借助思維導圖將思維“可視化”,探尋解題軌跡

? 四川成都七中 楊 東 陳 霞 鄒蘊博 陳洲健

用思維導圖將思維過程可視化,可以更好地幫助我們尋找解題突破口,也能夠更好地梳理問題解決的內置思路.這里,筆者以2023年全國甲卷第21題為例,呈現如何借助思維導圖來更好地探索問題的解決.

(1)當a=8時,討論f(x)的單調性;

(2)若f(x)

1 第(1)問解法分析

圖1

上述兩種方法的核心其實都是將三角函數化為同名,然后進行換元處理(解答中鑒于篇幅所限,省略了換元的過程).兩種處理方式都是抓住sinx,cosx和tanx之間的關系來化簡.其中,對于將cosx化為tanx的方式看起來似乎平時很少用到,但是稍后我們會看到,在第(2)問的一些分析中,這種化簡途徑也是非常有啟發意義的.

借助思維導圖,我們可以看到這個題目的思維過程是線性結構的,算是一個比較常規的基本形式.但是在每一個步驟上,特別是在結構分析過程中,思維導圖會讓我們將注意力集中在當下需要處理的問題和結構形式上,從而聯想到可以借助三角變形來解決繁瑣式子的變形.這種“思維可視化”過程可以讓我們更清晰地感受到如何一步一步想到解決問題的思路,也為我們解決數學問題提供了經驗的歸納.

2 第(2)問解法分析

2.1 探索a的范圍分析

首先辨別清楚這個問題的類型：恒成立求參數取值范圍.因此,這里可以激活相應的方法：直接求導討論;參變分離;必要性策略探路.這幾種方法都涉及將思維過程主要分解為兩個部分：即找到a的臨界值;證明這個值恰好是我們需要的.下面就分這兩部分結合思維導圖(圖2)探索a的范圍.

圖2

如圖2所示的思維導圖,展示了通過直接求導討論、參變分離和半分參放縮來尋找a的臨界值的過程.

在分析1中,設g(x)=sin 2x-f(x),那么問題轉化為尋找g(x)的最小值.一方面可以通過直接求導,并借助類似第(1)問的方法將cos2x換元,把函數變成一個我們更為熟悉的三次函數,由此自然而然地將a在3兩側進行分類;另一方面,直接分析函數的端點,可以發現函數g(x)在x=0處的函數值為0,要保證函數恒為正數,就需要函數g(x)在x=0處的導數g′(x)≥0,由此得到a≤3.這樣得到的必要條件a≤3還需要進一步加以證明.

綜上,通過思維的可視化呈現,幫助我們找到了a的分界點,但是這里得到的都是必要性條件,因此還需要進一步分析充分性證明的方法.

2.2 證明充分性分析

圖3

從思維導圖中可以看到,通過主元法將問題轉化為單變量的不等式恒成立問題.這里給出了兩種分析思路：直接討論函數的最值;直接對函數進行放縮處理得到最值.

分析1中,再次用到了第(1)中的整體思想,可以看到整個過程非常清晰明了.這也體現了解決第(1)問的方法在第(2)問中的應用.分析2中,考慮能否直接將函數通過放縮得到結果,這一步其實很難想到.因為從必要性分析中我們已經看到,使用泰勒展開將函數線性化處理的時候,需要將sin 2x和tanx都展開到x3項,tan3x保留x項,這個操作首先需要對泰勒展開的結論很熟悉,其次要探索性地放縮處理,只有這樣才能找到合適的放縮方向.

2.3 解法呈現

通過上面的分析,我們發現最優的解法其實就是直接分析構造函數后的端點,利用最基本的函數求導分析方法來解答.下面的解答過程中,充分性的證明是最簡潔的處理方式.

解：先證a≤3的必要性(反證).

下面證明：當a≤3時,f(x)

證法2：略.(掃碼看具體過程.)

3 總結

從上文的分析過程可以看出,在分析復雜的函數的時候,借助思維導圖可以幫我們更清晰地理解題目的內在聯系,從而找到相應的突破口,由此更好地鍛煉邏輯推理能力.一些高等數學的知識雖然可以幫助我們處理問題,但是如果對其核心知識掌握不熟練的話,反而可能弄巧成拙,讓問題變得更加復雜.