部分外場(chǎng)勢(shì)壘中具雙冪非線性項(xiàng)的非線性 Ｓｃｈｒ-ｄｉｎｇｅｒ 方程駐波解的強(qiáng)不穩(wěn)定性

摘要：研究一類在 Ｎ 維空間中具雙冪非線性項(xiàng)的非線性 Ｓｃｈｒｄｉｎｇｅｒ 方程駐波解的強(qiáng)不穩(wěn)定性． 首先， 利用 Ｇａｇｌｉａｒｄｏ-Ｎｉｒｅｎｇｂｅｒｇ 不等式、緊性引理和 Ｂｒéｚｉｓ-Ｌｉｅｂ 引理得到駐波解的存在性． 再借助不規(guī)則的 Ｖｉｒｉａｌ恒等式構(gòu)造出與方程相關(guān)的發(fā)展不變流形． 最后，通過對(duì)發(fā)展不變流形的研究獲得駐波解的強(qiáng)不穩(wěn)定性．

關(guān)鍵詞：部分勢(shì)；駐波；強(qiáng)不穩(wěn)定性

中圖分類號(hào)：Ｏ１７５． ２９ 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：Ａ 文章編號(hào)：１００１-８３９５（２０２４）０３-０３９４-０７

ｄｏｉ：１０． ３９６９ ／ ｊ． ｉｓｓｎ． １００１-８３９５． ２０２４． ０３． ０１１

參考文獻(xiàn)

［１］ＪＯＳＳＥＲＡＮＤ Ｃ，ＰＯＭＥＡＵ Ｙ． Ｎｏｎｌｉｎｅａｒ ａｓｐｅｃｔｓ ｏｆ ｔｈｅ ｔｈｅｏｒｙ ｏｆ Ｂｏｓｅ-Ｅｉｎｓｔｅｉｎ ｃｏｎｄｅｎｓａｔｅｓ［Ｊ］． Ｎｏｎｌｉｎｅａｒｉｔｙ，２００１，１４（５）：Ｒ２５-Ｒ６２．

［２］ＡＢＤＵＬＬＡＥＶ Ｋ，ＧＡＭＭＡＬ Ａ，ＴＯＭＩＯ Ｌ，ｅｔ ａｌ． Ｓｔａｂｉｌｉｔｙ ｏｆ ｔｒａｐｐｅｄ Ｂｏｓｅ-Ｅｉｎｓｔｅｉｎ ｃｏｎｄｅｎｓａｔｅｓ［Ｊ］． Ｐｈｙｓｉｃａｌ Ｒｅｖｉｅｗ Ａ，２００１， ６３（４）：０４３６０４．

［３］ＢＡＲＡＳＨＥＮＫＯＶ，ＧＯＣＨＥＶＡ Ａ Ｄ，ＭＡＫＨＡＮＫＯＶ Ｖ Ｇ，ｅｔ ａｌ． Ｓｔａｂｉｌｉｔｙ ｏｆ ｔｈｅ ｓｏｌｉｔｏｎ ｌｉｋｅ “ｂｕｂｂｌｅｓ”［Ｊ］． Ｐｈｙｓｉｃａ Ｄ： Ｎｏｎｌｉｎｅａｒ Ｐｈｅｎｏｍｅｎａ，１９８９，３４（１ ／ ２）：２４０-２５４．

［４］ＧＩＮＩＢＲＥ Ｊ，ＶＥＬＯ Ｇ． Ｏｎ ａ ｃｌａｓｓ ｏｆ ｎｏｎｌｉｎｅａｒ Ｓｃｈｒｄｉｎｇｅｒ ｅｑｕａｔｉｏｎｓ Ｉ：ｔｈｅ Ｃａｕｃｈｙ ｐｒｏｂｌｅｍ，ｇｅｎｅｒａｌ ｃａｓｅ［Ｊ］． Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆＦｕｎｃｔｉｏｎａｌ Ａｎａｌｙｓｉｓ，１９７９，３２（１）：１-３２．

［５］ＺＨＡＮＧ Ｊ． Ｓｈａｒｐ ｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓ ｏｆ ｇｌｏｂａｌ ｅｘｉｓｔｅｎｃｅ ｆｏｒ ｎｏｎｌｉｎｅａｒ Ｓｃｈｒｄｉｎｇｅｒ ａｎｄ Ｋｌｅｉｎ-Ｇｏｒｄｏｎ ｅｑｕａｔｉｏｎｓ［Ｊ］． Ｎｏｎｌｉｎｅａｒ Ａｎａｌｙｓｉｓ： Ｔｈｅｏｒｙ，Ｍｅｔｈｏｄｓ ＆ Ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ，２００２，４８（２）：１９１-２０７．

