執行器幅值與速率約束下線性系統的事件觸發控制

賈金澤 陳永剛 白圓圓

摘? 要：傳統的網絡化控制系統中，控制任務通常以周期的方式執行.為了節約網絡通信資源，一些學者提出了事件觸發控制.另一方面，由于物理限制或出于安全考慮，幾乎所有反饋控制系統都會受到飽和約束.飽和的存在是系統性能退化甚至不穩定的主要因素.研究了受到執行器幅值與速率飽和約束的線性系統的事件觸發控制問題.首先，一階系統用來表示執行器的幅值和速率限制.然后，引入了兩個推廣的扇區條件來處理由飽和引起的死區非線性.接下來，通過利用Lyapunov穩定性理論，獲得了確保閉環系統區域漸近穩定的充分條件.通過限制穩定域的最小范圍，提出了事件觸發率的最優化問題.所獲得的結果用線性矩陣不等式表示，能夠方便地利用MATLAB中的LMI工具箱進行求解.最后，數值例子和仿真驗證了所得結果的有效性.

關鍵詞：線性系統；事件觸發控制；幅值約束；速率約束

中圖分類號：O231????? 文獻標志碼：A文章編號：1000-2367（2024）03-0106-07

隨著計算機技術和網絡通信技術的快速發展，工業控制系統發生了重大變革，網絡化系統的管理與優化控制成為重要的研究方向.網絡化控制系統是一種空間分布控制系統，其中傳感器、控制器和執行器之間通過網絡進行數據傳遞.相對傳統的點對點信息無損的控制系統，基于網絡的控制系統具有布線簡單、易于安裝與維護、較高的容錯與故障診斷能力、可實現數據共享以及企業對系統的遠程監控、優化與維護等優點.然而，通信網絡的引入帶來了一些新問題，比如：時滯、丟包、量化、錯序等［1-2］，這將會導致系統性能嚴重退化，甚至造成系統崩潰.在網絡化控制系統中，數據的采樣、處理和傳輸通常采用時間觸發的通信機制.這種時間觸發通信模式意味著網絡在每一固定的通信時刻都要傳輸、接受并處理數據，這將會嚴重浪費網絡帶寬資源，也會增加電池等設備的能耗.事實上，網絡的帶寬是有限的，網絡資源的過分使用將會使得數據包在傳輸過程中出現碰撞，從而導致時滯、丟包和錯序等現象.近十多年來，一些學者尋求了基于事件觸發的通信機制，其基本思想是設計觸發協議保證控制任務按需求執行，從而達到節約網絡資源的目的［3-5］.

另一方面，幾乎所有實際反饋控制系統都會受到執行器的飽和約束［6-7］.由于物理限制或出于安全考慮，執行器傳遞的信號大小通常有一定限制.例如，比例閥有最大開度值（100%），這限制了輸送到被控系統的流量；功率轉換器和放大器的電流和輸出電壓總是有限的，以免組件損壞.執行器飽和的存在將會使得控制系統性能惡化，在一些極端情況下會導致閉環系統不穩定.過去幾十年內，飽和控制系統的分析、控制及應用一直都是控制理論與控制工程中的研究熱點.然而，需要指出的是，文獻中的大多結果主要針對執行器幅值飽和情形.事實上，執行器速率飽和也常出現在許多系統中［8-10］，比如飛行控制系統和風力渦輪機系統［9-10］.

收稿日期：2023-05-27;修回日期：2023-08-28.

基金項目：國家自然科學基金（62273132）;河南省科技攻關項目（232102320338）.

作者簡介：賈金澤（1991-），男，河南新鄉人，河南工學院講師，博士，研究方向為系統建模、分析與控制、工業工程.

通信作者：陳永剛（1981-），男，河南西平人，河南科技學院教授，博士，研究方向為控制理論與應用，E-mail：happycygzmd@tom.com

引用本文：賈金澤，陳永剛，白圓圓.執行器幅值與速率約束下線性系統的事件觸發控制［J］.河南師范大學學報（自然科學版），2024，52（3）：106-112.（Jia Jinze，Chen Yonggang，Bai Yuanyuan.Event-triggered control for linear systems under input amplitude?? and rate constraints［J］.Journal of Henan Normal University（Natural Science Edition），2024，52（3）：106-112.DOI：10.16366/j.cnki.1000-2367.2023.05.27.0002.）

通過利用一階模型來表示具有幅值和速率飽和的執行器，文獻［11］研究了連續線性系統的局部反饋鎮定問題.針對執行器幅值和速率飽和的離散線性系統，文獻［12］給出了動態輸出反饋控制設計方案.針對執行器幅值和速率飽和的連續線性系統，文獻［13］提出了基于采樣數據的控制策略.

