錨桿-圍巖結構的耦合振動和減振

李苗苗 王衛 李英民

DOI：?10.11835/j.issn.2096-6717.2021.255

收稿日期：2021?09?03

基金項目：國家自然科學基金（51638002）

作者簡介：李苗苗（1996-?），女，主要從事防災減災工程與防護工程研究，E-mail：1531146239@qq.com。

通信作者：李英民（通信作者），男，教授，博士生導師，E-mail：liyingmin@cqu.edu.cn。

Received： 2021?09?03

Foundation item： National Natural Science Foundaton of China （No. 51638002）

Author brief： LI Miaomiao （1996-?）， main research interests： disaster prevention and reduction engineering and protective engineering， E-mail： 1531146239@qq.com.

corresponding author：LI Yingmin （corresponding author）， professor， doctorial supervisor， E-mail： liyingmin@cqu.edu.cn.

摘要：錨桿支護是隧道施工中常見的支護手段，而隨著施工工況日趨復雜，錨桿與圍巖的組合結構也承受著各類動力荷載的影響。針對隧道中單根錨桿的受力特性有較多研究，而對于錨桿和圍巖組合體的動力特性研究較少。對錨桿-圍巖結構進行整體分析，簡化出一種巷道頂板錨桿支護模型，結合動力學雙梁理論，建立并求解出模型動力學方程；運用MATLAB軟件進行數值模擬，研究不同支護參數下結構的自振特性以及在外荷載作用下的動力響應，提出減振措施；利用有限元軟件GTS NX建立二維模型，驗證支護體系的安全性。結果表明：錨桿-圍巖結構的動力特性與錨固段長度、錨桿間距和錨桿直徑有關。在所建模型中，隨著錨固段長度與錨桿間距的適當增加，結構動力響應明顯減弱；隨著錨桿直徑的變化，結構動力特性的變化情況較復雜，結構不同部位的動力響應變化趨勢差別較大。

關鍵詞：錨桿支護；圍巖振動；減振措施；雙梁結構

中圖分類號：U455.7 ????文獻標志碼：A ????文章編號：2096-6717（2024）02-0051-09

Coupling vibration and vibration reduction of anchor-surrounding rock structure

LI Miaomiao¹，?WANG Wei²，?LI Yingmin¹

（1. School of Civil Engineering， Chongqing University， Chongqing 400045， P. R. China；?2. China State Construction Engineering Co.， Ltd.， Beijing 100037， P. R. China）

Abstract： Bolt support is a common means in tunnel construction， and with the increasing working condition complexity， the combined structure of bolt and surrounding rock is also subjected to various dynamic loadings. ?In the past， researches focused on the mechanical characteristics of single bolt in tunnel， but there are few on the dynamic characteristics of the combination of bolt and surrounding rock. In this paper， the overall analysis of the bolt-surrounding rock structure， with a simplified roadway roof bolt-supporting model， combined with the dynamic double beam theory， was established to solve the dynamic model equation; MATLAB was used for numerical simulation to study the natural vibration characteristics of the structure under different supporting parameters and the dynamic response under the external load， and the vibration reduction measures were proposed. Finally， GTS NX is used to verify the safety of the supporting system. The results show that the dynamic characteristics of rock bolt-surrounding rock structure are related to the length of anchor segment， the distance between bolts and the diameter of bolts. In the model established in this paper， the dynamic response of the structure decreases obviously with the proper increase of anchorage length and bolt spacing. With change of bolt diameter， the dynamic characteristics of the structure are becoming complicated， and the dynamic response of different parts of the structure varies greatly.

Keywords： bolt support；?vibration of surrounding rocks；?vibration reduction measures；?double-beam structure