［６］ＯＧＡＷＡ Ｔ，ＴＳＵＴＳＵＭＩ Ｙ． Ｂｌｏｗ-ｕｐ ｏｆ Ｈ１ ｓｏｌｕｔｉｏｎ ｆｏｒ ｔｈｅ ｎｏｎｌｉｎｅａｒ Ｓｃｈｒｄｉｎｇｅｒ ｅｑｕａｔｉｏｎ［Ｊ］． Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌ Ｅｑｕａｔｉｏｎｓ， １９９１，９２（２）：３１７-３３０．

［７］ＧＬＡＳＳＥＹ Ｒ Ｔ． Ｏｎ ｔｈｅ ｂｌｏｗｉｎｇ ｕｐ ｏｆ ｓｏｌｕｔｉｏｎｓ ｔｏ ｔｈｅ Ｃａｕｃｈｙ ｐｒｏｂｌｅｍ ｆｏｒ ｎｏｎｌｉｎｅａｒ Ｓｃｈｒｄｉｎｇｅｒ ｅｑｕａｔｉｏｎｓ［Ｊ］． Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆＭａｔｈｅｍａｔｉｃａｌ Ｐｈｙｓｉｃｓ，１９７７，１８（９）：１７９４-１７９７．

［８］ＳＴＲＡＵＳＳ Ｗ Ａ． Ｅｘｉｓｔｅｎｃｅ ｏｆ ｓｏｌｉｔａｒｙ ｗａｖｅｓ ｉｎ ｈｉｇｈｅｒ ｄｉｍｅｎｓｉｏｎｓ［Ｊ］． Ｃｏｍｍｕｎｉｃａｔｉｏｎｓ ｉｎ Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌ Ｐｈｙｓｉｃｓ，１９７７，５５（２）： １４９-１６２．

［９］ＫＷＯＮＧ Ｍ Ｋ． Ｕｎｉｑｕｅｎｅｓｓ ｏｆ ｐｏｓｉｔｉｖｅ ｓｏｌｕｔｉｏｎｓ ｏｆ Δｕ － ｕ ＋ ｕ ｐ ＝ ０ ｉｎ Ｒ ｎ［Ｊ］． Ａｒｃｈｉｖｅ Ｆｏｒ Ｒａｔｉｏｎａｌ Ｍｅｃｈａｎｉｃｓ ａｎｄ Ａｎａｌｙｓｉｓ， １９８９，１０５（３）：２４３-２６６．

［１０］ＣＡＺＥＮＡＶＥ Ｔ，ＬＩＯＮＳ Ｐ Ｌ． Ｏｒｂｉｔａｌ ｓｔａｂｉｌｉｔｙ ｏｆ ｓｔａｎｄｉｎｇ ｗａｖｅｓ ｆｏｒ ｓｏｍｅ ｎｏｎｌｉｎｅａｒ Ｓｃｈｒｄｉｎｇｅｒ ｅｑｕａｔｉｏｎｓ［Ｊ］． Ｃｏｍｍｕｎｉｃａｔｉｏｎｓ ｉｎＭａｔｈｅｍａｔｉｃａｌ Ｐｈｙｓｉｃｓ，１９８２，８５（４）：５４９-５６１．

［１１］ＢＥＲＥＳＴＹＣＫＩ Ｈ，ＣＡＺＥＮＡＶＥ Ｔ． Ｉｎｓｔａｂｉｌｉｔé ｄｅｓ éｔａｔｓ ｓｔａｔｉｏｎｎａｉｒｅｓ ｄａｎｓ ｌｅｓ éｑｕａｔｉｏｎｓ ｄｅ Ｓｃｈｒｄｉｎｇｅｒ ｅｔ ｄｅ Ｋｌｅｉｎ-Ｇｏｒｄｏｎｎｏｎｌｉｎéａｉｒｅｓ［Ｊ］． Ｃｏｍｐｅｔｓ Ｒｅｎｄｕｓ ｄｅ ｌ′Ａｃａｄéｍｉｅ ｄｅｓ Ｓｃｉｅｎｃｅｓ-Ｓｅｒｉｅｓ Ｉ-Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ，１９８１，２９３（９）：４８９-４９２．

