研讀高考試卷的三個層次

? 廣東省珠海市第二中學 江民杰

一份高考試卷,就像一輪月亮.

1 層次一：初讀如漫步中散心觀月

初讀高考試卷,就如漫步中散心觀月.研讀試卷,首先關(guān)注的是題型、分值,壓軸題所涉及的內(nèi)容,難度大不大?題目如何求解?一份試卷讀完,也只是似曾相識,這就是初讀.

初讀,就是讀取題目的外部,獲取相關(guān)信息,形成初步認識.

1.1 讀點

讀點就是研讀出試卷所涉及的知識(核心知識點)、技能及通性通法,感悟所涉及的“通性通法的數(shù)學原理和其中蘊含的數(shù)學思想”.

1.2 讀線

高中數(shù)學課程內(nèi)容突出函數(shù)、幾何與代數(shù)、概率與統(tǒng)計、數(shù)學建模活動與數(shù)學探究活動四條主線,它們貫穿必修、選擇性必修和選修課程.研讀高考數(shù)學試卷,應(yīng)該圍繞這四條主線,讀出新課程背景下考試評價是如何圍繞這四條主線展開的.

對于第(1)問,有兩種思路.

思路1：利用三角形內(nèi)角關(guān)系處理(利用倍角公式、半角公式、和差角公式、三角形內(nèi)角和定理即可得出角B,過程略).

思路2：結(jié)合同構(gòu),利用函數(shù)單調(diào)性處理.

解法如下：

對于第(2)問,也有兩種思路.

思路1：利用正(余)弦定理、倍角公式、基本不等式即可得出結(jié)論(過程略).

思路2：構(gòu)造圖形,利用余弦定理、基本不等式即可得出結(jié)論.

圖1

在△BMC中,由余弦定理,得

經(jīng)過研讀,發(fā)現(xiàn)本題涉及的知識點有倍角公式、半角公式、和差角公式、三角形內(nèi)角和定理、余弦定理、正弦定理、基本不等式、函數(shù)單調(diào)性等;涉及教材四條主線中的三條主線,如：函數(shù)、幾何與代數(shù)、數(shù)學建模.

初讀試卷,就是要圍繞四條主線,理解相關(guān)概念、命題、定理之間的邏輯關(guān)系,提煉出解決一類問題的數(shù)學方法,領(lǐng)悟其中的數(shù)學思想,初步建立網(wǎng)狀的知識結(jié)構(gòu);能夠用圖形探索解決問題的思路,形成數(shù)形結(jié)合思想.

2 層次二：再讀如庭院中駐心賞月

再讀高考試卷,如站在庭院中,抬頭仰望,明月當空,一覽無余,駐心賞月.隨著研讀的深入,對試卷的理解才能愈發(fā)深刻,進入第二層次,這就是再讀.

再讀,就是對讀取的信息進行深加工.如,考什么(試題的布局、內(nèi)容、結(jié)構(gòu))?怎么考(主干知識重點考)?試題命制的風格及走向?

2.1 讀面

四條主線,線線相交,或點線(知識點與主線)布排,形成試題的布局、結(jié)構(gòu),這就是面.數(shù)學高考卷加強對主干內(nèi)容的考查,強調(diào)學科知識的系統(tǒng)性,為此,需要讀面,強化對試卷的整體認識.

讀面,就是研讀出試卷所考查的主干知識,各知識模塊所占分值比例,各知識點的組合方式,考查方式,等等.近年來數(shù)學試卷在選擇題、填空題、解答題等不同題型中都加強了對主干知識的考查,意在增強學生對主干知識深層次的認識和理解,引導(dǎo)學生更好地感悟數(shù)學本質(zhì).

2.2 讀體

讀體,就是讀出層次.高考試卷有較好的區(qū)分度,同一份試卷,同一道試題,能夠分層考查不同的學生.對同一道試題,我們要讀出不同的解法,讀出思維層次的高低.

思路1：直接利用等差數(shù)列通項公式、求和公式,通過解方程求解,但運算量大.該方法屬于第一層次.

思路2充分挖掘條件,抓住等差數(shù)列通項公式的特征求解,運算量減小,該方法層次較高.

2.3 讀脈

“脈”是指試題命制的走向.研讀高考試題,要研究命題走向,關(guān)注近年來一類問題的命題方向,即從歷年試題到新近試題的近遷移,再到大概念的遠遷移.

對于同構(gòu)問題,近年來,高考題中主要有三種類型的同構(gòu)題型.

題型1：結(jié)構(gòu)相同(近)要同構(gòu).如2020年全國卷Ⅰ理科第12題.

題型2：“指對”跨界尋同構(gòu).如2022年新高考Ⅰ卷第22題第二問.

題型3：從無到有湊結(jié)構(gòu).

有些題目涉及的式子并不像以上提到的和(差)型或者積(商)型一樣明顯,而是將原先左右同構(gòu)的格式隱藏了起來,此類題型大大提升了解題難度,但通過對比發(fā)現(xiàn),可以適當配湊,實現(xiàn)原先的同構(gòu)格式.

例3(2020新高考Ⅰ卷第22題第二問)已知函數(shù)f(x)=aex-1-lnx+lna,若f(x)≥1,求a的取值范圍.

分析：f(x)=aex-1-lnx+lna=eln a+x-1-lnx+lna≥1等價于eln a+x-1+lna+x-1≥lnx+x=eln x+lnx.令g(x)=ex+x,則上述不等式等價于g(lna+x-1)≥g(lnx).又g(x)為增函數(shù),所以lna+x-1≥lnx,即lna≥lnx-x+1.令h(x)=lnx-x+1,易求得h(x)max=h(1)=0,所以lna≥0,即a≥1.故a的取值范圍是[1,+∞).