隧道與地下煤礦常常面臨著支護問題，如何保證結構不垮塌，如何保證圍巖的穩定性是這些建筑工程需要重點考慮的問題。

康紅普^[1]總結了新中國成立70年來中國煤礦巷道圍巖控制領域取得的主要研究成果，重點介紹了預應力錨桿支護理論及支護應力場的概念；康紅普等^[2-3]采用理論計算、數值模擬及室內試驗等方法，研究了錨桿形狀、參數對其錨固力、安裝阻力的影響以及鋼筋、尾部螺紋、托板材料與幾何參數對錨桿構件的力學性能的影響；王愛文等^[4]在傳統錨桿的基礎上增加吸能裝置，通過解析方法研究得到錨桿端部位移阻抗函數的表達式，并發現增加吸能裝置的支護系統在沖擊荷載作用下的穩定性得到較大提高；胡帥偉等^[5]采用結構動力學理論，推導出錨桿在爆破地震波作用下的振動規律，研究了黏結式錨桿在爆破動荷載作用下的動力響應特征；吉凌等^[6]借助數值模擬與現場測試方法，揭示了隧道開挖爆破作用下圍巖的振動響應特征，基于此特征進一步研究隧道爆破作用下不同位置沿開挖軸線方向損傷范圍的分布，并提出圍巖爆破振動速度控制值；李壯等^[7]采用分離式霍普金森壓桿試驗研究了不同預緊力作用下錨固體的沖擊破壞響應，獲得了錨固體的動態應力-應變曲線，分析了預緊力對錨固體動載變形與強度特征的影響，以及沖擊破壞過程中裂紋擴展與錨桿動態應變演化特征；He等^[8]發明了一種恒阻大變形錨桿，可更好地控制深部巷道的大變形；Spearing等^[9]介紹了一種現場測試錨桿各項參數的技術；Zhang等^[10]運用現場監測和數值模擬的方法研究了長壁工作面開采期間錨桿的應力變化，并對其設計進行了改進；劉海雁等^[11]采用正交數值模擬方法，系統研究不同錨桿長度、預緊力及頂角錨桿安裝角度下的塑性區體積、頂底板移近量和兩幫收斂量的變化規律，為巷道錨桿支護設計和優化提供了新的視角；張明磊等^[12]將模糊數學和可拓學相結合，對巷道支護參數進行了優化設計；趙東平等^[13]對近40年公開發表的隧道錨桿研究論文進行統計和分析發現，既有研究大多聚焦于錨桿的受力特性以及單根錨桿的理論計算問題，關于系統錨桿力學機理及系統錨桿與圍巖形成的復合承載拱承載機理僅有少量研究。

綜上所述，錨桿支護已成為巷道圍巖控制的主體方式，解決了一般條件下的巷道支護問題。但目前關于隧道錨桿研究尚不充分，大多聚焦于錨桿的受力特性以及單根錨桿的理論計算問題，研究成果明顯偏少，且尚未形成統一認識。特別是在錨桿的設計參數方面，研究采用的主要方法是經驗類比法，精細定量的設計方法和合理有效的優化方法成為巷道支護的研究熱點。筆者基于隧洞中客觀存在的松動圈現象，考慮中松動圈下的懸吊機理，采用結構力學模式的核心觀點，即結構-荷載觀點，抽象出錨桿-圍巖整體結構的力學模型，結合結構動力學中的雙梁理論，研究耦合振動作用，系統分析不同支護參數對圍巖振動的影響，探究降低圍巖動力反應的關鍵參數，并嘗試給出減振優化措施。

1 錨桿-圍巖結構耦合振動模型的建立及求解

1.1 建立模型

考慮巖土體、地應力的復雜性，采用以下簡化假設：1）分析對象針對隧洞頂板；2）使用過程中錨桿不出現斷裂失效、拔出失效；3）上方巖梁橫截面高度受錨固段長度控制。

隧洞基本條件假設為：Ⅲ級圍巖，開挖跨度B=15m，埋深15 m，考慮厚度為100 cm的中松動圈，見圖1（a）。分析采用的模型如圖1（b）所示：將錨桿-圍巖結構看作由上部兩端固定的梁和下部兩端自由的梁，通過彈簧（錨桿）連接而成的一種雙梁模型。

需要指出的是，隧道開挖后，圍巖自身具備一定的強度和承載能力，而在模型簡化中僅把松動圈范圍內的圍巖視作荷載，同時未考慮周邊圍壓對隧道頂板松動圈范圍內的巖土體產生的約束作用，認為錨桿起懸吊作用，支護松動圈范圍內的圍巖。故模型是一種不利工況的考慮，在工程上相對安全保守。

1.2 錨桿-圍巖結構模型的參數優化

求解上述模型的耦合振動，需要用到的參數為：梁間錨桿的分布剛度、上下部巖梁的彈性模量和慣性矩、密度、橫截面積等。

1）分布剛度

采用文獻[14]所介紹的方法計算錨桿剛度。

將錨桿剛度分布在跨度范圍內，得到雙梁間錨桿的分布剛度

式中：k_T為巖石錨桿的剛度；L_a為錨固長度；L_f為自由段長度；β為錨桿與豎直方向的夾角；S為開挖跨度；d為錨桿布置間距。

2）彈性模量E

目前中國圍巖分級方法主要采用BQ國標法，而國際上對圍巖分級比較通行的是RMR系統。有不少學者對兩種體系指標的換算給出了研究分析。其中鄔愛清等^[15]基于200多組實測數據，通過回歸分析建立了BQ與RMR之間的關系式

