基于擾動(dòng)觀測(cè)器的終端滑模混沌系統(tǒng)控制

張曉雪，王 成，翟宇凡

（淮南師范學(xué)院 金融與數(shù)學(xué)學(xué)院，安徽 淮南 232038）

自從L.M.Pecora 等［1］開創(chuàng)了包括混沌系統(tǒng)同步在內(nèi)的非線性動(dòng)力學(xué)研究領(lǐng)域以來，有關(guān)混沌控制與同步的研究受到了廣泛的關(guān)注。混沌涉及的領(lǐng)域包括物理、化學(xué)、生物、醫(yī)學(xué)、社會(huì)經(jīng)濟(jì)、信息處理和安全通信［2-3］等。包括反饋線性化、PID 控制、反推控制和終端滑膜控制在內(nèi)的混沌控制技術(shù)已經(jīng)用于解決混沌同步問題。最近，一些學(xué)者利用有限時(shí)間控制方法研究了混沌系統(tǒng)的控制問題，取得了許多有價(jià)值的成果，例如：S.P.Bhat 等［4］首次提出了非線性系統(tǒng)的有限時(shí)間控制方法，并用此方法處理了由終端滑模控制器引起的自適應(yīng)律抖振問題；SUI S 等［5］運(yùn)用有限時(shí)間控制方法研究了一類非嚴(yán)格反饋系統(tǒng)的穩(wěn)定性問題。在此基礎(chǔ)上，我們?yōu)橐活惒淮_定二階混沌系統(tǒng)設(shè)計(jì)了一種基于擾動(dòng)觀測(cè)器的終端滑模控制方法，利用擾動(dòng)觀測(cè)器觀測(cè)外部擾動(dòng)，通過數(shù)值仿真證明擾動(dòng)估計(jì)誤差在有限時(shí)間內(nèi)能收斂到零，以此說明控制方法的有效性。

1 系統(tǒng)描述

考慮如下一類二階混沌系統(tǒng)

其中，x(t)=[x1(t),x2(t)]T∈R2為系統(tǒng)狀態(tài)，f(t,x(t))∈R為系統(tǒng)未知函數(shù)，d(t)∈R為未知在擾動(dòng)，g(x(t))∈R為已知控制系統(tǒng)增益函數(shù)，u(t)∈R為控制輸出。

需要說明的是常見的二階Duffing 系統(tǒng)、二階水平平臺(tái)系統(tǒng)和二階電力系統(tǒng)等都可歸結(jié)為系統(tǒng)（1）。由于上述系統(tǒng)在給定某些參數(shù)條件下會(huì)出現(xiàn)有害的混沌現(xiàn)象，故研究系統(tǒng)（1）的穩(wěn)定性控制具有重要的現(xiàn)實(shí)意義。

為了使設(shè)計(jì)的擾動(dòng)觀測(cè)器能夠精確估計(jì)系統(tǒng)（1）中的未知項(xiàng)組成的混合擾動(dòng)，使系統(tǒng)（1）的狀態(tài)x1(t)能夠在有限時(shí)間跟蹤參考信號(hào)x d(t)，做如下假設(shè)。

假設(shè)1：系統(tǒng)狀態(tài)x(t)、參考信號(hào)xd(t)以及其導(dǎo)數(shù)和是可測(cè)函數(shù)。

假設(shè)2：函數(shù)f(t,x(t))和外在擾動(dòng)d(t)是有界函數(shù)。

g(x(t))雖然是已知函數(shù)，但在某些時(shí)間點(diǎn)可能會(huì)出現(xiàn)奇異。為了消除奇異的影響，引入輔助控制器u1(t),且u1(t)滿足

其中τ為小的正常數(shù)。

將式（2）代入式（1）中，系統(tǒng)（1）可改寫為

由假設(shè)2 和控制器的有界性可知，存在β>0,使得|D(t)|<β。

2 用到的引理

為了得到本文的結(jié)論，先給出兩個(gè)引理。

引理1：設(shè)V(t)為連續(xù)正定函數(shù)，若對(duì)于任意的t>t0,V(t)的導(dǎo)數(shù)滿足

則V(t)在有限時(shí)間ts內(nèi)到達(dá)原點(diǎn)，滿足

其中，q1和p1為正奇數(shù)，且有q1

引理2：若0<γ≤1,a1,a2,…,an≥0,則有

3 控制系統(tǒng)

設(shè)計(jì)擾動(dòng)觀測(cè)器為

其中，k1和k2為正的設(shè)計(jì)參數(shù)，c1和c2為正奇數(shù)，且c1

其中w(t)的導(dǎo)數(shù)為

由式（3）、式（7）、式（8）和式（9）可得

假設(shè)跟蹤誤差為

設(shè)計(jì)終端滑模流形為

其中，k3和k4為正的設(shè)計(jì)參數(shù)，c1和c2與（7）式中的相同。顯然，由式（10）和式（11）可求s(t)的導(dǎo)數(shù)

基于上述內(nèi)容，可設(shè)計(jì)控制法則

其中k5和k6為正的設(shè)計(jì)參數(shù)。

4 主要結(jié)論

定理1：若擾動(dòng)觀測(cè)器和控制法則分別為式（7）和式（13），則跟蹤誤差在有限時(shí)間能到達(dá)原點(diǎn)，且能通過擾動(dòng)觀測(cè)器精確估計(jì)混合擾動(dòng)。

證明：假設(shè)Lyapunov 函數(shù)為

由假設(shè)1、假設(shè)2 和引理2 可知

5 數(shù)值仿真

現(xiàn)在利用Duffing 振蕩模型驗(yàn)證所本文給出方法的有效性。Duffing 振蕩模型為

為了證明滑模控制的有效性，分別取控制策略式（7）、式（8）、式（9）和式（13）中的參數(shù)為c1=3,c2=5,k1=3,k2=1,β=20,t=0.2,k3=2,k4=3,k5=2,k6=1,取系統(tǒng)初值[x1(0),x2(0)]T=[1,0.2 ]T,在觀測(cè)器中，取w(0)=0,利用Matlab 進(jìn)行數(shù)值仿真，可得如圖1、圖2 和圖3 所示的結(jié)果。

圖1 跟蹤誤差e1（t）隨時(shí)間的變化情況

圖2 混合擾動(dòng)的精確估計(jì)結(jié)果

圖3 控制輸入隨時(shí)間的變化情況

分別從圖1、圖2 和圖3 可以看出，跟蹤誤差e1(t)在有限時(shí)間到達(dá)原點(diǎn)，混合擾動(dòng)能夠被精確有效估計(jì)，整個(gè)控制輸入在初始階段出現(xiàn)抖動(dòng)但很快趨于穩(wěn)定，這說明本文給出的控制方法是有效的。

6 結(jié)束語(yǔ)

在本文中，我們研究了二階非線性混沌系統(tǒng)的跟蹤同步問題，并得到以下結(jié)論：終端滑模面保證了跟蹤誤差 在有限時(shí)間內(nèi)到達(dá)原點(diǎn)，利用所設(shè)計(jì)的擾動(dòng)觀測(cè)器能夠精確有效地估計(jì)混合擾動(dòng)，通過數(shù)值仿真證明了方法的可行性。