同構(gòu)的本質(zhì)就是函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用.近年來,同構(gòu)的內(nèi)容涉及面廣,如式的運算、大小比較、函數(shù)零點、不等式(等式)的證明、求參數(shù)的取值范圍等,而且題目的綜合性逐步增強(2020年的大小比較到2022年的函數(shù)零點),同構(gòu)的技術(shù)含量也在增多,要求學生具有較強的觀察、運算和分析能力.同構(gòu)思想突破常規(guī)思路,為解題帶來了新的思路、新的方法、新的視野.

3 層次三：三讀如水面上凈心玩月

三讀高考試卷,我們對試題的認識(題目的解法、題目的源頭)逐步通透,認識通透了,指導(dǎo)學生時方可得心應(yīng)手,如天上一個月亮,水中一個月亮,我們可以出神入化地玩月.三讀,就是要讀出命題人設(shè)置試題的意圖與解題人對試題認識上的差異,只有找到差異,反思自己,才能找出方向,明確目標,這就是三讀.

三讀,就是要讀出試題的情境(題目怎么處理),讀出試題命制時的思維軌跡及背景(題目怎么來);三讀,就是對題目的處理做到出神入化,能解題知背景.

3.1 讀情境

情境主要是指現(xiàn)實情境、數(shù)學情境、科學情境.

研讀數(shù)學試題,要能在問題情境中,把握研究對象的數(shù)學特征,抓住其數(shù)學本質(zhì),形成解決問題的思路,其關(guān)鍵在于閱讀.

讀懂試題情境必須突破題意閱讀關(guān),捕捉題中的關(guān)鍵信息;對信息加工,得到數(shù)據(jù)所提供的知識和規(guī)律,運用數(shù)學語言,清晰、準確地表達數(shù)學論證和數(shù)學建模的過程和結(jié)果;通過數(shù)學建模的結(jié)論和思想闡釋科學規(guī)律和社會現(xiàn)象;能夠合理地運用數(shù)學語言和思維進行跨學科的表達與交流,這是高考數(shù)學命題的一個重要著力點.

圖2

解讀情景：直三棱柱ABC-A1B1C1中,由題目所給條件分析出AB=BC=AA1=2,進一步得到該直三棱柱就是由正方體分解而來,因此可在正方體的情境下處理問題.其過程如下：

圖3

分析各條件間的關(guān)聯(lián),將直三棱柱ABC-A1B1C1置于正方體中,其過程就是數(shù)學建模,在正方體的情境下處理,解題過程變得簡單.

能在復(fù)雜情境中,理出問題產(chǎn)生的數(shù)學情境,進而優(yōu)化解題過程,這應(yīng)該是我們?nèi)x試題的追求之一.

3.2 讀背景

背景是指命制試題時產(chǎn)生問題的大背景及命題人的思維軌跡.研讀高考試題,面對學生,我們不僅僅是指導(dǎo)學生解題,還要追尋數(shù)學試題的命題背景及思維軌跡,挖掘試題所潛藏的教育資源,引領(lǐng)學生高觀點認識試題,認清數(shù)學試題的大背景,掌握研究方法,學會在大背景下思考問題,拓展思維.

(1)求C的方程;

背景初析：設(shè)圓錐曲線C：Ax2+By2+Dx+Ey+F=0,過點P(x0,y0)的直線l,m的傾斜角分別為α,β,其斜率分別為k1,k2,直線l,m分別與圓錐曲線C交于A,B與C,D,則

證明：略.

四點共圓背景再析：根據(jù)上述結(jié)論的推導(dǎo)過程,結(jié)合平面幾何知識,可發(fā)現(xiàn)圓錐曲線以下性質(zhì).

性質(zhì)1：設(shè)直線AB,CD的斜率存在且不等于0,若AB,CD是圓錐曲線的兩條相交弦,交點為P,則

(1)兩弦AB,CD的傾斜角互補的充要條件是A,B,C,D四點共圓;

(2)兩弦AB,CD的傾斜角互補的充要條件是|PA|·|PB|=|PC|·|PD|.

性質(zhì)2：設(shè)直線AB,CD,AD,BC的斜率存在且不等于0,若AB,CD是圓錐曲線的兩條相交弦,且AB,CD的傾斜角互補,則AD,BC的傾斜角也互補.

性質(zhì)3：設(shè)A,B,C是圓錐曲線上的三點,且直線BC的斜率存在,若AB,AC的斜率互為相反數(shù)(傾斜角互補),則直線BC的斜率與曲線在點A處的切線斜率互為相反數(shù).

以此背景的試題,如2022年新高考Ⅰ卷第21題.

讀試題背景,更多的是讀出知識背景(高等數(shù)學背景)或命制背景,僅用于明確問題處理方向,而問題的處理只能在中學數(shù)學的范圍內(nèi)解決.作為數(shù)學教師,對試題背景應(yīng)該有深刻的認識,認清數(shù)學試題的大背景,教會學生在大背景下思考問題.

三讀高考試題,就是從課標的理念、思想、要求來研讀,并在此基礎(chǔ)上把握教學,這種處理,就是站在與高考命題專家思想相通的平臺上,這樣教育教學將變得更有效、更得力、更自如.我們從觀月到賞月,再到玩月,隨著研讀的深入,對試題的認識逐漸出神入化,這既需要較強的專業(yè)知識,更需要對教育的情懷!