拾級(jí)而上重本質(zhì),開(kāi)拓進(jìn)取升素養(yǎng)

? 云南省安寧市昆鋼第一中學(xué) 熊洪智

? 云南省安寧中學(xué)太平學(xué)校 劉 勇 劉科蘭

2023年全國(guó)數(shù)學(xué)新高考Ⅱ卷順應(yīng)高考命題改革,以素養(yǎng)為導(dǎo)向,通過(guò)創(chuàng)設(shè)多樣命題情境,突出對(duì)數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力的考查,充分發(fā)揮數(shù)學(xué)學(xué)科在人才選拔中的重要作用.

1 深化基礎(chǔ)考查,指向關(guān)鍵能力

《中國(guó)高考評(píng)價(jià)體系》指出,高考以能力為重、知識(shí)為基,關(guān)鍵能力是高考重要的考核目標(biāo),也是測(cè)試和評(píng)價(jià)的核心指標(biāo)和因素.數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力是指進(jìn)入更高層次的學(xué)習(xí)者,在面對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)科相關(guān)的生活實(shí)踐或?qū)W習(xí)探索問(wèn)題情境時(shí),能有效地提出問(wèn)題、認(rèn)識(shí)問(wèn)題、分析問(wèn)題和解決問(wèn)題所必須具備的能力.《中國(guó)高考評(píng)價(jià)體系》闡述了適合高考評(píng)價(jià)規(guī)律的三個(gè)方面關(guān)鍵能力群：以認(rèn)識(shí)世界為核心的知識(shí)能力群、以解決實(shí)際問(wèn)題為核心的實(shí)踐操作能力群和涵蓋了各種關(guān)鍵思維能力的思維認(rèn)知能力群.在2023年全國(guó)數(shù)學(xué)新高考Ⅱ卷中,主要考查邏輯思維能力、運(yùn)算求解能力、空間想象能力、應(yīng)用實(shí)踐能力和創(chuàng)新能力5項(xiàng)數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力.

1.1 邏輯思維能力

A.bc>0 B.ab>0

C.b2+8ac>0 D.ac<0

評(píng)析：本題將導(dǎo)數(shù)與方程相結(jié)合,重點(diǎn)考查邏輯推理能力和化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法,本題各選項(xiàng)之間有一定關(guān)聯(lián),可以由已知條件,經(jīng)過(guò)分析與轉(zhuǎn)化,通過(guò)一個(gè)思路來(lái)判斷4個(gè)結(jié)論是否正確.對(duì)于函數(shù)極值問(wèn)題的研究,主要轉(zhuǎn)化為其導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)存在性問(wèn)題,進(jìn)而轉(zhuǎn)化為方程根的分布問(wèn)題,特別地,教學(xué)中要引導(dǎo)學(xué)生理解“函數(shù)的極值點(diǎn)——導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)——相應(yīng)方程的根——導(dǎo)函數(shù)圖象與x軸交點(diǎn)”這四者的關(guān)系及其應(yīng)用.

1.2 運(yùn)算求解能力

例2(第8題)記Sn為等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,若S4=-5,S6=21S2,則S8=( ).

A.120 B.85 C.-85 D.-120

評(píng)析：本題源自人教A版選擇性必修第二冊(cè)第37頁(yè)例9,例9是對(duì)數(shù)列Sn,S2n-Sn,S3n-S2n性質(zhì)的證明,考查等比數(shù)列的求和公式及其性質(zhì),著重考查運(yùn)算求解和邏輯思維能力.滲透了整體思想、方程思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想,同時(shí)考查邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算等素養(yǎng).

1.3 空間想象能力

例3(第9題)已知圓錐的頂點(diǎn)為P,底面圓心為O,AB為底面直徑,∠APB=120°,PA=2,點(diǎn)C在底面圓周上,且二面角P-AC-O為45°,則( ).

