聚焦數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)之美 挖掘文化育人價值

? 浙江杭州第十四中學(xué) 龍明旺 ? 新疆阿克蘇市高級中學(xué) 王 莉 閆 華 王曉琴

目前高中各門學(xué)科中,數(shù)學(xué)已經(jīng)成為高中最難學(xué)的學(xué)科之一,尤其對于思維偏文的學(xué)生.筆者從事高中數(shù)學(xué)教學(xué)已有十余年,發(fā)現(xiàn)眾多的數(shù)學(xué)課堂,總有部分學(xué)生提不起對數(shù)學(xué)的興趣,或者感覺數(shù)學(xué)枯燥乏味.于是,筆者提出,數(shù)學(xué)課堂能否也有歡聲笑語?能否讓數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)變得輕松簡單,更具有可操作性?這需要改變我們的思維方式和教學(xué)方式,讓難的數(shù)學(xué)問題通過分解,變成簡單的問題,做到復(fù)雜問題簡單化;而簡單的問題需要講得接地氣、貼近生活,讓理解數(shù)學(xué)有困難的學(xué)生也能輕松掌握,做到簡單問題通俗化.

數(shù)學(xué)不是枯燥乏味的,數(shù)學(xué)有代數(shù)結(jié)構(gòu)之美,也有幾何背景之美.在課堂教學(xué)中,教師要引導(dǎo)學(xué)生去發(fā)現(xiàn)美,寓美育德育于教學(xué)之中,學(xué)生在享受數(shù)學(xué)美味的同時,也很可能愛上數(shù)學(xué).課堂教學(xué)中要引導(dǎo)學(xué)生適時發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)之美,這樣,教師越教越樂教,學(xué)生越學(xué)越樂學(xué).寓教于樂,寓學(xué)于樂,其樂無窮.

基于此,本文中將引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)、欣賞數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)之美,挖掘數(shù)學(xué)文化價值,發(fā)揮數(shù)學(xué)的育人價值,以饗讀者.

1 基本不等式的結(jié)構(gòu)“協(xié)調(diào)之美”

理解了基本不等式的結(jié)構(gòu)之美,下面來看一道題：

題1若實數(shù)x,y滿足x2+y2+xy=1,則x+y的最大值是______.

2 圓錐曲線切線的結(jié)構(gòu)“統(tǒng)一之美”

先看下面兩個結(jié)論：

注意到結(jié)論中兩個x只有兩種關(guān)系：x2=x·x,2x=x+x,即積與和的關(guān)系.若兩個x是乘積關(guān)系,可視為兩個x相距非常近,非常親近,是一對戀人關(guān)系;若兩個x是和的關(guān)系,兩個x之間有加號,有一定的距離,是普通的同學(xué)關(guān)系;其中一個x參加某項大型賽事(如運動會、學(xué)科競賽等)獲得金牌(x右下角圓圈),回到學(xué)校與另一個x繼續(xù)原來的關(guān)系,戀人繼續(xù)戀人關(guān)系,同學(xué)關(guān)系繼續(xù)同學(xué)關(guān)系,這也說明愛情和友情不會隨著時間的流逝而改變,所以同學(xué)間的純真感情值得好好珍惜.這兩個結(jié)論從數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)上表達(dá)了同學(xué)間相處的真善美,傳遞了正能量,也凸顯了數(shù)學(xué)的德育價值.

筆者在課堂實踐中,教授學(xué)生利用上述方式記憶這兩個結(jié)論,獲得學(xué)生雷鳴般的掌聲,同時,學(xué)生課堂上就記住了這兩個有用的結(jié)論.高中數(shù)學(xué)表述方式形式化、符號化,很多結(jié)構(gòu)都非常漂亮,有待大家去發(fā)現(xiàn).

3 指數(shù)比較大小的“求同存異之美”

A.c

C.b

在數(shù)學(xué)解題中,很多人認(rèn)為解題要玩不少技巧,對于技巧,學(xué)生就會想,老師你怎么這么聰明,我怎么就想不到.結(jié)果就是除了對老師的崇拜外,對自己的能力有所懷疑,甚至可能還有幾分失落.如果只是教技巧,學(xué)生簡單模仿,那么面對新的陌生問題時,學(xué)生可能就會束手無策,找不到解題的方向.其實,技巧只是解題教學(xué)的外在形式,更重要的是內(nèi)涵,是思想,是如何想到的.

