Ｋｒｕｌｌ 整環(huán)的 Ｇｏｒｅｎｓｔｅｉｎ 同調(diào)刻畫

摘要：從 Ｇｏｒｅｎｓｔｅｉｎ 同調(diào)代數(shù)的角度給出 Ｋｒｕｌｌ 整環(huán)新的闡述． 應(yīng)用 ｗ-算子，證明整環(huán) Ｒ 是 Ｋｒｕｌｌ 的當(dāng)且僅當(dāng)對 Ｒ 的任何非零真 ｗ-理想，它 ｗ-商環(huán)的 Ｇｏｒｅｎｓｔｅｉｎ 整體維數(shù)都為 ０．

關(guān)鍵詞：Ｋｒｕｌｌ 整環(huán)；ｗ-算子；ｗ-商環(huán)；ＱＦ-環(huán)；Ｇｏｒｅｎｓｔｅｉｎ 整體維數(shù)

中圖分類號：Ｏ１５４ 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：Ａ 文章編號：１００１-８３９５（２０２４）０３-０４０７-０４

ｄｏｉ：１０． ３９６９ ／ ｊ． ｉｓｓｎ． １００１-８３９５． ２０２４． ０３． ０１３

本文恒設(shè) Ｒ 是有單位元的交換環(huán)，且 ０≠１．Ｋｒｕｌｌ 整環(huán)在交換代數(shù)和代數(shù)幾何的發(fā)展過程中起著重要作用，這是因?yàn)槊總€ Ｎｏｅｔｈｅｒ 整環(huán)的整閉包都是 Ｋｒｕｌｌ 整環(huán)． Ｋｒｕｌｌ 整環(huán)的研究內(nèi)容十分豐富． 眾所周知，使用星型算子的語言，Ｋｒｕｌｌ 整環(huán)被刻畫為每個非零理想是 ｔ-可逆（等價(jià)地，ｗ-可逆）的整環(huán)． 因此，Ｋｒｕｌｌ 整環(huán)也被認(rèn)為是星型算子意義下的 Ｄｅｄｅｋｉｎｄ 整 環(huán)． 不 僅 如 此，Ｋｒｕｌｌ 整 環(huán) 還 與Ｎｏｅｔｈｅｒ 整環(huán)的一類重要的推廣密切相關(guān)，這類整環(huán)被稱之為 Ｓｔｒｏｎｇ Ｍｏｒｉ 整環(huán)（ＳＭ-整環(huán)），它是指滿足 ｗ-理想升鏈條件的整環(huán)． 文獻(xiàn)［１］證明了 Ｋｒｕｌｌ整環(huán)就是整閉的 ＳＭ-整環(huán)． 文獻(xiàn)［２］證明了 ＳＭ 整環(huán)的 ｗ-整閉包就是 Ｋｒｕｌｌ 整環(huán)．

本文的主要目的是揭示 Ｋｒｕｌｌ 整環(huán)與 Ｇｏｒｅｎ-ｓｔｅｉｎ 同調(diào)代數(shù)的重要關(guān)系． 一般情況下，Ｋｒｕｌｌ 整環(huán)不能由 Ｇｏｒｅｎｓｔｅｉｎ 同調(diào)代數(shù)直接刻畫． 究其原因是： 存在許多非 Ｄｅｄｅｋｉｎｄ 的 Ｋｒｕｌｌ 整環(huán)，這些整環(huán)都不是 ＤＷ-整環(huán)，而 Ｇｏｒｅｎｓｔｅｉｎ 投射（Ｇ-投射）模和Ｇｏｒｅｎｓｔｅｉｎ 平坦（Ｇ-平坦）模在 ｗ-撓理論下是 ｗ-閉的，它們無法直接刻畫非 ＤＷ-整環(huán)． 本文采用新的思路研究 Ｋｒｕｌｌ 整環(huán)：應(yīng)用 ｗ-算子考慮 Ｋｒｕｌｌ 整環(huán)的 ｗ-商環(huán)，從 Ｇｏｒｅｎｓｔｅｉｎ 同調(diào)代數(shù)的角度刻畫 Ｋｒｕｌｌ 整環(huán)． 主要結(jié)果是：整環(huán) Ｒ 是 Ｋｒｕｌｌ 的當(dāng)且僅當(dāng)對 Ｒ 的任何非零真 ｗ-理想，它 ｗ-商環(huán)的 Ｇｏｒｅｎｓｔｅｉｎ 整體維數(shù)為零． 這一結(jié)果是對文獻(xiàn)［３］定理 ３． ８ 的重要補(bǔ)充，并能從商環(huán)的角度看到 Ｋｒｕｌｌ 整環(huán)與 Ｄｅｄｅｋｉｎｄ整環(huán)的差距．

本文始終假設(shè)讀者熟悉 Ｇｏｒｅｎｓｔｅｉｎ 同調(diào)代數(shù)與星型算子的基本知識，對于未解釋的術(shù)語可參見文獻(xiàn)［４］． 為了方便讀者，下文回顧 ｗ-模理論的一些基本概念． 設(shè) Ｒ 是環(huán)，Ｍ 是 Ｒ-模． 如果 Ｒ 的理想 Ｊ是有限生成的且同態(tài) φ：Ｊ→Ｈｏｍ Ｒ （Ｊ，Ｒ）是同構(gòu)，那么稱 Ｊ 是 ＧＶ-理想． ＧＶ-理想的集合被記為ＧＶ（Ｒ）．如果對 ｘ∈Ｍ，Ｊ∈ＧＶ（Ｒ），Ｊｘ ＝ ０ 能推出 ｘ ＝ ０，那么稱 Ｍ 是 ＧＶ-無撓模；如果對任何 ｘ∈Ｍ，存在 Ｊ∈ＧＶ（Ｒ）使得 Ｊｘ ＝ ０，那么 Ｍ 被稱為 ＧＶ-撓模． 對于ＧＶ-無撓模 Ｍ，稱

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（編輯 鄭月蓉）