基于“理解”的“余弦定理”課堂教學(xué)實(shí)踐

? 江蘇省姜堰第二中學(xué) 陸婧婧

在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中,若想靈活應(yīng)用數(shù)學(xué)知識解決問題,首先就要理解它,只有理解了才能更深刻地感覺它、應(yīng)用它.不過,受唯分論的影響,部分教師為了追求“速度”,常常以灌輸?shù)姆绞浇虒W(xué),學(xué)生因?yàn)闆]有經(jīng)歷獨(dú)立思考和自主探究的過程而未能理解知識的本質(zhì)和內(nèi)涵,這樣靈活應(yīng)用自然無從談起.在日常教學(xué)中,教師要重視引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷知識的探索過程,充分激發(fā)學(xué)生的主體性和積極性,從而讓學(xué)生獲得真正的理解,提高學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)水平.

1 挖掘“理解”的數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)涵

在數(shù)學(xué)教學(xué)中,教師要重視引導(dǎo)學(xué)生挖掘知識的本源,揭示問題的本質(zhì),提煉蘊(yùn)含其中的數(shù)學(xué)思想方法,從而讓學(xué)生真正地理解知識.基于此,教師要打破“講授式”教學(xué)模式的束縛,提供時(shí)間和機(jī)會讓學(xué)生自主探究,并通過課堂教學(xué)激活學(xué)生的數(shù)學(xué)思維,讓學(xué)生用數(shù)學(xué)的思維去思考,用數(shù)學(xué)的語言去表達(dá),從而讓學(xué)生對知識的認(rèn)識理解逐漸走向深入,最終形成數(shù)學(xué)知識.

在日常教學(xué)中,若想讓學(xué)生對知識達(dá)到理解的程度,教師要以客觀材料為媒介,讓學(xué)生將新知與舊知有效地聯(lián)系起來,引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷探究新知的全過程,讓學(xué)生充分體會知識的實(shí)用性、必要性,促進(jìn)學(xué)生知識體系的建構(gòu)和完善.在此過程中,教師不僅要教授知識,更要傳遞、滲透蘊(yùn)含其中的思想方法和經(jīng)驗(yàn),幫助學(xué)生理解問題的本質(zhì)和內(nèi)涵,提高學(xué)生靈活運(yùn)用知識解決問題的能力,提升學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng).

2 滲透“理解”的課堂教學(xué)實(shí)踐

在“余弦定理”教學(xué)中,教師以學(xué)生已有知識和經(jīng)驗(yàn)為出發(fā)點(diǎn),基于學(xué)生基本學(xué)情創(chuàng)設(shè)符合學(xué)生認(rèn)知水平的探究活動,讓學(xué)生主動參與到新知識的教學(xué)實(shí)踐中,讓學(xué)生通過經(jīng)歷思考、探索、感悟等活動,真正地理解知識,提高數(shù)學(xué)能力和素養(yǎng).教學(xué)設(shè)計(jì)如下：

2.1 情境引入,感悟新知

情境問題：小明周末從家出發(fā)購買學(xué)習(xí)用品和水果,他先是直線行駛300 m到文具店購買學(xué)習(xí)用品,然后直線行駛400 m去水果店購買水果.如圖1,點(diǎn)A代表小明家,點(diǎn)C代表文具店,點(diǎn)B代表水果店,若CA與CB的夾角是60°,小明買好水果后直接直線行駛回家,你知道小明需要行駛多遠(yuǎn)的距離嗎?

圖1

問題給出后,教師啟發(fā)學(xué)生將這一生活中常見的問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題：在△ABC中,已知AC=300,BC=400,∠C=60°,求AB的長.

設(shè)計(jì)意圖：以學(xué)生熟悉的現(xiàn)實(shí)生活情境為背景,讓學(xué)生感知數(shù)學(xué)在現(xiàn)實(shí)生活中的應(yīng)用,激發(fā)學(xué)生探究欲,提高學(xué)生解決問題的能力.在此過程中,教師鼓勵學(xué)生將問題向數(shù)學(xué)化轉(zhuǎn)化,讓學(xué)生深刻感受數(shù)學(xué)知識的簡潔性、便捷性和必要性,為接下來的新知學(xué)習(xí)打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ).

2.2 探究新知,促進(jìn)理解

為了更加清晰地展示小明直線行駛的路徑,教師啟發(fā)學(xué)生利用箭頭表示,學(xué)生給出圖2所示的圖形.

圖2

師：觀察圖2,你想到了什么?(學(xué)生一時(shí)不知從何說起.)

師：如果從平面向量的角度來看,你能將以上情境轉(zhuǎn)化為一道數(shù)學(xué)題嗎?

師：非常好!根據(jù)圖2的路徑圖,結(jié)合向量加法的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn),你能得到怎樣的等式?

師：哪個(gè)小組說一說,你們是如何求解的?

圖3

(問題給出后,學(xué)生開始新一輪的探究.)

生5：結(jié)合以上探究過程,易得b2-2abcosα+a2=c2,即c2=b2-2abcosα+a2.