4 單調(diào)性、奇偶性的結(jié)構(gòu)“同構(gòu)之美”

題3(2022年廈門調(diào)考)函數(shù)f(x)對任意的a,b∈R,都有f(a+b)=f(a)+f(b)-1,且當(dāng)x>0時,f(x)>1.求證：f(x)是R上的增函數(shù).

分析：欲證抽象函數(shù)f(x)單調(diào)遞增,只能用定義來證明.聯(lián)想單調(diào)遞增函數(shù)的定義表述方式,先設(shè)x1>x2,然后比較f(x1)和f(x2)的大小.可作差或作商比較.本題條件中沒有乘積或商的結(jié)構(gòu),所以考慮作差比較.接下來就是難點,很多學(xué)生不知道如何應(yīng)用條件.注意到數(shù)學(xué)是一門符號語言,要處理f(x1)-f(x2),就要構(gòu)造出類似的作差結(jié)構(gòu),但條件中是和式的結(jié)構(gòu),因為和與差是對偶運算,所以可引導(dǎo)學(xué)生將和式轉(zhuǎn)化為差式,只需移項,變?yōu)閒(a+b)-f(a)=f(b)-1,然后兩式對照處理,令a+b=x1,a=x2,則b=x1-x2>0,f(x1-x2)>1.當(dāng)然,有學(xué)生設(shè)x10時,f(x)>1”,則需構(gòu)造出大于零的代數(shù)式,只需改為作差f(x2)-f(x1),再賦值a+b=x2,a=x1,則b=x2-x1>0,f(x2-x1)>1.本題最難的地方是移項同構(gòu),再賦值.這是從代數(shù)結(jié)構(gòu)上的教學(xué),是數(shù)學(xué)維度上的理解.但是,思維偏文的學(xué)生還是覺得太抽象,不好理解.筆者考慮,能否再通俗一點?要處理代數(shù)式f(x1)-f(x2),就要讓已知條件與該代數(shù)式長得一模一樣,就好比看兩個學(xué)生是不是雙胞胎,如何確認(rèn)?站在一起,先看身高,再看容貌是否大致相同.這就如同已知條件與代數(shù)式f(x1)-f(x2)“高度差不多”,所以想到將已知條件移項,變?yōu)椴钍降慕Y(jié)構(gòu);“容貌相似”,就只需賦值a+b=x1,b=x2,這樣思維過程就變得非常自然,行云流水,也通俗易懂.

題4(2019年浙江名校聯(lián)考)已知函數(shù)f(x),x∈R,若對于任意實數(shù)a,b,都有f(a+b)=f(a)+f(b).求證：f(x)為奇函數(shù).

分析：欲證f(x)為奇函數(shù),只需證f(-x)=-f(x),即證f(-x)+f(x)=0,和式的結(jié)構(gòu)剛好與已知條件吻合.類似題3比較兩個學(xué)生是否為雙胞胎的方法,賦值也顯得很自然.即令a=-x,b=x,得到f(0)=f(-x)+f(x).與目標(biāo)式對照,長得非常像,但又不同,所以只需證f(0)=0,后面再令a=b=0,可得f(0)=0,即完成證明.

高中數(shù)學(xué)的表述符號化,這就要求學(xué)生會用數(shù)學(xué)符號來表達(dá).面對一系列的符號,有些學(xué)生非常茫然.那么,如何教學(xué)更能貼近學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)?比如,抽象函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性對不少學(xué)生來說是一個難點,那么,如何教,如何切入,能否讓所有的學(xué)生覺得簡單且通俗易懂?

答案是肯定的,那就是欣賞數(shù)學(xué)的同構(gòu)之美.

綜上所述,我們在高中數(shù)學(xué)教學(xué)當(dāng)中,可引導(dǎo)學(xué)生去發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)之美,提升學(xué)生對數(shù)學(xué)的興趣,挖掘數(shù)學(xué)的美育和德育價值;課堂教學(xué)實踐中,適時滲透中華優(yōu)秀的傳統(tǒng)文化,讓學(xué)生數(shù)學(xué)思維變得更為直接;具體解題教學(xué)中,注重對代數(shù)結(jié)構(gòu)的觀察,教授貼近生活的理解,適時關(guān)注題目背后體現(xiàn)的自然法則,讓數(shù)學(xué)教學(xué)變得生動有趣,讓學(xué)生的學(xué)習(xí)更具有可操作性,讓數(shù)學(xué)的核心素養(yǎng)在學(xué)生身上落地生根.