許多實際控制系統中，飽和約束和通信網絡往往是同時共存的.因此，近十年來，網絡化飽和系統的控制綜合問題也受到許多學者的關注［14-15］.尤其，為了節約通信網絡資源，不少學者研究了基于事件觸發協議的網絡化飽和系統的控制綜合問題.比如，ZHANG等［16］在靜態事件觸發協議下研究了具有執行器飽和約束的連續和離散系統的半全局鎮定問題.在靜態和動態事件觸發協議以及自觸發協議下，ZHANG等［17］進一步研究了執行器飽和連續時間系統的半全局鎮定問題.利用局部扇區條件，MOREIRA等［18］基于靜態事件觸發協議研究了執行器飽和線性系統的局部狀態反饋控制問題，尤其，對于事先給定的穩定域，討論了降低事件觸發率的優化問題.利用飽和相關的事件觸發策略，LI等［19］研究了非對稱輸入飽和系統的控制綜合問題.然而，需要指出的是，文獻［16-20］并沒有考慮執行器的速率飽和約束.

基于上面的討論，本文旨在考慮受到執行器幅值與速率飽和約束的連續線性系統的事件觸發控制問題.類似于文獻［11，13］，利用一個一階模型來表示執行器的幅值和速率限制.然后，利用兩個推廣的局部扇區條件來處理由飽和引起的死區非線性.接下來，通過進一步利用Lyapunov穩定性理論，獲得了確保閉環系統區域漸近穩定的充分條件.通過限制穩定域的最小范圍，也提出了事件觸發率的最優化問題.本文獲得的結果用線性矩陣不等式（LMIs）表示，能夠方便地利用MATLAB中的LMI工具箱進行求解.最后，數值例子驗證本文所得結果的有效性.

符號：Rn表示n維歐幾里得空間，P＞0（P0）表示P為對稱正定矩陣（對稱半正定矩陣），AT表示矩陣A的轉置，“*”表示對稱矩陣中的對稱項，I為單位矩陣.

1? 問題描述

考慮下面的線性控制系統：（t）=Ax（t）+Bu（t），（1）

其中x（t）∈Rn表示系統的狀態，u（x）∈Rm表示系統的控制輸入，A和B為具有相容維數的已知實常矩陣.在實際控制系統中，由于物理執行器的限制或者基于安全考慮，執行器往往會受到飽和約束.本文中，同時考慮了執行器的幅值與速率約束.受到文獻［11，13］的啟發，這里，執行器用下面的一階系統來表示：（l）（t）=satr（l）（-λ（l）u（l）（t）+λ（l）satp（l）（v（l）（t））），l=1，2，…，m，（2）

其中u（l）（t）表示執行器狀態，v（l）（t）表示執行器輸入，λ（l）為一正常數.系統（2）中，幅值飽和函數satp（l）與速率飽和函數satr（l）分別定義如下：satp（l）（w（l））=sign（w（l））min｛p（l），|w（l）|｝，satr（l）（w（l））=sign（w（l））min｛r（l）|w（l）|｝，

其中p（l）與r（l）分別表示執行器的幅值飽和水平和速率飽和水平.

注1? 一階系統（2）是經典的具有速度限制的位置反饋型模型，常用來刻畫具有幅值飽和與速率飽和的執行器.由（2）可知，執行器顯然滿足速率飽和約束.另外，需要指出的是，當常數λ（l）趨于無窮時，執行器u（t）狀態總是滿足幅值飽和約束的［8］.

本文中，考慮數據通過網絡進行傳輸.尤其，為了節約網絡資源，本文采用事件觸發策略.對應地，執行器的控制輸入具有下面的形式：v（tk）=Kxx（tk）+Kuu（tk），t∈［tk，tk+1），（3）

其中Kx和Ku為控制增益矩陣，tk（k=0，1，2，…）為事件觸發時刻且規定t0=0.

本文中，事件觸發時刻tk（k=1，2，…）由下面的條件給出［18］：tk+1=min｛t|t＞tk，δT（t）Ωδδ（t）-zT（t）Ωzz（t）＞0｝，（4）

其中δ（t）z（tk）-z（t），Ωδ和Ωz為對稱正定矩陣.