師：很好,結(jié)合“c2=b2-2abcosα+a2”這一關(guān)系式,我們可以研究什么問題?

生6：已知三角形兩條邊的長度分別為a和b,且兩條邊的夾角為α,則第三邊的長度c可求.

師：很好,這就是我們今天所要學(xué)習(xí)的余弦定理.在△ABC中,若∠A,∠B,∠C所對應(yīng)的邊為a,b,c,你能得到怎樣的數(shù)量關(guān)系?

生7：c2=a2+b2-2abcosC,a2=b2+c2-2bccosA,b2=a2+c2-2accosB.

師：非常棒,有了公式的幫忙,我們就能輕松地計(jì)算出小明從水果店到家的距離.

設(shè)計(jì)意圖：在探究過程中,教師繼續(xù)引導(dǎo)學(xué)生對問題進(jìn)行抽象,并鼓勵學(xué)生用向量的知識解決問題,以此借助已有經(jīng)驗(yàn)有效溝通新知與舊知的聯(lián)系,喚醒學(xué)生的原認(rèn)知,讓學(xué)生充分感知數(shù)學(xué)知識之間的內(nèi)在聯(lián)系,以便將新知納入到原有的向量相關(guān)的知識體系中,促進(jìn)個(gè)體知識體系的建構(gòu)與完善.教師將主動權(quán)交給學(xué)生,通過有效問題的引領(lǐng)讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)化的過程,并通過由特殊到一般的轉(zhuǎn)化,形成新知識.這樣讓學(xué)生親歷探索新知、抽象新知等過程,有利于促成學(xué)生對新知的深度理解,切實(shí)提高教學(xué)有效性.

2.3 鞏固練習(xí),加深理解

例1在△ABC中,已知a=5,b=4,∠C=120°,求c.

例3如圖4,已知直線AB和CD相交于點(diǎn)O,且∠COA=80°.甲、乙兩人同時(shí)從點(diǎn)O出發(fā),分別沿OA,OC方向行駛,其步行速度分別為4 km/h和4.5 km/h,問3小時(shí)后,兩人相距多遠(yuǎn)?(精確到0.1 km.)

圖4

例3是一個(gè)以現(xiàn)實(shí)生活為背景的應(yīng)用題,不妨設(shè)3小時(shí)后,甲到達(dá)點(diǎn)P,乙到達(dá)點(diǎn)Q,則問題可以轉(zhuǎn)化為：在△OPQ中,已知OP=12 km,OQ=13.5 km,∠POQ=80°,求QP的長.

設(shè)計(jì)意圖：通過基礎(chǔ)練習(xí),學(xué)生能從不同角度理解余弦定理.對于例1,已知三角形的兩邊和它們的夾角,可以求第三邊;對于例2,已知三角形的三條邊,可以求出角;對于例3,通過經(jīng)歷生活情境數(shù)學(xué)化的過程,進(jìn)一步感知余弦定理的應(yīng)用價(jià)值,真正實(shí)現(xiàn)為用而學(xué),在學(xué)中用,學(xué)而能用.

2.4 課堂小結(jié),升華認(rèn)知

師：通過以上研究過程,你學(xué)到了哪些知識、方法?談?wù)勀愕男牡皿w會.

此環(huán)節(jié)先由學(xué)生歸納總結(jié),然后師生共同完善.

設(shè)計(jì)意圖：教師提供時(shí)間讓學(xué)生思考“為什么學(xué)、學(xué)什么、怎么學(xué)”等問題,讓學(xué)生腦海中形成清晰的知識脈絡(luò),達(dá)成真正的理解.

3 結(jié)束語

在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中,教師作為課堂教學(xué)的組織者、引導(dǎo)者、啟發(fā)者、點(diǎn)撥者,切勿將知識直接灌輸給學(xué)生,應(yīng)該創(chuàng)造機(jī)會讓學(xué)生主動參與到新知識的學(xué)習(xí)實(shí)踐中,引導(dǎo)學(xué)生深刻體會學(xué)習(xí)新知識的重要性與便捷性,激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的主動性和積極性,感悟“學(xué)以致用”的教學(xué)真諦.在學(xué)習(xí)新知識的過程中,要引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注新知識與舊知識之間的內(nèi)在聯(lián)系,引導(dǎo)學(xué)生用舊知識去探索新知識,從而讓新知識的學(xué)習(xí)更加自然、順暢,更易于學(xué)生理解和接受,逐步提高學(xué)生自主探究能力,提升學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng).

總之,在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中,教師要不斷提升自身的教學(xué)素質(zhì),認(rèn)真地研究教學(xué)內(nèi)容、研究學(xué)生,基于學(xué)生最近發(fā)現(xiàn)區(qū)創(chuàng)設(shè)有效的問題,提供機(jī)會讓學(xué)生主動探索新知,充分發(fā)揮課堂教學(xué)的育人功能,讓學(xué)生理解知識的本質(zhì)與內(nèi)涵,促進(jìn)深度學(xué)習(xí)教學(xué)目標(biāo)的落實(shí).