［１２］ＷＥＩＮＳＴＥＩＮ Ｍ Ｉ． Ｎｏｎｌｉｎｅａｒ Ｓｃｈｒｄｉｎｇｅｒ ｅｑｕａｔｉｏｎｓ ａｎｄ ｓｈａｒｐ ｉｎｔｅｒｐｏｌａｔｉｏｎ ｅｓｔｉｍａｔｅｓ［Ｊ］． Ｃｏｍｍｕｎｉｃａｔｉｏｎｓ ｉｎ ＭａｔｈｅｍａｔｉｃａｌＰｈｙｓｉｃｓ，１９８３，８７（４）：５６７-５７６．

［１３］ＣＡＺＥＮＡＶＥ Ｔ． Ｓｅｍｉｌｉｎｅａｒ Ｓｃｈｒｄｉｎｇｅｒ ｅｑｕａｔｉｏｎｓ［Ｍ］． Ｐｒｏｖｉｄｅｎｃｅ：Ａｍｅｒｉｃａｎ Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌ Ｓｏｃｉｅｔｙ，２００３．

［１４］ＢＥＬＬＡＺＺＩＮＩ Ｊ，ＢＯＵＳＳＡ？Ｄ Ｎ，ＪＥＡＮＪＥＡＮ Ｌ，ｅｔ ａｌ． Ｅｘｉｓｔｅｎｃｅ ａｎｄ ｓｔａｂｉｌｉｔｙ ｏｆ ｓｔａｎｄｉｎｇ ｗａｖｅｓ ｆｏｒ ｓｕｐｅｒｃｒｉｔｉｃａｌ ＮＬＳ ｗｉｔｈ ａｐａｒｔｉａｌ ｃｏｎｆｉｎｅｍｅｎｔ［Ｊ］． Ｃｏｍｍｕｎｉｃａｔｉｏｎｓ ｉｎ Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌ Ｐｈｙｓｉｃｓ，２０１７，３５３（１）：２２９-２５１．

［１５ ］ ＯＨＴＡ Ｍ． Ｓｔｒｏｎｇ ｉｎｓｔａｂｉｌｉｔｙ ｏｆ ｓｔａｎｄｉｎｇ ｗａｖｅｓ ｆｏｒ ｎｏｎｌｉｎｅａｒ Ｓｃｈｒｄｉｎｇｅｒ ｅｑｕａｔｉｏｎｓ ｗｉｔｈ ａ ｐａｒｔｉａｌ ｃｏｎｆｉｎｅｍｅｎｔ ［Ｊ］．Ｃｏｍｍｕｎｉｃａｔｉｏｎｓ ｏｎ Ｐｕｒｅ ＆ Ａｐｐｌｉｅｄ Ａｎａｌｙｓｉｓ，２０１８，１７（４）：１６７１-１６８０．

［１６］ＷＡＮＧ Ｃ Ｌ，ＺＨＡＮＧ Ｊ． Ｃｒｏｓｓ-ｃｏｎｓｔｒａｉｎｅｄ ｖａｒｉａｔｉｏｎａｌ ｍｅｔｈｏｄ ａｎｄ ｎｏｎｌｉｎｅａｒ Ｓｃｈｒｄｉｎｇｅｒ ｅｑｕａｔｉｏｎ ｗｉｔｈ ｐａｒｔｉａｌ ｃｏｎｆｉｎｅｍｅｎｔ［Ｊ］．Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌ Ｃｏｎｔｒｏｌ ａｎｄ Ｒｅｌａｔｅｄ Ｆｉｅｌｄｓ，２０２２，１２（３）：６１１-６１９

［１７］ＷＡＮＧ Ｃ Ｌ，ＺＨＡＮＧ Ｊ． Ｓｈａｒｐ ｃｏｎｄｉｔｉｏｎ ｆｏｒ ｇｌｏｂａｌ ｅｘｉｓｔｅｎｃｅ ｏｆ ｓｕｐｅｒｃｒｉｔｉｃａｌ ｎｏｎｌｉｎｅａｒ Ｓｃｈｒｄｉｎｇｅｒ ｅｑｕａｔｉｏｎ ｗｉｔｈ ａ ｐａｒｔｉａｌｃｏｎｆｉｎｅｍｅｎｔ［Ｊ］． Ａｃｔａ Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｅ Ａｐｐｌｉｃａｔａｅ Ｓｉｎｉｃａ，２０２２，３９９（１）：２０２-２１０．

