從過兩對稱點的橢圓內接三角形問題談起

【摘要】橢圓內接三角形問題，兩邊過內部對稱兩點，再將對稱的兩點從內部調整成到橢圓外部，再轉向雙曲線和拋物線.題目的分析是通過定比點差法.

【關鍵詞】橢圓；雙曲線；拋物線；定比點差法

例1" 已知橢圓x2a2+y2b2=1，M1（－t，0），M2（t，0）且0lt;|t|lt;|a|，P為橢圓上一動點，如圖1，直線 PM1交橢圓于點A，直線PM2交橢圓于點B，設PM1=λM1A，PM2=μM2B，求證：λ+μ為定值.

圖1

解" 設Px0，y0，Ax1，y1，Bx2，y2，

因為PM1=λM1A，

所以（λ+1）·（－t）=λx1+x0，（λ+1）·0=λy1+y0，

λx1=（λ+1）·（－t）－x0，λy1=－y0，

因為x21a2+y21b2=1λx12a2+λy12b2=λ2 ，

（λ+1）·（－t）－x02a2+－y02b2=λ2，

又因為 x20a2+y20b2=1，

兩式相減整理得：λ=a2+t2+2x0ta2－t2，

因為PF2=μF2B，

所以（μ+1）·t=μx2+x0，（μ+1）·0=μy2+y0，

μx2=（μ+1）·t－x0，μy2=－y0，

因為x22a2+y22b2=1μx22a2+μy22b2=μ2（μ+1）·t－x02a2+－y02b2=μ2，

又因為x20a2+y20b2=1，

兩式相減整理得：μ=a2+t2－2x0ta2－t2，

所以λ+μ=a2+t2+2x0ta2－t2+

a2+t2－2x0ta2－t2=2a2+t2a2－t2.

分析" 這里只要令t=c就可以得到的特殊結論λ+μ=2a2+c2b2.

例2" 雙曲線x2a2-y2b2=1，M1（－t，0），M2（t，0）且|t|gt;|a|，P為雙曲線左支一動點，直線PM1交雙曲線于點A，如圖3，直線PM2交雙曲線于點B，設PM1=λM1A，PM2=-μM2B，求證：λ-μ為定值.

證明" 設Px0，y0，Ax1，y1，Bx2，y2，

因為PM1=λM1A，

所以（λ+1）·（－t）=λx1+x0，（λ+1）·0=λy1+y0，

λx1=（λ+1）·（－t）-x0，λy1=-y0，

因為x21a2-y21b2=1λx12a2-λy12b2=λ2

（λ+1）·（－t）-x02a2--y02b2=λ2，

又因為x20a2-y20b2=1，

圖3

兩式相減整理得：λ=t2+a2+2x0ta2－t2，

因為PM2=-μM2B，

所以（μ－1）·t=μx2－x0（μ－1）·0=μy2－y0

μx2=（μ－1）·t+x0，μy2=y0，

因為x22a2-y22b2=1μx22a2-μy22b2=μ2（μ－1）·t+x02a2-y02b2=μ2，

又因為x20a2-y20b2=1，

兩式相減整理得：μ=t2+a2－2x0tt2－a2，

所以λ-μ=t2+a2+2x0ta2－t2-

t2+a2－2x0tt2－a2=2t2+a2a2－t2.

例3" 拋物線y2=2px，M1（－t，0），M2（t，0）且|t|gt;0，P為拋物線上一動點，直線PM1交雙曲線于點A，如圖5，直線PM2交雙曲線于點B，設PM1=-λM1A，PM2=μM2B，求證：λ=μ.

圖5

證明" 設Px0，y0，Ax1，y1，Bx2，y2，

因為PM1=-λM1A，

所以（λ-1）·（－t）=λx1-x0（λ-1）·0=λy1-y0

λx1=（λ-1）·（－t）+x0，λy1=y0，

因為y21=2px1λy12=2pλ2x1y02=2pλ（λ－1）·（－t）+x0，

又因為y20=2px0，

兩式相減整理得：x0=λ［（λ－1）·（－t）+x0］，

所以x0=λt，

因為 PM2=μM2B，

所以（μ+1）·t=μx2+x0（μ+1）·0=μy2+y0

μx2=（μ+1）·t－x0，μy2=－y0，

因為y22=2px2μy22=2pμ2x2－y02=2pμ（μ+1）·t－x0，

又因為y20=2px0，

兩式相減整理得：x0=μ（μ+1）·t－x0，

所以x0=μt，

所以λ=μ.