結構力學位移法實驗教學裝置開發及教學實踐

江守燕， 金 蓉， 楊海霞， 孫立國

（1.河海大學力學與工程科學學院，南京 211100；2.大連海事大學交通運輸工程學院，遼寧 大連 116026）

0 引 言

結構力學是力學、土木、港航等專業本科生的主要學科基礎課程之一，本課程的任務是在理論力學和材料力學等課程的基礎上進一步掌握平面桿件結構分析的基本概念、基本原理和基本方法，了解各類結構的力學性能，為學習有關專業課程以及進行結構設計和科學研究打好力學基礎，培養學生結構分析與計算等方面的能力，這門課程是力學理論與工程實踐緊密聯系的橋梁和紐帶。

力法和位移法是求解超靜定結構的2 種經典方法，也是結構力學教學中的重點和難點內容。力法的重點是“力”，關于力的分析方法在靜定結構的計算中學生已經比較熟悉；位移法的重點是“位移”，根據變形位移確定內力的分析方法對學生來說屬于比較新的和陌生的知識。位移法的基本思路、基本系和基本未知量的確定等都比力法難以理解，是結構力學最重要和最難理解的內容［1］。位移法基本系高度抽象，不但可以說是“無中生有”，而且結點位移和荷載分別單獨作用于基本系的狀態與原有結構中荷載引起內力和變形（包括節點位移）的概念相沖突。由于位移法的“難”，導致很多學生在沒有理解位移法基本原理的情況下，難以基于位移法的基本原理進行結構的概念分析［2］。然而，結構分析的核心概念和方法是教學過程中應該著重強調的［3-5］，而不應該僅僅強調求解問題的技巧。朱少云［6］探討了建立位移法方程的2 種方式，即典型方程法和平衡方程法，并討論了位移法典型方程的取舍對結構力學教學的影響；崔玉紅等［7］指出，經典的位移法規律是一次加約束和一次拆約束的計算過程；楊迪雄［8］系統介紹了位移法的發展歷程及對結構現代發展所起的作用；田振國［9］對比了超靜定結構求解的幾種方法，包括力法、位移法、力矩分配法等，對幾種方法的理論基礎、未知量、特點、適用條件和適用問題等進行了探討。

結構力學是一門與工程實際緊密聯系的課程，但在結構力學理論教學中，存在不見“結構”的問題［10-11］。實踐教學環節在理工科課程教學中的重要性已成共識，并已成為教學體系的重要環節［12-15］。盡管結構力學課程教學基本要求中沒有實驗要求，但是河海大學結構力學課程結合人才培養的實際需要，于2003 年在國內率先開設結構靜、動力學實驗，通過實驗教學和課外實踐活動，激發學生的學習興趣，提高學生動手能力和研究問題能力。實驗室還為學生創新實踐提供場地和條件，通過舉辦和參加各類力學和結構設計競賽、指導大學生課外創新實踐等活動，培養富有創新精神和具有創新能力的人才。在近來的結構力學教學中，又研制了結構力學位移法基本原理的演示裝置和實驗裝置，將課堂理論教學與實驗教學有機融合。

1 位移法基本原理演示裝置

固定支座、鉸支座、滑移支座是結構力學中3 種常見的支座類型，為了直觀地展示這3 種支座形式以及不同支座對桿件變形的限制作用，設計并加工了2 種超靜定剛架，一種為三端固定的超靜定三桿剛架（見圖1），另一種為考慮不同支座形式的超靜定三桿剛架（見圖2）。演示裝置的主要部件包括剛臂、剛臂轉動頂推裝置、加載裝置以及剛臂鎖定旋鈕。桿件的材質為橡膠棒，桿截面為方形，截面尺寸為2 cm ×2 cm。在荷載作用下桿件能夠呈現肉眼可見的變形，加深學生對桿件變形規律的認知。該裝置已用于課堂實驗教學（見圖3），可分別演示位移法原結構和基本系的變形過程。

圖1 三端固定的三桿剛架及演示裝置

圖2 不同支座形式的三桿剛架及演示裝置

圖3 演示裝置用于課堂教學

原結構變形演示過程包括以下步驟：①旋轉剛臂轉動頂推裝置的旋鈕，使得剛臂轉動頂推裝置遠離剛臂；②旋轉剛臂鎖定旋鈕，使其處于“放松”狀態；③通過旋轉加載裝置上的旋鈕，在BC端桿上施加荷載F。學生可直觀地看到由施加在BC端桿上的荷載所引起的桿件變形，BC端桿的變形帶動剛節點B的轉動，在剛節點B轉動過程中，與剛節點B相連的BA端桿以及BC端桿也同步發生變形，加載結束后的最終變形如圖1（a）所示。在原結構中“轉動”和“荷載”同時存在，無法分離。