評(píng)析：本題以圓錐為載體,綜合考查二面角、圓錐的體積和側(cè)面積等知識(shí).通過(guò)二面角P-AC-O為45°可以確定點(diǎn)C在底面圓周上的位置,根據(jù)圓錐的母線長(zhǎng)為2可以求得圓錐的高和底面圓的半徑,為后續(xù)的判斷奠定基礎(chǔ).本題全面考查基礎(chǔ),四個(gè)選項(xiàng)設(shè)問(wèn)逐次遞進(jìn),各選項(xiàng)分別考查圓錐的不同性質(zhì),互相聯(lián)系,突出對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)和基本概念的深入理解和靈活掌握.考查學(xué)生轉(zhuǎn)化思想和空間想象能力.

1.4 應(yīng)用實(shí)踐能力

例4(第19題)某研究小組經(jīng)過(guò)研究發(fā)現(xiàn)某種疾病的患病者與未患病者的某項(xiàng)醫(yī)學(xué)指標(biāo)有明顯差異,經(jīng)過(guò)大量調(diào)查,得到如下的患病者和未患病者該指標(biāo)的頻率分布直方圖(如圖1)：

圖1

利用該指標(biāo)制定一個(gè)檢測(cè)標(biāo)準(zhǔn),需要確定臨界值c,將該指標(biāo)大于c的人判定為陽(yáng)性,小于或等于c的人判定為陰性.此檢測(cè)標(biāo)準(zhǔn)的漏診率是將患病者判定為陰性的概率,記為p(c);誤診率是將未患病者判定為陽(yáng)性的概率,記為q(c).假設(shè)數(shù)據(jù)在組內(nèi)均勻分布,以事件發(fā)生的頻率作為相應(yīng)事件發(fā)生的概率.

(1)當(dāng)漏診率p(c)=0.5%時(shí),求臨界值c和誤診率q(c);

(2)設(shè)函數(shù)f(c)=p(c)+q(c),當(dāng)c∈[95,105]時(shí),求f(c)的解析式,并求f(c)在區(qū)間[95,105]的最小值.

評(píng)析：試題以疾病的檢測(cè)為背景進(jìn)行設(shè)計(jì),既有現(xiàn)實(shí)意義,也能很好地體現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)科的應(yīng)用價(jià)值.

第(1)問(wèn)本質(zhì)上是考查百分位數(shù)的運(yùn)用,屬于新教材新增內(nèi)容,百分位數(shù)的引入,需要我們更進(jìn)一步理解頻率分別直方圖中面積的含義;第(2)問(wèn)要確定一個(gè)使得誤診率和漏診率之和盡量低的臨界值c,需要計(jì)算相應(yīng)的矩形面積之和,最終結(jié)合分段函數(shù)的單調(diào)性計(jì)算最值.本題立意新穎,突出對(duì)學(xué)生應(yīng)用實(shí)踐能力和邏輯思維能力的考查.

1.5 創(chuàng)新能力

例5(第12題)在信道內(nèi)傳輸0,1信號(hào),信號(hào)的傳輸相互獨(dú)立.發(fā)送0時(shí),收到1的概率為α(0<α<1),收到0的概率為1-α;發(fā)送1時(shí),收到0的概率為β(0<β<1),收到1的概率為1-β.考慮兩種傳輸方案：?jiǎn)未蝹鬏敽腿蝹鬏?單次傳輸是指每個(gè)信號(hào)只發(fā)送1次,三次傳輸是指每個(gè)信號(hào)重復(fù)發(fā)送3次.收到的信號(hào)需要譯碼,譯碼規(guī)則如下：?jiǎn)未蝹鬏敃r(shí),收到的信號(hào)即為譯碼;三次傳輸時(shí),收到的信號(hào)中出現(xiàn)次數(shù)多的即為譯碼(例如,若依次收到1,0,1,則譯碼為1).

A.采用單次傳輸方案,若依次發(fā)送1,0,1,則依次收到l,0,1的概率為(1-α)(1-β)2

B.采用三次傳輸方案,若發(fā)送1,則依次收到1,0,1的概率為β(1-β)2

C.采用三次傳輸方案,若發(fā)送1,則譯碼為1的概率為β(1-β)2+(1-β)3

D.當(dāng)0<α<0.5時(shí),若發(fā)送0,則采用三次傳輸方案譯碼為0的概率大于采用單次傳輸方案譯碼為0的概率

評(píng)析：本題源自人教A版選擇性必修第三冊(cè)第51頁(yè)例6,以信號(hào)傳輸為情境考查二項(xiàng)分布及其應(yīng)用.試題設(shè)計(jì)了單次傳輸和三次傳輸兩種傳輸方式,考查學(xué)生利用概率加法公式及乘法公式求概率的能力及對(duì)新概念、新知識(shí)的理解和探究能力,考查分析問(wèn)題和解決問(wèn)題能力及創(chuàng)新應(yīng)用能力.