［１８］ＺＨＡＮＧ Ｘ Ｙ． Ｏｎ ｔｈｅ Ｃａｕｃｈｙ ｐｒｏｂｌｅｍ ｏｆ ３-Ｄ ｅｎｅｒｇｙ-ｃｒｉｔｉｃａｌ Ｓｃｈｒｄｉｎｇｅｒ ｅｑｕａｔｉｏｎｓ ｗｉｔｈ ｓｕｂｃｒｉｔｉｃａｌ ｐｅｒｔｕｒｂａｔｉｏｎｓ［Ｊ］． Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆＤｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌ Ｅｑｕａｔｉｏｎｓ，２００６，２３０（２）：４２２-４４５．

［１９］ＴＡＯ Ｔ，ＶＩＳＡＮ Ｍ，ＺＨＡＮＧ Ｘ Ｙ． Ｔｈｅ ｎｏｎｌｉｎｅａｒ Ｓｃｈｒｄｉｎｇｅｒ ｅｑｕａｔｉｏｎ ｗｉｔｈ ｃｏｍｂｉｎｅｄ ｐｏｗｅｒ-ｔｙｐｅ ｎｏｎｌｉｎｅａｒｉｔｉｅｓ［Ｊ］． Ｃｏｍｍｕｎｉｃａｔｉｏｎｓｉｎ Ｐａｒｔｉａｌ Ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌ Ｅｑｕａｔｉｏｎｓ，２００７，３２（８）：１２８１-１３４３．

［２０］ＨＵＡＮＧ Ｊ，ＺＨＡＮＧ Ｊ，ＣＨＥＮ Ｇ Ｇ． Ｅｎｅｒｇｙ ｃｒｉｔｅｒｉｏｎ ｏｆ ｇｌｏｂａｌ ｅｘｉｓｔｅｎｃｅ ｆｏｒ ｅｎｅｒｇｙ-ｃｒｉｔｉｃａｌ Ｓｃｈｒｄｉｎｇｅｒ ｅｑｕａｔｉｏｎｓ ｗｉｔｈ ｓｕｂｃｒｉｔｉｃａｌｐｅｒｔｕｒｂａｔｉｏｎｓ［Ｊ］． Ａｐｐｌｉｃａｂｌｅ Ａｎａｌｙｓｉｓ，２００８，８７（８）：９５７-９６６．

［２１］ＨＵＡＮＧ Ｊ，ＺＨＡＮＧ Ｊ． Ｓｈａｒｐ ｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓ ｏｆ ｇｌｏｂａｌ ｅｘｉｓｔｅｎｃｅ ａｎｄ ｓｃａｔｔｅｒｉｎｇ ｆｏｒ ａ ｆｏｃｕｓｉｎｇ ｅｎｅｒｇｙ-ｃｒｉｔｉｃａｌ Ｓｃｈｒｄｉｎｇｅｒ ｅｑｕａｔｉｏｎ［Ｊ］．Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌ Ａｎａｌｙｓｉｓ ａｎｄ Ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ，２０１４，４１０（２）：５６１-５７６．

［２２］ＳＨＵ Ｊ，ＺＨＡＮＧ Ｊ． Ｉｎｓｔａｂｉｌｉｔｙ ｏｆ ｓｔａｎｄｉｎｇ ｗａｖｅｓ ｆｏｒ ａ ｃｌａｓｓ ｏｆ ｎｏｎｌｉｎｅａｒ Ｓｃｈｒｄｉｎｇｅｒ ｅｑｕａｔｉｏｎｓ［Ｊ］． Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ ＭａｔｈｅｍａｔｉｃａｌＡｎａｌｙｓｉｓ ａｎｄ Ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ，２００７，３２７（２）：８７８-８９０．

［２３］何巧玲，黃娟． 具三次和五次非線性項(xiàng)的非線性 Ｓｃｈｒｄｉｎｇｅｒ 方程的爆破條件［Ｊ］． 四川師范大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版）， ２０２３，４６（２）：２０７-２１２．

