基于“問題鏈”的高中數學教學實踐
——以圓的標準方程為例

? 西華師范大學 蔣曉清

新課程改革強調學生的素質教育、核心素養的培養,強調學生才是教學的主體,注重學生“四基”“四能”以及創造性的培養.因此,問題驅動的教學方式已逐漸成為許多一線教師采取的方式.問題驅動教學起源于蘇格拉底的“產婆術”,蘇格拉底傾向于通過問答的形式培養學生的學習興趣.但在實際教學過程中,通過“問題鏈”驅動教學的效果并不是很好,主要是由于教師對于問題的設計還不夠精細,無論是問題的難度,還是問題的深度、密度,都需要教師精心設計,這樣才能達到預期的效果.

1 相關概念

1.1 問題

什么是問題呢?在《辭海》中,有以下四種解釋：“(1)要求回答或解釋的題目;(2)指需要解決的矛盾或要弄清楚的疑難;(3)關鍵、重要之點;(4)指事故或毛病.”[1]陶行知曾經說過：“創造始于問題,有問題才能思考.”問題的產生,是因為現有狀態與應有狀態之間的差距.數學教學中的問題不僅僅是課本上的,還包括了師生在學習探究過程中產生的疑問、疑惑等.

1.2 問題鏈

問題鏈是指由一組問題串聯起來的問題系統,是教師為了更好地教學,在學生現有認知結構的基礎上,設計的一連串問題.“在形式上,‘問題鏈’是一個鏈條的形式,一個問題接著一個問題,一環套著一環;在內容上,‘問題鏈’環環緊扣具有較強的邏輯性;在目標上,‘問題鏈’層層深入,逐步引導”[2].由此可以看出,問題鏈中問題的設計是由淺入深、由易到難、層層遞進的,而不是隨意將幾個問題組合在一起.

1.3 “問題鏈”教學

問題貫穿于數學教學的始終.“問題鏈”教學是教師結合學生已有的知識基礎、認知結構以及教學目標,在學生學習中可能會存在問題的地方,設置一系列的問題.通過“問題鏈”的方式,逐步化解學生的問題、障礙.但問題驅動的教學,需要教師精心設計.此外,“問題鏈”教學還存在一些問題：第一,“新課程改革強調學生核心素養以及‘四基’‘四能’的培養,如何通過’問題鏈”的設計來培養學生的這些素養、能力,還需要繼續思考、研究”[3];第二,每個學生的認知結構和知識水平都不同,問題該如何設計才能滿足不同學生的需求.

2 “問題鏈”的設計原則

2.1 目的性原則

課堂中提的問題應該有明確的目標.教師所提出的問題應該以教學目標為依據,根據教學重難點來設置.每一個問題的提出都應該有它的目的,是想要學生對舊知進行回顧,還是想要吸引學生的注意力,或者是想要引發學生的思考.教師在備課時,要充分考慮每個問題的作用,不能為了提問而提問.

2.2 啟發性原則

孔子說過;“不憤不啟,不誹不發.”他強調了應該在什么時候啟發學生,在什么時候開導學生.這就是孔子主張的啟發式教學.教師所設計的問題應該具有引導學生思考、啟發學生思維的作用.這樣,在教學過程中,學生才能夠真正有所收獲,其核心素養也能得到提升.

2.3 適度性原則

問題的設計要適度.一方面是問題的難度要適度.太簡單,學生的思維得不到訓練;太難,會讓學生產生抗拒心理.根據“最近發展區”理論,問題的難度應該設置在學生跳一跳能夠夠到的位置.另一方面是問題的密度.提問過于頻繁,學生缺少冷靜思考的時間;提問太少,課堂氣氛可能就會死氣沉沉,學生就會游離在課堂之外.