2 突出主干知識(shí),構(gòu)建完整體系

2023年全國(guó)數(shù)學(xué)新高考Ⅱ卷試題突出對(duì)六大主干知識(shí)的考查.如考查數(shù)列的題目有第8題、第18題;考查三角函數(shù)和解三角形的題目有第7,16,17題;考查立體幾何的題目有第9,14,20題;考查概率統(tǒng)計(jì)的題目有第3,12,19題;考查解析幾何的題目有第5,10,15,21題;考查函數(shù)知識(shí)的題目有第4,6,11,22題.因此,在復(fù)習(xí)備考中要關(guān)注主干知識(shí),引領(lǐng)學(xué)生積累六大主干知識(shí)基本的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn),形成完整的知識(shí)體系.

全面考查基礎(chǔ),并不是平均用力,而是突出考查支撐中學(xué)數(shù)學(xué)的核心知識(shí).從表1可以看出,近四年全國(guó)數(shù)學(xué)新高考Ⅱ卷中都突出對(duì)六大主干知識(shí)的考查,力圖讓學(xué)生構(gòu)建完整的基礎(chǔ)知識(shí)體系,為將來(lái)發(fā)展奠定良好的基礎(chǔ).

表1 近四年新高考Ⅱ卷主干知識(shí)考查情況統(tǒng)計(jì) 單位：分

3 倡導(dǎo)通性通法,實(shí)現(xiàn)精準(zhǔn)選拔

2023年新高考Ⅱ卷試題的求解入口寬、思路多樣,體現(xiàn)通性通法,真實(shí)反映考生的基礎(chǔ)理解水平,“反刷題”“反套路”,抑制“秒殺”,不提倡一知半解所謂的“高觀點(diǎn)”.不同的理解水平在解題時(shí)間和準(zhǔn)確性上的差異可以有效區(qū)分考生.

例6(第20題)如圖2,三棱錐A-BCD中,DA=DB=DC,BD⊥CD,∠ADB=∠ADC=60°,E為BC的中點(diǎn).

圖2

(1)證明：BC⊥DA;

評(píng)析：本題以三棱錐這一常見(jiàn)的空間幾何體為載體,第(1)問(wèn)考查異面直線垂直的證明,可以利用“線面垂直?線線垂直”,關(guān)鍵是直線與平面垂直的判定及直線與平面垂直的定義的應(yīng)用,還可以用向量運(yùn)算(數(shù)量積等于零)來(lái)證明(見(jiàn)解析);第(2)問(wèn)考查二面角的計(jì)算,可以采用坐標(biāo)法、綜合法和基底法求解,不同的解題方法能夠反映學(xué)生對(duì)立體幾何問(wèn)題中通性通法的掌握情況.

4 落實(shí)“四翼”考查,助力“雙減”落實(shí)

2023年新高考Ⅱ卷緊扣中國(guó)高考評(píng)價(jià)體系對(duì)“四翼”考查的要求,試題注重考查學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)的理解和掌握,重視教考銜接.

(1)注重基礎(chǔ)性要求

試卷在選擇題、填空題中全面考查復(fù)數(shù)、集合、平面向量、三角函數(shù)、排列組合、幾何體體積等基礎(chǔ)知識(shí).在解答題中也深入考查基礎(chǔ),強(qiáng)調(diào)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)和基本思想方法的靈活運(yùn)用.