許宏發等^[16]根據內摩擦角和變形模量的等效原則，通過比較RMR和BQ對內摩擦角和變形模量的表達，給出RMR和BQ之間的關系式

取Ⅲ級圍巖對應的BQ=400，帶入式（4）和式（5），分別得到RMR=52.38和RMR=51.60，取二者平均值RMR=52。

根據Serafim等^[17]的研究，當RMR值小于等于55時，相應巖體的彈性模量取為

帶入數據，得Ⅲ級圍巖巖體的彈性模量為E₁=11 220.2 MPa。

開挖過程中的擾動會引起巖體中原生結構面以及微隱裂痕的張開和錯動，使得開挖后松動圈巖體的彈性模量E₂＜E₁。參考有關實測數據，在吉圖琿客運專線的小盤嶺2號隧道中，與巖體最大彈性模量（巖塊彈性模量）相比，開挖后圍巖軟弱方向的彈性模量僅為最大彈性模量的29.3%^[18]。故取下方巖梁的彈性E₂=0.5E₁=5 610.1 MPa 。

3）慣性矩I

計算慣性矩時，下方巖梁的橫截面高度取松動圈厚度100 cm。

一定能級的波僅對一定范圍內的巖體產生作用，即耦合振動并不會對隧洞頂板上方全部巖體產生影響，所以上方巖梁慣性矩的計算涉及耦合振動影響范圍的確定。目前與本文相似的研究方向較少，對于錨桿-圍巖的耦合振動影響范圍沒有可直接參考的研究。但注意到錨固段注漿體的受力特點為：在錨固段與自由段連接處剪切應力最大，沿錨固段方向迅速衰減，在錨固段注漿體后半段接近于零。考慮振動時注漿體后半段也會受力，即錨桿帶動整個注漿段開始振動。于是假定上部巖梁橫截面高度由錨固段長度決定，其慣性矩可表示為

1.3 錨桿-圍巖結構耦合振動模型求解

從能量角度出發，借鑒雙梁結構振動問題的求解方法，求解出錨桿-圍巖組合結構的自振頻率、振型、受迫振動等動力特性的解。

任意邊界條件下無阻尼系統雙梁結構的自由振動模型如圖2所示。

考慮到梁間通過彈性層的耦合作用，雙梁的運動方程為

式中：ω_n為雙梁結構的第n階自振頻率；Α_nj、Β_nj、D_n、P_nj、β_nj為與第n階自振頻率有關的未知常數。將式（21）帶入式（13）定義的實際邊界條件中，可得到8個代數方程，其矩陣形式可表示為

式中：為未知常數矩陣；[E]_8×8是與邊界條件有關的系數矩陣。

若使式（22）有非零解，則要求系數矩陣行列式等于零，也即|E|=0。此處利用半解析的方法和切割法可求得常數ω、Α、Β、P、β的值。邊界條件系數矩陣[E]_8×8與結構的實際支承狀態有關。模型為上梁兩端固支、下梁兩端自由，其對應的矩陣[E]_8×8如式（23）所示。

此外，自由振動中的參數D可通過能量平衡方程和振型正交條件求出。

最終，雙梁結構自由振動時，求得上下梁振動的解為

在此基礎上，進行雙梁結構受迫振動問題的求解。受迫振動的求解與自由振動類似，設受迫振動情況下雙梁結構的特解為

式中：分別是與n階自振頻率有關的上下梁振型函數，通過自由振動求解已知。T_n（t）是與n階自振頻率有關待求解的時間函數。

利用振型正交性可以得到式（27）的微分方程。

利用杜哈梅積分可以求得式（27）微分方程的特解為

2 錨桿-圍巖結構耦合振動的數值模擬

2.1 錨桿-圍巖結構自由振動的數值模擬

基礎算例的支護參數設定為：錨桿桿體材料采用HRB400級普通熱軋左旋無縱肋螺紋鋼，錨固段灌漿采用M25水泥砂漿，錨固段長度取1.5 m，自由段長度1 m，錨桿間距1.5 m；選取鉆孔直徑28 mm，錨桿直徑20 mm。利用MATLAB軟件計算得出前5階自振頻率依次為：55.975 647、66.107 850、77.128 141、113.934 32、135.487 375 Hz。

