ+π6（k∈[WTHZ]Z[WTBX]）時，f（x）的最大值為12.

這樣借助具體練習，引導學生將三角函數知識與函數知識相融合，讓學生理解二者的關聯性，有利于促進學生自主地進行知識網絡的建構.對于知識的關聯性，若單從“教”的角度讓學生理解和記憶，則學生自然會認為知識間的聯系是抽象的、空洞的，而借助“練”使知識變得更加具體，有利于學生理解和消化，促進了學生個體認知體系的建構，有助于學生數學應用能力的提升.

總之，有效的練習在教學教學中是必不可少的，它是鞏固知識、發展思維、提升學習能力的重要手段.在教學中，教師要認真研究教材、研究教學、研究學生，通過梯度的、層次的、變化的練習來提升學生的數學思維能力，幫助學生自主建構完善的認知體系，以此促進教學質量和學生學習品質的全面提升.