(2)彰顯綜合性要求

試題在體現(xiàn)基礎(chǔ)性的同時(shí)也重視對(duì)綜合性的考查,要求考生能運(yùn)用所學(xué)知識(shí)將復(fù)雜的問(wèn)題情境進(jìn)行分解,合理選擇解題方法加以解決,充分體現(xiàn)高考命題從知識(shí)立意、能力立意到素養(yǎng)立意的轉(zhuǎn)變.高考數(shù)學(xué)試題的綜合性一方面是數(shù)學(xué)學(xué)科內(nèi)部各個(gè)主題的綜合,另一方面是數(shù)學(xué)學(xué)科和其他學(xué)科的交匯融合.

例7(第22題)(Ⅰ)證明：當(dāng)0

(Ⅱ)已知函數(shù)f(x)=cosax-ln(1-x2),若x=0是f(x)的極大值點(diǎn),求a的取值范圍.

評(píng)析：本題第(1)問(wèn)起點(diǎn)低,只需通過(guò)作差構(gòu)造函數(shù),并借助導(dǎo)數(shù)的工具作用判斷新函數(shù)的單調(diào)性,即可求解;試題第(2)問(wèn)涉及的概念和性質(zhì)很基本,但是考查很深入,為考生解答問(wèn)題提供了廣闊的發(fā)揮空間.本題命題角度新穎,淡化考試技巧,仍考查通性通法,但是對(duì)考生的邏輯推理素養(yǎng)和分析解決問(wèn)題能力要求較高,較好地體現(xiàn)了試題的選拔功能.

(3)凸顯應(yīng)用性要求

數(shù)學(xué)源自生活、生產(chǎn)實(shí)踐,歸宿于解決實(shí)際問(wèn)題.在應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)、思想和方法解決實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程中發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)建模、數(shù)據(jù)分析、數(shù)學(xué)運(yùn)算等素養(yǎng),引導(dǎo)學(xué)生重視數(shù)學(xué)應(yīng)用,增強(qiáng)學(xué)以致用的意識(shí).

例8(第3題)某學(xué)校為了解學(xué)生參加體育運(yùn)動(dòng)的情況,用比例分配的分層隨機(jī)抽樣方法作抽樣調(diào)查,擬從初中部和高中部?jī)蓪庸渤槿?0名學(xué)生,已知該校初中部和高中部分別有400名和200名學(xué)生,則不同的抽樣結(jié)果共有( ).

評(píng)析：本題以單選題的形式考查分層隨機(jī)抽樣及排列組合的內(nèi)容,以學(xué)校了解學(xué)生參加體育運(yùn)動(dòng)的情況為命題背景,取材于學(xué)生生活中的實(shí)際問(wèn)題,考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算與數(shù)學(xué)建模素養(yǎng),通過(guò)問(wèn)題的解決引導(dǎo)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)產(chǎn)生濃厚的學(xué)習(xí)興趣,并積極應(yīng)用數(shù)學(xué)研究實(shí)際問(wèn)題.

(4)體現(xiàn)創(chuàng)新性要求

試題的靈活性和答案的開(kāi)放性,體現(xiàn)了新高考從重點(diǎn)考查知識(shí)技能到重點(diǎn)考查思維能力的轉(zhuǎn)變,表明數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)從灌輸知識(shí)、重復(fù)練習(xí)到培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維能力、數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的轉(zhuǎn)變,開(kāi)放性試題不僅考查學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)思維理解和解決問(wèn)題的能力,還考查學(xué)生的核心素養(yǎng)及創(chuàng)新能力.

評(píng)析：本題是一道開(kāi)放題,在體現(xiàn)開(kāi)放性的同時(shí)考查學(xué)生思維的有序性.在內(nèi)容方面,綜合考查直線和圓的位置關(guān)系、點(diǎn)到直線的距離公式、圓的內(nèi)接三角形性質(zhì)等,屬于在知識(shí)點(diǎn)的交匯處命題,體現(xiàn)了新高考命題的創(chuàng)新性要求.

5 教學(xué)建議

針對(duì)2023年新高考Ⅱ卷數(shù)學(xué)試題“綜合性強(qiáng),能力要求高,解題方法活”這些新特點(diǎn),在高三復(fù)習(xí)教學(xué)中,教師要堅(jiān)持把能力培養(yǎng)作為首要任務(wù),通過(guò)教學(xué)方式和方法的創(chuàng)新,改變機(jī)械刷題與套路訓(xùn)練模式,提升學(xué)生的核心素養(yǎng).