［２４］ＭＩＡＯ Ｃ，ＸＵ Ｇ，ＺＨＡＯ Ｌ． Ｔｈｅ ｄｙｎａｍｉｃｓ ｏｆ ｔｈｅ ３Ｄ ｒａｄｉａｌ ＮＬＳ ｗｉｔｈ ｔｈｅ ｃｏｍｂｉｎｅｄ ｔｅｒｍｓ［Ｊ］． Ｃｏｍｍｕｎｉｃａｔｉｏｎｓ ｉｎ ＭａｔｈｅｍａｔｉｃａｌＰｈｙｓｉｃｓ，２０１３，３１８（３）：７６７-８０８．

［２５］ＢＥＲＥＳＴＹＣＫＩ Ｈ，ＬＩＯＮＳ Ｐ Ｌ． Ｎｏｎｌｉｎｅａｒ ｓｃａｌａｒ ｆｉｅｌｄ ｅｑｕａｔｉｏｎｓ Ｉ：ｅｘｉｓｔｅｎｃｅ ｏｆ ａ ｇｒｏｕｎｄ ｓｔａｔｅ［Ｊ］． Ａｒｃｈｉｖｅ ｆｏｒ Ｒａｔｉｏｎａｌ Ｍｅｃｈａｎｉｃｓａｎｄ Ａｎａｌｙｓｉｓ，１９８３，８２（４）：３１３-３４５．

［２６］ＯＨＴＡ Ｍ． Ｓｔａｂｉｌｉｔｙ ａｎｄ Ｉｎｓｔａｂｉｌｉｔｙ ｏｆ ｓｔａｎｄｉｎｇ ｗａｖｅｓ ｆｏｒ ｏｎｅ-ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌ ｎｏｎｌｉｎｅａｒ Ｓｃｈｒｄｉｎｇｅｒ ｅｑｕａｔｉｏｎｓ ｗｉｔｈ ｄｏｕｂｌｅ ｐｏｗｅｒｎｏｎｌｉｎｅａｒｉｔｙ［Ｊ］． Ｋｏｄａｉ Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌ Ｊｏｕｒｎａｌ，１９９５，１８（１）：６８-７４．

［２７］ＦＵＫＡＹＡ Ｎ，ＨＡＹＡＳＨＩ Ｍ． Ｉｎｓｔａｂｉｌｉｔｙ ｏｆ ａｌｇｅｂｒａｉｃ ｓｔａｎｄｉｎｇ ｗａｖｅｓ ｆｏｒ ｎｏｎｌｉｎｅａｒ Ｓｃｈｒｄｉｎｇｅｒ ｅｑｕａｔｉｏｎｓ ｗｉｔｈ ｄｏｕｂｌｅ ｐｏｗｅｒｎｏｎｌｉｎｅａｒｉｔｉｅｓ［Ｊ］． Ｔｒａｎｓａｃｔｉｏｎｓ ｏｆ ｔｈｅ Ａｍｅｒｉｃａｎ Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌ Ｓｏｃｉｅｔｙ，２０２１，３７４（２）：１４２１-１４４７．

［２８ ］ ＺＨＡＮＧ Ｙ，ＺＨＡＮＧ Ｊ． Ｓｔａｂｉｌｉｔｙ ａｎｄ ｉｎｓｔａｂｉｌｉｔｙ ｏｆ ｓｔａｎｄｉｎｇ ｗａｖｅｓ ｆｏｒ Ｇｒｏｓｓ-Ｐｉｔａｅｖｓｋｉｉ ｅｑｕａｔｉｏｎｓ ｗｉｔｈ ｄｏｕｂｌｅ ｐｏｗｅｒｎｏｎｌｉｎｅａｒｉｔｉｅｓ［Ｊ］． Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌ Ｃｏｎｔｒｏｌ ａｎｄ Ｒｅｌａｔｅｄ Ｆｉｅｌｄｓ，２０２３，１３（２）：５３３-５５３．

［２９］ＢＲＥＺＩＳ Ｈ，ＬＩＥＢ Ｅ Ｈ． Ａ ｒｅｌａｔｉｏｎ ｂｅｔｗｅｅｎ ｐｏｉｎｔｗｉｓｅ ｃｏｎｖｅｒｇｅｎｃｅ ｏｆ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ ａｎｄ ｃｏｎｖｅｒｇｅｎｃｅ ｏｆ ｆｕｎｃｔｉｏｎａｌｓ［Ｊ］． Ｐｒｏｃｅｅｄｉｎｇｓ ｏｆｔｈｅ Ａｍｅｒｉｃａｎ Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌ Ｓｏｃｉｅｔｙ，１９８３，８８（３）：４８６-４９２

（編輯 劉 剛）