1）桿體材料對結構自振的影響

錨桿支護材料的強度等級一般取HRB335級、HRB400級和HRB500級鋼筋，其彈性模量的取值均為200 GPa。通過式（2）可以看出，桿體彈性模量相同，單根錨桿剛度、梁間錨桿分布剛度也相同。同時，改變鋼筋等級也不會引起其他參數的改變。不考慮錨桿斷裂失效，在一定范圍內提高桿體鋼筋強度，并不會對錨桿-圍巖結構的耦合振動造成影響。

2）灌漿材料對結構自振的影響

灌漿材料的改變主要會引起錨固段組合體彈性模量值的變化，但與桿體彈性模量相比，灌漿材料彈性模量過小，可以忽略不計。因此，保證錨桿正常工作的情況下，一定范圍內增大水泥砂漿的標號對錨桿-圍巖結構的耦合振動特性造成的影響可以忽略不計。

3）鉆孔直徑對結構自振的影響

其他支護參數不變，鉆孔直徑分別取為23、25、30、32、35 mm，計算出不同鉆孔直徑下，梁間錨桿分布剛度為：11 170.56、11 170.46、11 171.34、11 171.00、11 171.44 kN/m²。可見，在一定范圍內增大鉆孔直徑對梁間的分布剛度K及其他參數幾乎無影響，進而對錨桿-圍巖結構的耦合振動無影響。

4）錨固段長度、錨桿間距及錨桿直徑對結構自振的影響

其他支護參數不變，依次分別改變錨固段長度、錨桿間距及錨桿直徑，得到錨桿-圍巖結構的自振頻率ω隨錨固段長度、錨桿間距及錨桿直徑的變化趨勢，如圖3所示。

由圖3可知，前3階頻率較為接近，第4、第5階頻率有明顯增長。隨著錨固段長度的增加，結構的前4階自振頻率均呈現減小趨勢，而第5階自振頻率呈現出增大趨勢，如圖3（a）所示；隨著錨桿間距的增大，結構前五階自振頻率均呈現下降趨勢（如圖3（b）所示；隨著錨桿直徑的增大，錨桿-圍巖結構的前5階自振頻率均呈現上升趨勢，如圖3（c）所示。

2.2 錨桿-圍巖結構受迫振動的數值模擬

通過對結構自由振動的分析發現：錨固段長度、錨桿間距及錨桿直徑會對錨桿-圍巖結構的振動特性產生影響。因此，對結構的受迫振動分析僅針對上述3個因素進行。

為模擬錨桿-圍巖結構的受迫振動情況，在上述模型（圖1）中上方巖梁的中點加一簡諧荷載

參考文獻[19]的相關研究成果，考慮地面100 kg當量的炸藥作用，結構距地面15 m，爆炸產生的壓強大約為0.1 MPa。擬合曲線如圖4所示。該爆炸將在結構中引起1 500 kN的作用力，取F₀=1 500 kN。f為外界激勵荷載的頻率。

2.2.1 基礎算例下結構受迫振動的動力響應

利用MATLAB軟件計算得出基礎算例支護參數下，結構上下巖梁中點處的位移響應隨外界激勵荷載頻率的變化情況，如圖5所示。由圖5可知，上下巖梁中點處位移對頻率的響應圖形與該種情況下結構自由振動的振型相呼應，側面證明了數值模擬的正確性。

2.2.2 錨固段長度、錨桿間距及錨桿直徑對結構動力響應的影響

其他條件不變，依次分別改變錨固段長度、錨桿間距及錨桿直徑，觀察錨桿-圍巖結構在不同頻率激勵荷載作用下的動力響應，得到上下巖梁動力反應最大值的變化情況如圖6所示。

隨著錨固段長度增大，錨桿-圍巖結構的動力反應最大值呈減小趨勢，如圖6（a）、（b）所示。特別是當錨固段長度由1.0 m增大到1.5 m時，上梁的動力反應最大值縮減超過77%，下梁的動力反應最大值縮減超過67%；當錨固段長度增加到2.5 m時，對動力反應的減弱已達到較高水平；繼續增加錨固段長度，結構動力反應縮減得十分緩慢，減震效果不再顯著。同時，增加錨固段長度使得材料使用量增多，從經濟上考慮也不實用。