2.4 開放性原則

創造性的培養也是素質教育的一個重要要求,而創造就意味著要有不同的想法、不同的思維.因此,所設計的問題不應該只有“是或不是”“對或不對”這種絕對性的答案,而應具有開放性的、動態的的答案,能夠啟發學生的思維.教師也要激勵學生敢于想象、敢于發散思維,并能對學生的不同想法予以肯定.

3 基于問題鏈的“圓的標準方程”教學設計

3.1 復習回顧

問題1請同學們回憶一下,圓的定義是什么?

問題2根據前面的學習,我們已經知道,要研究某一類曲線,首先要明確確定曲線的要素,在平面直角坐標系中,確定直線的要素有兩個,那么,確定圓的要素有哪些呢?

設計意圖：通過這兩個問題,引導學生回憶之前學過的與圓有關的知識,并回答出確定圓的兩要素——圓心(定位)與半徑(定形),為后續的學習打好基礎.

問題3我們知道直線可以通過方程來表示,那么,圓是否也可以通過方程來表示呢?

設計意圖：提醒學生類比“直線的方程”的學習過程來學習“圓的標準方程”,在潛移默化中培養學生的數學思維,掌握類比的數學思想方法,同時順其自然地引出本節課的課題.

3.2 新知探究

探究：已知點B(a,b)為圓的圓心,r為半徑(其中a,b,r都是常數,r>0),該圓的方程該如何確定?

問題4首先,老師想問一下大家,求曲線的方程的一般步驟是什么?

設計意圖：引導學生們說出求曲線的方程的步驟.一方面是幫助學生鞏固已經學過的知識,加深印象.另一方面,為學生提供一個正確的方向,同時讓學生明白,知識之間是相互聯系的,而不是獨立的.

問題5用點M(x,y)來表示圓上的任意一點,那么x,y滿足什么樣的條件呢?這個方程的最簡形式是什么呢?

設計意圖：教師作為一個引導者,引導學生經歷圓的標準方程的推理過程,這樣,能使學生對圓的標準方程有更清晰的認識.

學生通過計算、化簡,得到圓的標準方程：

(x-a)2+(y-b)2=r2.

接下來,教師強調圓的標準方程的結構,加深學生的理解與印象.

例題求圓心為A(2,1),半徑為2的圓的標準方程,并判斷點(4,2)是否在這個圓上.

分析：要判斷點是否在方程上,只需要判斷這個點是否滿足圓的方程.圓的標準方程為(x-2)2+(y-1)2=4.

根據上述例題,可以引出問題6.

問題6點M(x,y)在圓(x-a)2+(y-b)2=r2內的條件是什么?在圓外的條件又是什么?請同學們思考,或者與同學相互交流.

設計意圖：讓學生自己思考或者互相交流,探討、總結如何判斷點在圓內還是圓外.

3.3 課堂練習

練習1寫出下列圓的標準方程：

(1)圓心為C(-3,4),半徑是2;

(2)圓心為C(-8,3),且經過點M(-5,-1).

練習2求過三點P1(2,7),P2(5,3),P3(6,4)的圓的標準方程,并判斷點M(1,7),P(4,3),Q(7,4)在圓內、圓上還是圓外.

設計意圖：這兩個練習都是為了鞏固本節課的內容.練習1是為了加深學生對圓的標準方程結構的印象,能夠選擇正確的方式求圓的標準方程;練習2主要是判斷點與圓的位置關系.

3.4 課堂小結

本節課的主要知識點：圓的標準方程、點與圓的位置關系的判斷.主要方法：類比法(類比直線的方程的學習)、數形結合思想.

4 總結

在數學教學的過程中,“問題鏈”有著非常重要的作用.它與以往傳統的教學方式不同,傳統的教學方式容易使課堂變得古板、沉悶,學生容易產生厭煩心理.在“問題”的引導下,學生的學習興趣被激發出來,學生更愿意參與到課堂中來,在不知不覺中主動內化為課堂知識、提高自己的思維能力.這樣,課堂的教學效率就會有所提升.