基本系變形演示過程包括以下步驟：①旋轉加載裝置上的旋鈕，使其處于“卸荷”狀態；②旋轉剛臂鎖定旋鈕，使其處于“放松”狀態；③旋轉剛臂轉動頂推裝置的旋鈕，頂推剛臂發生轉動，當剛臂轉動到φ1時，旋轉剛臂鎖定旋鈕，鎖定剛臂，剛臂便不再轉動；④旋轉加載裝置上的旋鈕，在BC端桿上施加荷載，可以觀察到荷載只引起BC端桿的變形，剛節點B不再轉動。通過這樣一個演示過程，展示位移法基本系可以僅有轉動，也可以僅有荷載，還可以先有轉動再有荷載，基本系中可以把引起結構變形的原因——“荷載”和“節點轉動”分開來考慮。

研制的演示裝置可以定性地展示結構的變形狀態，輔助位移法基本原理的講解，讓學生可以看到“結構”，看到“結構變形”，看到“剛臂”，看到“基本系”及其在外荷載和節點位移單獨作用下的2 個狀態，將抽象的位移法基本系形象化、直觀化。

2 位移法基本原理實驗裝置

研制的位移法基本原理演示裝置可以定性、直觀地展示結構的變形，但無法定量地給出結構的變形、內力數值，為此還研制了與演示裝置相配套的實驗裝置［16］。該實驗可以加深學生對結構力學位移法概念及求解方法的理解，實驗中還涉及半橋自補償的電阻應變測試技術，有利于提高學生對電測法的應用能力，在應變與彎矩轉化方法的應用上又涉及材料力學。

如圖4 所示，該實驗裝置可以精確地測試結構變形、內力。與1 節中演示裝置不同，該實驗裝置增加了百分表，測量剛臂轉角。剛臂頂部外伸段與百分表相連，如圖4（b）所示。剛臂頂部外伸段長度Lc=70mm，百分表示數為Di，剛臂實際轉角φ1可通過下式計算：

圖4 位移法基本原理實驗裝置

加載裝置與力傳感器相連可測得所施加荷載的大小。通過變換支座形式，可組裝成不同的結構形式。桿件截面為矩形，材質為有機玻璃或彈簧鋼（無肉眼可見的變形）。桿件上粘貼了若干應變片，通過靜態電阻應變儀測量各桿端應變ε，可通過下式計算每根桿件的桿端彎矩

式中：E為桿件的彈性模量；b為矩形桿件截面的寬度；h為截面的高度。在實驗過程中，可通過該實驗裝置再現原結構和基本系的變形過程，并測出具體數值。將原結構的變形和內力數值與基本系的變形和內力數值進行比較，理論上原結構和基本系的內力和變形應該完全一致，但實驗測試時會存在誤差，學生可以從中分析誤差產生的原因。

具體的實驗步驟包括：

（1）測量桿件的彈性模量E，各桿件的有效長度lBA、lBC和lBD，桿件截面的寬度b和高度h。以如圖1（a）所示的三端固定超靜定剛架為例，桿件材質為有機玻璃，桿件的彈性模量E=3.35 GPa，桿件的有效長度lBA=32 cm、lBC=lBD=20 cm，桿件截面的寬度b=12 mm、高度h=8 mm。

（2）旋轉剛臂鎖定旋鈕，“放松”剛臂。通過加載裝置施加豎向集中荷載作用于BC端桿上，荷載F通過力顯示器讀出，這里取F=6 N（本實驗裝置可供學生在5 ～10 N范圍內自主施加荷載大小）。讀取此時D1，通過靜態電阻應變儀，測出原結構的桿端應變εAB1、εBA1、εBC1、εCB1、εBD1、εDB1。通過式（2）計算出每根桿件的桿端彎矩MAB1、MBA1、MBC1、MCB1、MBD1、MDB1，相關數據填入實驗記錄表（見表1）中，并畫出原結構在集中荷載下的彎矩圖。

表1 原結構各桿端應變和彎矩

（3）旋轉剛臂鎖定旋鈕，“放松”剛臂，然后旋轉剛臂轉動頂推裝置的旋鈕，頂推剛臂發生轉角φ1，即使百分表指針指到步驟（2）的示數D1。通過靜態電阻應變儀測量各桿端應變根據測得的各桿端應變，通過式（2）計算出每根桿件的桿端彎矩，相關數據填入實驗記錄表（見表2）中，并畫出彎矩圖。

表2 節點位移單獨作用下各桿端應變和彎矩

（4）旋轉剛臂轉動頂推裝置的旋鈕，使剛節點B轉角歸零，然后旋轉剛臂鎖定旋鈕，“鎖定”剛臂，施加與步驟（2）相同的豎向集中荷載，如F=6 N。通過靜態電阻應變儀，測出桿件的桿端應變。根據式（2）計算出每根桿件的桿端彎矩，相關數據填入實驗記錄表（見表3）中，并畫出彎矩圖。