隨著錨桿間距的增大，結構上下梁的動力反應呈現出先減小后增大的趨勢。

如圖6（c）所示，錨桿間距取1.5 m時，上梁動力反應最小。其中，錨桿間距由1.0 m增大到1.5 m時，其動力反應縮減了約26%；增大到2.2 m時，其動力反應增大了約11%。

如圖6（d）所示，錨桿間距取2.2 m時，下梁動力反應最小。其中，錨桿間距由1.0 m增大到1.5 m時，其動力反應縮減了約10%；增大到2.2 m時，其動力反應縮減了約77%。綜合考慮，針對所分析的錨桿-圍巖結構，當錨桿間距取2.2 m左右時最為合理。

增大錨桿直徑對錨桿-圍巖結構的影響較復雜：如圖6（e）所示，隨著錨桿直徑增大，上梁動力反應呈現出先減小后增大的趨勢：當錨桿直徑由14 mm增大到22 mm時，其動力反應持續降低到最小值，縮減了約36%；繼續增加錨桿直徑，上梁動力反應呈現出增大趨勢。如圖6（f）所示，隨著錨桿直徑增大，下梁動力反應持續增大。當錨桿直徑由14 mm增大到22 mm時，其動力反應增大了約37%。

由此可見，對于錨桿-圍巖整體結構而言，增大錨桿直徑會使上下梁的動力反應朝著相反的方向發展，并且變化幅度近乎一致。但考慮到上下梁的動力反應對于結構的整體安全來說有權重上的差別，即下方巖梁的動力反應更加需要被關注。因此，在錨桿能提供必要強度的前提下，可將錨桿直徑適當減小。

2.2.3 支護參數優化的安全性驗算

需要指出的是，上述參數優化是從錨桿-圍巖系統的減震角度出發考慮。與此同時，也應該關注到錨桿支護本身能否達到安全使用的要求。為此，在本文討論的背景下，結合得到的優化參數，也即錨桿錨固段長度2.5 m、錨桿間距2.2 m，錨桿直徑0.02 m，利用有限元軟件GTS NX建立二維模型，驗證支護體系的安全性，如圖（7）所示。

其中，巖土材料采用平面應變單元，采用理想彈塑性本構，以摩爾-庫倫強度理論為屈服準則。所討論的巖土材料為Ⅲ級圍巖，其物理力學參數參照《公路隧道設計規范??第一冊??土建工程》（JTG ?33701—2018）中的圍巖物理力學參數輸入。錨桿采用HRB400鋼筋材料，彈性本構，錨固段與圍巖材料節點耦合，自由段僅在端點處與懸吊的圍巖節點耦合。

計算中，假定松動圈范圍內巖土體處于松動狀態，也即與上部圍巖脫離，以此考慮錨桿支護的不利工況。

經計算得出錨桿的軸向應力圖，如圖（8）所示，錨桿最大拉應力發生在自由段，為352 MPa，尚處于HRB400級鋼筋的抗拉強度標準值400 MPa的強度范圍之內，說明上述出于減震考慮得到的優化參數能滿足錨桿支護的安全使用要求。

3 結論

1）在滿足使用要求的前提下，改變錨桿桿體材料強度、灌漿材料強度和鉆孔直徑對于錨桿-圍巖結構的動力特性幾乎無影響。

2）隨著錨固段長度的增加，錨桿-圍巖結構的動力響應呈現較明顯的降低趨勢，在算例中，當錨固段長度增加到2.5 m之后，其對結構整體的減振影響不再顯著。在進行錨桿支護設計時，可以設置一個相對合適的錨固段長度來達到較好的減振效果。

3）隨著錨桿間距的增加，錨桿-圍巖結構的動力響應呈現先減小后增大的趨勢。在進行錨桿支護設計時，可以通過改變錨桿間距來達到較好的減振效果。

4）錨桿直徑對錨桿-圍巖結構振動產生的影響比較復雜：隨著錨桿直徑的增加，結構上部的動力響應先減小后增大，結構下部的動力響應持續增大。從實際出發，降低錨桿-圍巖結構下部的動力響更能保證工程的安全。所以，在保證結構強度的前提下，建議適當減小錨桿直徑，以達到減振的目的。另外，使用小直徑錨桿，也可實現經濟上的節約。

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（編輯??王秀玲）