定義對角矩陣Λdiag｛λ（1），λ（2），…，λ（m）｝，由式（1）～（3）可得如下閉環系統：（t）=Ax（t）+Bu（t），（t）=satr（-Λu（t）+Λsatp（Kxx（tk）+Kuu（tk）））.（5）

定義增廣向量z（t）xT（t）uT（t）T∈R，其中n+m，并引入記號A1AB00，B10I，B20-Λ，B3Λ，KKxKu.

閉環系統（5）則可表示為：（t）=A1z（t）+B1satr（B2z（t）+B3satp（Kz（tk）））.（6）

為了處理執行器的幅值與速率飽和，引入下面的死區函數：ψp=Kz（tk）-satp（Kz（tk）），ψr=（B2z（t）+B3Kz（tk）+B3ψp）-satr（B2z（t）+B3Kz（tk）+B3ψp）.（7）

注意到δ（t）z（tk）-z（t），閉環系統（5）可重新表示為：（t）=（A1+B1B2+B1B3K）z（t）+B1B3Kδ（t）-B1B3ψp-B1ψr.（8）

本文的主要目的是設計控制輸入（3）和觸發條件（4）使得閉環系統（8）區域漸近穩定.

引理1［6］? 給定兩個向量u∈Rm以及w∈Rm，并記ψ（u）u-sat（u）.如果|u（l）-w（l）|（l）（l=1，2，…，m），則對任意的m×m正對角矩陣H，下面的扇區條件成立：ψT（u）H［ψ（u）-w］0.

為了處理執行器幅值與速率飽和引入的死區非線性，定義新變量

u1（t）Kδ（t）+Kz（t），u2（t）（B2+B3K）z（t）+B3Kδ（t）-B3ψp，

w1（t）（K-G1）z（t）+Kδ（t），w2（t）（B2+B3K-G2）z（t）+B3Kδ（t）-B3ψp，

其中G1和G2為m×矩陣.然后，假設下面的約束條件成立：|u1（l）（t）-w1（l）（t）|p（l），|u2（l）（t）-w2（l）（t）|r（l），l=1，2，…，m，t0.（9）

利用引理1，則對任意的m×m正對角矩陣H1和H2，下面的扇區條件成立：-2ψTpH1［ψp-（K-G1）z（t）-Kδ（t）］0，（10）

-2ψTrH2［ψr-（B2+B3K-G1）z（t）-B3Kδ（t）+B3ψp］0.（11）

2? 主要結果

為了分析閉環系統（8）的漸近穩定性，選取下面的Lyapunov函數：V（t）=zT（t）Pz（t），P＞0.（12）

定理1? 假定存在×的對稱正定矩陣X，z和δ，m×m的正對角矩陣1和2，m×的任意矩陣，1和2，使得下面的LMIs成立：1B1B323X*-δTTBT30**-T1-1-1BT30***-T2-20****-z＜0，（13）

2p（l）1*XT＞0，2r（l）2*XT＞0，l=1，2，…，m，（14）

其中1=（A+B1B2）XT+X（A+B1B2）T+B1B3+T（B1B3）T，

2=-B1B3T1+T-T1，3=-B1T2+XBT2+TBT3-T2.

那么，線性系統（1）在控制輸入（3）和事件觸發條件（4）下可實現區域鎮定.對應地，集合ε（P）=｛z（t）∈R，zT（t）Pz（t）1｝為穩定域，控制器增益矩陣和事件觸發條件中的參數可分別由KX-T和Ωz-1z，ΩδX-1δX-T給出.

證明? 讓Lyapunov函數V（t）關于時間t求導，并利用（8）可得：（t）=2zT（t）P（A1+B1B2+B1B3K）z（t）+2zT（t）P×B1B3Kδ（t）-2zT（t）PB1B3ψp-2zT（t）PB1ψr.（15）

由事件觸發條件（3）可知，當t∈［tk，tk+1）時，下面的不等式成立：zT（t）Ωzz（t）-δT（t）Ωδδ（t）0.（16）

將不等式（11）、（12）和（18）的左側添加到（t）中，則可得：（t）2zT（t）P（A1+B1B2+B1B3K）z（t）+2zT（t）PB1B3Kδ（t）-2zT（t）PB1B3ψp-