表3 外荷載單獨作用下各桿端應變和彎矩

表4 基本系各桿端應變和彎矩

（6）比較步驟（2）、（5）所得的桿端應變和彎矩，分析實驗結果并撰寫實驗報告。

3 位移法基本原理教學設計

位移法基本原理是結構力學課程的重點，也是最難點，概念抽象。結合研制的演示裝置和實驗裝置，采用課堂講授、問題探討、動畫演示以及裝置演示的方式加深學生對該知識點的理解。

以如圖5（a）所示的超靜定三桿剛架為例，該剛架為6 次超靜定結構，采用力法計算時可以取如圖5（b）所示的基本系，含有6 個基本未知量F1，F2，…，F6。對于高次超靜定結構，采用力法計算時基本未知量多，方程求解繁瑣，因此有必要尋找新的計算方法，即位移法。位移法的概念和思想不僅適用于桿件結構的分析，還可以推廣到實體結構，是現代計算力學分析方法——有限元法的基礎。

圖5 力法計算高次超靜定結構

3.1 位移法基本思路

仍以三桿剛架為例，在不計桿件軸向變形的情況下，剛節點B只有角位移而沒有線位移，根據位移協調條件，與B點相連的BA端桿、BC端桿以及BD端桿的剛節點B轉角相等，都是φ1。在課堂上討論原超靜定剛架結構在荷載作用下與單跨梁在桿端位移和外荷載共同作用下內力和變形狀態的聯系，如圖6 所示。

圖6 超靜定三桿剛架及對應的單跨梁系

若剛節點B的轉角φ1求出，則各個桿件的內力能夠求出嗎？這時原超靜定剛架可以看作單跨超靜定梁系受桿端位移和桿上荷載共同作用。如果φ1已知，單跨梁的桿端內力就可以用已經學習的轉角位移方程來確定。因此，問題轉化成如何求φ1。

3.2 位移法基本原理

位移法基本原理十分抽象，學生難以理解，講解過程中穿插動畫演示、課堂討論、裝置演示等環節，并與力法的基本概念相聯系，強調力法與位移法的對偶性。

仍以超靜定三桿剛架為例，重點闡述位移法基本系（見圖7）形成的關鍵思想。構造的基本系應該是可以計算的，而且在基本系上可以把引起結構內力和變形的因素分開來考慮。講解過程中一方面與力法基本系的構造思想聯系起來，另一方面通過前述演示裝置演示原結構和基本系的變形過程，并演示剛臂的“放松”和“鎖住”效果，讓看不見摸不著的“剛臂”變得形象化、可視化，加深學生的理解。然后，通過比較位移法基本系與原結構的差別，得出剛臂上的附加約束反力FR1=0 這個條件，并根據疊加原理，得出位移法基本方程，如下所示：

圖7 位移法基本系

式中：k11為系數項，表示基本系僅受φ1=1 單獨作用時附加約束1 處的約束反力；FR1F為自由項，表示基本系僅受外荷載作用時附加約束1 處的約束反力。此時，超靜定結構求解的靜力平衡條件和位移協調條件均已滿足。

3.3 課堂討論及課外研究設計

（1）請多個學生按照自己的構思操作演示裝置，并討論結構（原結構或基本系）在不同因素作用下的變形狀態。

（2）討論圖2（a）中φ1、φ2和Δ3是否均應作為位移法基本未知量。通過課堂討論，加深學生對獨立的位移法基本未知量的理解。同時，要求學生列出此算例的位移法基本方程，求出位移法基本未知量并作彎矩圖。

（3）成立課外研究興趣小組，到實驗室利用位移法基本原理的實驗裝置做實驗，并記錄實驗數據，進行誤差分析，提交實驗報告。

4 結 語

位移法基本原理為結構力學課程的最重點和難點，通過自主開發的演示裝置和實驗裝置，將理論教學與實驗教學相聯系，讓看不見摸不著的抽象理論形象化、直觀化，有效解決了“結構”力學學習中不見“結構”的問題。詳細介紹了研制的演示裝置和實驗裝置，演示裝置和實驗裝置均可再現位移法超靜定原結構和基本系的變形過程。加深了學生對2 種狀態的理解：一是節點位移和荷載分別單獨作用于基本系的狀態，二是原結構中荷載引起內力和變形的狀態。最后，闡述了理論與實驗融合的位移法基本原理的具體教學方法。

通過研制的2 個實驗裝置將抽象的位移法基本系形象化、直觀化，加深了學生對位移法基本原理的理解，強化了理論與實踐的融合。