利用勾股定理求代數式的最值

在中學階段，數形結合思想的應用十分廣泛，它作為一種重要的數學思想方法，能很好地把各部分內容聯系起來，并貫穿于中學數學的整體思路中。數形結合涉及兩方面的問題，一方面是將圖形性質轉化成數量關系問題，另一方面是將數量關系問題轉化成圖形性質問題。

因此，在求最值問題時，采用數形結合思想的方法，由形想數，由數想形，把代數式的精確刻劃與幾何圖形的直觀描述有機地結合起來，有利于開闊的解題思路，發展其形象思維能力.培養邏輯思維，提高解題能力，達到優化解題途徑的目的。

題型 利用數形結合思想求最值

例：如圖所示，點C為線段BD上一動點，分別過點B、點D作AB⊥BD，ED⊥BD，連接AC、EC，已知AB=5，DE=1，BD=8.設CD=x.

（1）用含x的代數式 表示AC+CE的值；

（2）求AC+CE的最小值。

【分析】（1）由于△ABC和△CDE都是直角三角形，故AC，CE可由勾股定理求得；

（2）若點C不在AE的連線上，根據三角形中任意兩邊之和＞第三邊知，AC+CE＞AE，故當A、C、E三點共線時，AC+CE的值最小；

由條件得BD=8，過點A作AF⊥DE交于點F，則AB=5，EF=6，連接AE交BD于點C，則AE的長即為AE=[62+82]=10。所以AC+CE的值最小值=10。

解：（1）在Rt△ABC和Rt△CDE中，AC=[（8-x）2+52]，CE=[x2+1]，所以AC+CE=[（8-x）2+52]+[x2+1]。

（2）在Rt△AEF中，AE=[62+82]=10，由兩點之間線段最短，得AC+CE的最小值為AE的長，

所以AC+CE的最小值為10。

【變式】：試求y=[x2+4+（12-x）2+9]的最小值。

分析：構造一個幾何模型去求代數式的最小值。

[C][D][E][B][A] [F][變式答圖]

解：作BD=12，過點B作AB⊥BD，過點D作ED⊥BD，使AB=2，ED=3，連接AE交BD于點C，則AE的長即為代數式[x2+4+（12-x）2+9]的最小值，然后構造矩形AFDB，Rt△AFE，利用矩形的直角三角形的性質可求得AE的值。

過點A作AF⊥DE交于點F，則AB=3，EF=5，連接AE交BD于點C，則AE的長即為AE=[52+122]=13。所以AC+CE的值最小值為13，所以[x2+4+（12-x）2+9]的最小值為13。

所以，利用勾股定理解決最短路徑問題的思路要抓住以下幾點：展——（立體→平面）；找——起點，終點；連——路線；算——利用勾股定理；答。

即：化曲為直，化折為直，利用軸對稱（兩點之間線段最短）求最值，利用垂線段最短求最值，利用數形結合思想求最值。