運用GeoGebra信息技術軟件輔助高中數學建模教學的實施

【摘要】數學建?；顒邮翘嵘龑W生數學核心素養的有效途徑之一，可以培養學生的數學思維和數學應用能力.本文結合高中數學建模案例，探究在GeoGebra信息技術軟件輔助下如何開展高中數學建模教學活動，優化教學課堂效率，培養學生的數學建模素養，提高學生的數形結合能力.

【關鍵詞】GeoGebra；信息技術；數學建模

2019年高中數學教材改編傳統教材模式，增加了數學建模教學內容.數學課程標準指出：數學建模是指對現實問題進行數學抽象，用數學語言表達問題、用數學方法構建模型解決問題，數學建?；顒拥拈_展是提升學生數學核心素養的有效途徑之一，新課標非常重視信息技術課題與數學建模研究，特別提出“在數學建模活動與數學探究活動中，鼓勵學生使用信息技術”.

用GeoGebra這個動態幾何軟件，從問題理解、數據提煉、模型建立、求解檢驗等建模環節起到輔助理解、解決問題的快捷直觀的工具作用，為數學建模從課程標準走進課堂開辟一條道路.筆者在高中建模教學實踐中，結合具體案例，將GeoGebra軟件融入高中數學建模的實踐與思考跟大家分享，共同提高建模教學效果，激發學生對數學實踐的興趣.

1" GeoGebra輔助概率與統計的教學，培養學生的數據分析素養

在統計與概率部分的教與學時，新課標鼓勵師生用計算機進行模擬試驗、輔助處理數據，例如，用電子表格或其他軟件來處理數據較大的樣本，包括求數據的樣本均值、樣本方差等，還可以利用計算器產生隨機數來模擬擲硬幣試驗等，更好地理解概率的意義和把握統計思想［1］.

課例1：使用GeoGebra模擬投幣實驗（圖1）.

圖1

傳統教學中我們依靠課本講解，用實物硬幣現場投幣實驗，達到教學目的.若實際操作投幣試驗50次，堅持時間長會影響教學任務，學生會覺得枯燥，結果誤差大.我們利用GeoGebra進行模擬投幣實驗，整個過程2分鐘，快而準演示隨機事件.設置按鈕控制實驗次數，動態演示拋擲硬幣，學生發現當實驗次數增加時實驗的結果頻率就會趨于理論概率，加深對頻率與概率的概念的理解.這種新穎的實驗方式吸引學生的興趣和注意力，調動學生主觀能動性，積極思考并不斷提升數學核心素養［2］ .

課例2：最佳口感茶水溫度問題.

人教A版《普通高中教科書數學必修第一冊》P161“建立函數模型解決實際問題”中數學建?；顒印白罴芽诟胁杷疁囟葐栴}”題例中［3］，應用GeoGebra可以具體探討問題描述、模型建立、討論求解等建模環節.茶水溫度隨著時間變化，是關于時間的函數，利用GeoGebra處理數據，畫出散點圖，建立線性回歸模型，顯示相關指數分析模型的擬合效果（圖2）.

在GeoGebra上分別畫出函數y=60×0.9226x+25（x≥0）和y=60的圖象，作出交點K，右擊點K設置顯示點K的坐標，即可快捷地求出橫坐標x的值（圖3），從圖3中可以觀察，泡制一杯最佳口感的茶水大約需要7分鐘.如若傳統教學方法求解要大量計算耗時費力.課程標準提及一元線性回歸模型教學要求結合具體事例，掌握一元線性回歸模型的含義，了解最小二乘原理，會使用相關的統計軟件.統計模型在創建數學模型涉及大量運算，GeoGebra為數學建模提供了強有力的數據支撐和圖象處理功能.

圖2

圖3

2" GeoGebra輔助函數模型應用的教學

在人教版必修一第三章第二節“函數的模型及其應用”中，課程標準要求的教學目標是利用函數思想解決具體問題，運用計算機技術輔助數學模型解決現實生活問題.因此我們在教學中恰當地使用信息技術使學生更好更快地學習知識，解決問題的基礎上，更好地學習方法和強化數學思想，并進一步培養數學建模、邏輯推理等數學核心素養［4］.

課例3：若你一筆資金，現有三種投資方案可選， 投資收益情況如下：

方案1" 第一天收益6元；第二天8元，第三天13元，第四天20元，第五天29元，以此類推.

方案2" 第一天收益10元，以后每天比前一天更多收益10元.

方案3" 第一天收益0.4元，以后每天的收益比前一天翻一番.

試問，你將選擇何種投資方案？

具體分析如下：三個方案，設x表示天數（x∈N*），y表示日回報，則：

方案1" y=1.2x2－1.59x+5.61 ；

方案2" y=10x ；

方案3" y=0.4×2x－1.

