一道異面直線所成角余弦值問題的解法探究

【摘要】立體幾何問題是高考數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，考查學(xué)生對于立體幾何圖形基本定義的理解以及常用的處理技巧.立體幾何有四大要素：點(diǎn)，線，面，體.其中異面直線所成角的余弦值大小的問題是一類常考題型.本文探討一道典型例題的幾種解法，歸納總結(jié)規(guī)律，以供參考.

【關(guān)鍵詞】立體幾何；異面直線；余弦值

異面直線所成角問題本質(zhì)上是要轉(zhuǎn)化為同面直線所成角問題進(jìn)行研究，所以這就需要思考有哪幾種方法可以實(shí)現(xiàn)這個(gè)目標(biāo).本文將探究典型例題的四種解法：向量法，建立空間直角坐標(biāo)系法，作圖等價(jià)轉(zhuǎn)化法，補(bǔ)形法，以供參考.

題目" 在三棱柱ABC－A1B1C1中，底面邊長和側(cè)棱長相等，∠BAA1=∠CAA1=60°，則異面直線AB1與BC1所成角的余弦值為.

解法1" 向量法

利用向量表示出兩異面直線，再利用向量的運(yùn)算法則結(jié)合向量基底進(jìn)行處理，得到兩異面直線表示向量數(shù)量積的大小.

解析" 不妨設(shè)AB的長度為1，

因?yàn)锽C1=BA+AA1+A1C1，

所以|BC1|2=（BA+AA1+A1C1）2=2，

所以|BC1|=" 2.

因?yàn)锳B1=AA1+A1B1，

所以|AB1|2=（AA1+A1B1）2=3，

所以|AB1|=3.

因?yàn)锽C1·AB1=（BA+AA1+A1C1）（AA1+A1B1）=1，

所以cosθ=BC1·AB1|BC1|·|AB1|=1" 2·" 3=" 66，

所以平面直線AB1與BC1所成角的余弦值為66.

在得到數(shù)量積的大小后，利用向量的數(shù)量積公式的變形，即可得到兩向量夾角余弦值的公式，代入數(shù)值即可求解.

解法2" 建立空間直角坐標(biāo)系法

對于立體幾何問題，最為簡單直接的解決方法就是建立空間直角坐標(biāo)系進(jìn)行研究，將幾何量轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)進(jìn)行運(yùn)算，就可以將原本的幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題，大大簡化了問題的難度.

圖1

解析" 如圖1所示，以點(diǎn)A為原點(diǎn)，過點(diǎn)A與BC垂直的直線為x軸，與BC平行的直線為y軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

過A1作A1M⊥平面ABC于點(diǎn)M，

則M必在x軸上，且cos∠A1AM=33，

從而sin∠A1AM=63.

設(shè)棱長為1，則

A133，0，63，B32，12，0，C32，－12，0，

所以AB1=AA1+AB=（536，12，63），

AC1=AA1+AC=536，－12，63，

所以BC1=AC1－AB=（33，－1，63）.

設(shè)異面直線AB1與BC1所成角為θ，

則cosθ=BC1·AB1|BC1|·|AB1|=66.

在建立空間直角坐標(biāo)系時(shí)，要注意坐標(biāo)原點(diǎn)的合理選取，這樣才能保證后續(xù)運(yùn)算的簡便.

解法3" 作圖等價(jià)轉(zhuǎn)化法

異面直線所成角余弦值之所以難求是因?yàn)闊o法放在一個(gè)平面三角形內(nèi)求解，因此可以通過作圖的方法將異面直線所成角等價(jià)轉(zhuǎn)化為另一與其大小相同且能夠在三角形求解的角，這樣就可以求得余弦值.

解析" 作A1O⊥底面ABC，

由∠BAA1=∠CAA1=60°可知，AO為∠BAC的角平分線，

且AO⊥BC，BC⊥平面AA1O，BC⊥AA1，

于是BC⊥BB1，四邊形BB1C1C為矩形，

取AC的中點(diǎn)為E，連接B1C，BC1，交于點(diǎn)F，則點(diǎn)F為B1C的中點(diǎn)，EF平行且相等于12AB1.

所以異面直線AB1與BC1所成角等于EF與BF所成角，即∠BFE或其補(bǔ)角.

設(shè)三棱柱的棱長為2，根據(jù)題意可知

BE=3，EF=12AB1=3，

BF=12BC1=2，

于是cos∠BFE=BF2+EF2－BE22BF·EF=66.

利用此方法解題時(shí)，常規(guī)的思路就是將兩異面直線通過不斷地平移使其能夠處在一個(gè)平面內(nèi)或者是直接構(gòu)造輔助線，利用幾何關(guān)系找到與之相同的角，再求解.

解法4" 補(bǔ)形法

對于形狀不規(guī)則的幾何體，可以將其補(bǔ)成規(guī)則的，性質(zhì)明顯的幾何體進(jìn)行求解.

圖2

解析" 將三棱柱補(bǔ)為平行六面體，再放同樣的一個(gè)平行六面體，如圖2所示，∠C1BE便是異面直線AB1與BC1所成角.

設(shè)棱長為1，在△A1AB中，易求得AB1=3，

即BE=3，

在△A1C1E中，易求得C1E=3.

易得BC⊥AA1，

所以BC⊥CC1.

從而，在△BCC1中，求得BC1=2，

在△BC1E中，由余弦定理得cos∠C1BE=66.

在使用補(bǔ)形法時(shí)，需要合理根據(jù)原本幾何體的特征來補(bǔ)形，一般來說都是補(bǔ)成形如正方體、平行六面體這類的特殊幾何體.

結(jié)語

異面直線所成角問題中作出角是解題的關(guān)鍵，主要是利用平行四邊形的對邊平行或者是三角形中位線平行的性質(zhì)來進(jìn)行轉(zhuǎn)化、作角.同時(shí)還需要注意兩異面直線所成角是銳角還是直角，可以先根據(jù)圖象大致猜想，再構(gòu)建解題思路.