2zT（t）PB1ψr-2ψTpH1［ψp-（K-G1）z（t）-Kδ（t）］-2ψTrH2［ψr-（B2+B3K-

G2）z（t）-B3Kδ（t）+B3ψp］+zT（t）Ωzz（t）-δT（t）Ωδδ（t）=ξT（t）Ξξ（t），（17）

其中ξ（t）zT（t）δT（t）ψTpψTrT，以及

Ξ=Γ1ΩzPB1B3KΓ2Γ3*-ΩδKTHT1KTBT3HT2**-H1-HT1-BT3HT2***-H2-HT2，

Γ1=P（A1+B1B2）+（A1+B1B2）TP+PB1B3K+（B1B3K）TP，

Γ2=-PB1B3+KTHT1-GT1HT1，Γ3=-PB1+BT2HT2+KTBT3HT2-GT2HT2.

假定矩陣不等式Ξ＜0成立，則由（17）可得＜0.與此同時，假設（1/2p（l））GT1（l）G1（l）P，（1/2r（l））GT2（l）G2（l）P，l=1，2，…，m.（18）

注意到（t）＜0，并利用式（18），則可進一步得到如下不等式：|u1（l）-w1（l）|=zT（t）GT1（l）G1（l）z（t）2p（l）V（t）2p（l）V（0），l=1，2，…，m，（19）

|u2（l）-w2（l）|=zT（t）GT2（l）G2（l）z（t）2r（l）V（t）2r（l）V（0），l=1，2，…，m.（20）

對任意始于集合ε（P）｛z（t）∈R，zTPz（t）1｝的初始條件z（0），由式（19）和（20）可以看出，系統的狀態軌跡滿足約束條件（9）.進一步地，由（t）＜0可知，閉環系統（8）是區域漸近穩定的，且ε（P）｛z（t）∈R，zT（t）Pz（t）1｝為系統的穩定域.

接下來，將證明矩陣不等式Ξ＜0以及式（18）中不等式成立.定義如下變量：PX-1，KX-T，G11X-T，G22X-T，H1-11，H2-12，Ωz-1z，ΩδX-1δX-T.（21）

對LMI（14）左端乘以diag｛X-1，X-1，-11，-12，I｝，右端乘以其轉置，并利用式（21）和Schur補，則可得不等式Ξ＜0.同理，對式（14）中的LMIs左端乘以diag｛1，X-1｝，右端乘以其轉置，再次利用（21）和Schur補，則可容易得到（18）中矩陣不等式.證畢.

在保證閉環系統（8）漸近穩定的同時，考慮盡可能降低事件觸發次數以達到節約網絡資源的目的.如文獻［18］在設計事件觸發策略時讓Ωδ選取的盡可能“小”，Ωz盡可能地“大”.為了獲得對應的優化問題，引入下面的矩陣不等式：Ωδ=X-1δX-Tδ（δ＞0）.（22）

注意到XT-1δX-1δ和（X-αδ）T-1（X-αδ）0，其中α為一常數，容易證明上面的矩陣不等式可由下面的LMI確保：δI*α（X+XT）-α2δ0.（23）

為了優化事件觸發次數，選取集合ε（P0）=｛z（t）∈R;zT（t）P0z（t）1，P0＞0｝使得ε（P0）ε（X-1）.注意到ε（P0）ε（X-1）可由X＞P-10確保，則可得下面的優化問題：

問題1minX，z，δ，1，2，1，2，，δtrace（z+δ），s.t.，LMIs（13）～（14）和（23）成立，X-P-10＞0.

注2? 在對事件觸發率進行優化時，需要規定最小容許的穩定域ε（P0），否則的話，將會得到非常小的穩定域.事實上，在事件觸發機制下對執行器飽和約束系統進行控制設計時，不僅要關注事件觸發率，還需要同時考慮系統的穩定域.

注3? 在文獻［18］中，作者研究了執行器幅值飽和下的事件觸發控制問題.相對于文獻［18］，本文同時考慮了執行器的幅值飽和與速率飽和.事實上，執行器速率限制經常出現在許多工程系統中，比如飛行控制系統和風力渦輪機系統等.此外，經濟系統控制中，經濟政策的調整也不可能變化太快.因此，本文結果是現有結果的重要補充.

注4? 在文獻［18］中，作者提出的最優化問題的目標函數為trace（z+δ）.注意到δ=XΩδXT，顯然，trace（δ）的最小化并不能確保trace（Ωδ）的最小化.因此，文獻［18］提出的關于事件觸發率的優化問題具有一定的限制.本文中，選取trace（Ωδ）的上界trace（δ）進行優化，且在式（23）中引入調整參數，這將會增加靈活性.