(1)夯實(shí)基礎(chǔ)知識(shí),回歸教材本質(zhì)

本套試卷注重對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)和基本能力的考查,試卷第1,2,3,4,7,13,14題皆為基礎(chǔ)題;本套試卷充分體現(xiàn)了考教結(jié)合,如第7,8,10,12,17,18,22(1)題均源自教材而高于教材.因此,在高三復(fù)習(xí)備考中我們應(yīng)注重基礎(chǔ),回歸教材,注重“依標(biāo)靠本”,切忌盲目、隨意擴(kuò)展知識(shí)內(nèi)容.當(dāng)然,立足教材并不是對(duì)教材內(nèi)容的簡(jiǎn)單重復(fù),而是對(duì)教材內(nèi)容進(jìn)行二次重構(gòu),特別是對(duì)教材中的一些典型問(wèn)題,圍繞主干知識(shí),深入挖掘教材例題、習(xí)題的價(jià)值,通過(guò)一題多解、一題多變、多題一解等高階思維活動(dòng),剖析問(wèn)題的數(shù)學(xué)本質(zhì),幫助學(xué)生夯實(shí)基礎(chǔ),提升解決問(wèn)題的能力.

(2)關(guān)注知識(shí)生成,強(qiáng)調(diào)融會(huì)貫通

在復(fù)習(xí)備考中要引導(dǎo)學(xué)生明確知識(shí)的發(fā)生、發(fā)展過(guò)程,揭示知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系,幫助學(xué)生構(gòu)建完整的知識(shí)體系,關(guān)注不同知識(shí)之間的聯(lián)系,引導(dǎo)學(xué)生整合各個(gè)知識(shí)點(diǎn),形成完整的學(xué)科知識(shí)框架和思想方法體系,促進(jìn)知識(shí)間的融會(huì)貫通.

(3)注重思想滲透,促進(jìn)素養(yǎng)達(dá)成

數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)學(xué)科的精髓,是數(shù)學(xué)素養(yǎng)的重要內(nèi)容之一.本套試卷注重對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的考查.比如,第5,9,16,19,20題都體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想方法在解決問(wèn)題中的優(yōu)越性;第11,21,22題體現(xiàn)了化歸與轉(zhuǎn)化的思想方法;第8,18,22題體現(xiàn)了分類討論的思想方法.因此,在復(fù)習(xí)備考中,要注意數(shù)學(xué)思想方法的滲透,充分挖掘由數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)所體現(xiàn)出來(lái)的數(shù)學(xué)思想方法,平?？梢詫ｉT設(shè)置習(xí)題訓(xùn)練,引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)實(shí)際題目?jī)?nèi)容選擇不同的數(shù)學(xué)思想方法,使其靈活使用數(shù)形結(jié)合、分類討論、函數(shù)與方程、特殊與一般、轉(zhuǎn)化、正難則反等多種數(shù)學(xué)思想方法,幫助他們積累更多的解題經(jīng)驗(yàn),提升數(shù)學(xué)解題能力和數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

(4)重視思維培養(yǎng),提升關(guān)鍵能力

學(xué)生在面對(duì)綜合性較強(qiáng)的問(wèn)題與新穎、較為復(fù)雜的情境時(shí),需要具有一定的探究能力與創(chuàng)新精神,以及較好的數(shù)學(xué)素養(yǎng)和優(yōu)秀的思維品質(zhì).在復(fù)習(xí)課中,要擯棄傳統(tǒng)的“教師滿堂灌—學(xué)生記筆記—課后題海戰(zhàn)術(shù)”的復(fù)習(xí)模式,在課堂上采用回歸教材例習(xí)題、引導(dǎo)學(xué)生自主編題、學(xué)生說(shuō)題、繪制思維導(dǎo)圖等方式提升課堂效率,促進(jìn)學(xué)生將知識(shí)和方法內(nèi)化為自身的知識(shí)結(jié)構(gòu),鞏固所學(xué)知識(shí),強(qiáng)化數(shù)學(xué)思維,為綜合能力的提升奠定基礎(chǔ).