數(shù)的發(fā)展歷程

數(shù)是人類日常生活中不可缺少的內(nèi)容，從遠古時期以繩打結、以石刻痕的計數(shù)方式到近現(xiàn)代四元數(shù)的產(chǎn)生，經(jīng)歷了漫長而復雜的歷史進程，實數(shù)是最為重要和常見的數(shù)域之一，可以說實數(shù)的起源和發(fā)展已經(jīng)成為人類文明的一個重要組成部分．

一、數(shù)的第一次擴充

整數(shù)和分數(shù)統(tǒng)稱有理數(shù)．有理數(shù)的產(chǎn)生是數(shù)學史上數(shù)的第一次擴充，

縱觀數(shù)的發(fā)展史可知，人們在認識了自然數(shù)后義認識了正分數(shù)，所謂分數(shù)就是把兩個自然數(shù)相除所得之商當作一個數(shù)（0不能為除數(shù)）．分數(shù)的產(chǎn)生是現(xiàn)實生活的需要，正整數(shù)不能表示一些事物整體與部分之問的關系時（比如七個人分三只獵物，每人分多少），分數(shù)便產(chǎn)生了．中國古代《周髀算經(jīng)》中已有了分數(shù)運算，而后的中國占代數(shù)學名著《九章算術》“方田”章給出了完整的分數(shù)運算法則以及求最大公約數(shù)的方法．

隨著社會的發(fā)展，人們引進r負數(shù)的概念，其具體年代已無從考證，但負數(shù)產(chǎn)生的直接原因卻是為了滿足解方程的需要．中國人最早提出了負數(shù)的概念，并對它有深刻的認識，負數(shù)大大促進了數(shù)學學科的進一步發(fā)展，

中國的《九章算術》一書記載了“正負開方術”，魏晉時期的中國古代大數(shù)學家劉徽（如圖1）對負數(shù)的出現(xiàn)做了很自然的解釋：“今兩算得失相反，要令正負以名之，”

同時，中國也是最早認識零的國家．劉徽在《九章算術》注中，已明確以“零”為數(shù)，在算籌中用空位表示“零”．沒有零就沒有原點，沒有原點也就沒有了坐標系，解析幾何的大廈就會分崩離析．數(shù)的重要性不言而喻，

二、第一次數(shù)學危機

從某種意義上來講，現(xiàn)代數(shù)學，也就是作為演繹系統(tǒng)的純粹數(shù)學，來源于古希臘畢達哥拉斯（如圖2）學派．該學派是一個唯心主義學派，興旺的時期為公元前500年左右，該學派認為“萬物皆數(shù)”，一切量都可以用整數(shù)或整數(shù)的比（分數(shù)）表示．

后來，當這一學派中的希帕索斯發(fā)現(xiàn)邊長為l的正方形的對角線的長度不能用整數(shù)或整數(shù)的比表示（2不是有理數(shù)）時，畢達哥拉斯學派感到驚恐不安，由此，引發(fā)了第一次數(shù)學危機，首先，對于全部依靠整數(shù)的畢氏哲學，這是一次致命的打擊．其次，在幾何上的對應情況同樣也是令人驚訝的，因為存在不可通約的線段，由于畢達哥拉斯學派關于比例定義假定了任何兩個同類量是可通約的，所以畢達哥拉斯學派比例理論中的所有命題都局限在可通約的量上，顯然，這對于他們的關于相似形的一般理論也是致命打擊，

在實數(shù)理論中，無理數(shù)的引入是數(shù)學史上數(shù)的第二次擴充，它的引入解除了第一次數(shù)學危機，使無理數(shù)登了二數(shù)學的舞臺，這充分說明了科學是批判的、創(chuàng)造的、嚴謹?shù)暮颓髮嵉模谝淮螖?shù)學危機表明，古希臘的數(shù)學已由經(jīng)驗科學變?yōu)檠堇[科學．

三、中國古代對無理數(shù)的研究

中國傳統(tǒng)數(shù)學中的無理數(shù)產(chǎn)生于開方開不盡和圓周率的計算．不過，中國古代算術與古希臘數(shù)學有著不同的傳統(tǒng)．古希臘人總是將數(shù)與形截然分開，對涉及無限的問題總是持有恐懼的態(tài)度．中國算學中，數(shù)與形是有機統(tǒng)一的，中國人對于無限的問題總是泰然處之，能夠正視無理數(shù)，