3? 數值例子

例1? 考慮系統（1）和（2），對應參數選取如下：A=11.50.3-2，B=101，λ（l）=20，r（l）=p（l）=5.

選取P0=I和α=0.1，并求解最優化問題，則可得到下面的參數：

K=-0.348 6-0.108 9-0.021 6，Ωz=0.494 0-0.067 00.099 8-0.067 00.925 00.049 10.099 80.049 11.334 0，

Ωδ=1.143 20.357 30.070 90.357 30.111 70.022 20.070 90.022 20.004 4，P=0.207 80.027 40.235 50.027 40.229 70.074 70.235 50.074 70.772 8.

數值仿真中，選取初始條件z（0）=-1-0.3-0.7T∈ε（P）.利用上面所得設計的參數，分別畫出了時間間隔［0，3］內的狀態響應，執行器狀態和輸入以及事件觸發時刻，如圖1～3所示.對于這個例子，容易驗證開環系統是不穩定的.由圖1可知，在本文的控制策略下，閉環系統可以實現鎮定.圖2表明執行器的速率是受到飽和約束的.此外，由圖2可以看出在時間區間［0，3］內，事件僅觸發12次，這表明基于事件觸發機制的策略能夠有效降低數據傳輸頻率，從而達到節約網絡通信資源的目的.

當執行器不存在飽和約束時，利用上面的設計參數，在圖4中畫出了閉環系統的狀態響應.數值仿真中，事件觸發次數并沒有改變.然而由圖4可以看出，系統的超調量減小，收斂速度更快.這表明執行器飽和會造成閉環系統的性能退化.

注5? 在數值計算中，LMI（23）中的調整參數α扮演著重要角色.通過選取不同的α，會得到不同的事件觸發次數和不同的穩定域.比如，當α分別選取為0.50、0.10和0.01時，時間區間［0，3］內的事件觸發次數分別為10次、12次和14次.然而，需要指出的是α為0.50時對應的穩定域最小，α為0.01時對應的穩定域最大.

4? 結? 論

本文研究了受到執行器幅值與速率飽和約束的線性系統的事件觸發控制問題.首先，用一階系統來表示執行器的幅值和速率限制.然后，通過利用推廣的局部扇區條件和Lyapunov穩定性理論，建立了LMIs表示的確保閉環系統區域漸近穩定的充分條件.為了降低事件觸發次數，通過限制穩定域的最小范圍，提出了事件觸發率的最優化問題.最后，數值例子和仿真驗證了本文所獲得結果的有效性.作為后續的研究，將考慮動態事件觸發協議和基于采樣的事件觸發協議下的控制綜合問題.此外，在設計控制輸入時，擬考慮系統狀態和執行器狀態觸發時刻不同的情形.

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Event-triggered control for linear systems under actuator amplitude and rate constraints

Jia Jinze1， Chen Yonggang2a，b， Bai Yuanyuan2a

（1. School of Management， Henan Institute of Technology， Xinxiang 453003， China; 2. a. School of Mathematical Sciences;

b. Henan Engineering and Technology Research Center of Digital Agriculture，? Henan Institute of

Science and Technology， Xinxiang 453003， China）

Abstract： In traditional networked control systems， control tasks are usually executed in a periodic way. On the other hand， due to physical constraints or for security considerations， almost all feedback control systems are subject to saturation constraints. The existence of saturations is the main factor of system performance degradation and even instability. This paper investigates the event-triggered control problem for linear systems subject to saturation constraints of actuator amplitude and rate. Firstly， the first-order systems are utilized to represent the actuator amplitude and rate constraints. Then， two generalized sector conditions are introduced to deal with the dead-zone nonlinearities induced by saturations. Next， by utilizing Lyapunov stability theory， a sufficient condition is obtained to ensure the regional asymptotic stability of the closed-loop systems. The optimization problem of event-triggering rate is proposed by restricting the minimum range of the stability region. The result obtained in this paper is expressed by linear matrix inequalities， which can be conveniently solved by using the LMI toolbox in Matlab. Finally， numerical examples and simulations verify the effectiveness of the obtained result.

Keywords： linear systems; event-triggered control; amplitude constraints; rate constraint

［責任編校? 陳留院? 趙曉華］