通過GeoGebrar畫圖，圖象如下（圖4，圖5）：三個模型中，第一個是常數函數，后兩個都是增函數.要對三個方案做出選擇，則需要對它們的增長情況進行分析.通過研究它們三者圖象，觀察動態發展趨勢，對不同時間段選擇方案提供直觀判斷.

圖4

圖5

我們通過GeoGebra軟件，精簡運算流程，對比計算繁雜的傳統函數教學，現摒棄采用紙筆冗長過程，課堂教學中留有更多時間和精力思考問題本質，訓練數學思維與方法，提升學生數學建模素養.

3" GeoGebra輔助立體幾何模型的教學

空間立體幾何教學的學生的空間多維要求高，這樣對傳統黑板粉筆畫空間立體形狀帶來極大的挑戰，教師講得費勁，學生也難以發揮想象.我們利用GeoGebra軟件能夠便捷準確地繪制模型要求的立體圖形，甚至可以對動點動態演示，將題目中數量關系以直觀形象的方式展現給學生，創造便利條件促進學生理解問題本質，解決立體幾何問題.這里我們重點列舉立體幾何模型的應用.

在求正方體和長方體內切球、棱切球及外接球用一般軟件畫圖即可找到求半徑與對角線的關系，但是四棱錐的內切球和外接球半徑和邊長關系比較難找，內切球核心是要找到球心和切點，若通過GeoGebra立體圖形動態展示（圖6），直觀快捷找到關鍵切點、球心等量，從而找出該類模型各量的關系，然后用動態切割成4塊小三棱錐，用等體積法即可求得結果.V錐體=V1+V2+V3+V4=13s1r+13s2r+13s3r+13s4r，則r=3V椎體S表.

圖6

4" GeoGebra輔助圓錐曲線模型的教學

圓錐曲線是高中數學中的主要教學內容，平面多種圖形包含圓、拋物線、雙曲線、橢圓等，在人們的生活中應用廣泛，如趙州橋、工業煙囪、物理光學鏡等.在教學中我們用雙漏斗模型在GeoGebra動態功能觀察當切面由平放、斜放到垂直放置的過程中，切面與漏斗表面所成交線形成以下五種圖形（圖8），動態的變化過程瞬間讓同學們炸裂，完美的空間立體幾何與平面幾何的轉化.

圖8

圓錐的軸截面頂角2α，圓錐的軸與切面所成角θ，拖動θ的取值，當θ=90°時，交線是圓；αlt;θlt;90°時，交線是橢圓；θ=α時，交線是拋物線；0≤θlt;α，交線是雙曲線.

用漏斗模型與切面交線發現圓錐曲線是圓錐曲線教學中的新嘗試，旨在豐富教學模式、開闊學生學習視野.應用GeoGebra教學軟件輔助教學動態過程，根據現實問題抽象出圓錐曲線模型的拓展教學和學習思維，使建模課堂成為自主探究式課堂，學生真正成為課堂的主人［5］.

5" GeoGebra輔助三角函數模型的教學

如圖8，在研究三角圖象和性質時，特別是函數y=Asin（ωx+φ）+b這種函數模型的時候，研究A，ω，φ，b 對圖象的伸縮平移動態過程，只需把這些量設定多動條，每次拖動改變其中一個量，學生清晰觀察圖形動態過程，以及量對圖形對性質的影響，從而可以得結論：A影響振幅，ω影響周期，φ決定初相，b影響y值上移下移，教學過程輕松，實踐效果達成.

圖8

6" 結語

高中教師在數學建模教學研究中，運用各類教學軟件，以指導學習者從“學數學”和“用數學”過程中體會數學.利用GeoGebra軟件繪圖技術，提煉實際問題到數學模型能力，利用數形結合處理實際問題，并探尋合理的解決方案，從而拓寬數學課堂空間.總之，強調信息化和建模教學課程的深入結合，用實際行動貫徹新課標規定，為提高課堂效果，培育孩子的數學建模素質等起到重大作用、影響深遠.

【基金項目：本文系2021年度廣東省教育研究院教育研究課題（立項號：GDJY-2021-M159）《核心素養理念下信息技術與高中數學建模課程整合的實踐研究》的研究成果】

參考文獻：

［1］教育部考試中心.中國高考評價體系說明［M］.北京：人民教育出版社，2019.

［2］孫新雙.聚焦數學建模核心素養的高考命題視角 ［J］.中學生數理化，2018（05）：11-14.

［3］張志勇.基于GeoGebra的高中數學建模［J］.數學通訊，2020（08）：16-17.

［4］普通高中教科書（數學必修第一冊）［M］.北京：人民教育出版社，2019.

［5］鄭學蓉.使用GeoGebra培養中學生數學核心素養的實踐探索［J］學科教學，2020（O3）：24-26.