薄壁桿件屈曲模態分析的力特征約束有限條法

金聲 李政 趙國 黃浩 向陽 李占杰

DOI：?10.11835/j.issn.2096-6717.2022.024

收稿日期：2021?08?01

基金項目：國家重點研發計劃（2019YFD1101003）；中央高校基本科研業務費項目（2019CDXYTM0032）

作者簡介：金聲（1975-?），男，博士，副教授，主要從事薄壁結構計算理論研究，E-mail：civiljs@cqu.edu.cn。

Received： 2021?08?01

Foundation items： National Key Research and Development Program （No. 2019YFD1101003）; Fundamental Research Funds for the Central Universities （No. 2019CDXYTM0032）

Author brief： JIN Sheng（1975-?）， PhD， associate professor， main research interest： thin-walled structures， E-mail： civiljs@cqu.edu.cn.

摘要：整體、畸變、局部等基本變形模式的劃分是條理化開展薄壁桿件工程計算的必要手段。薄壁桿件的基本變形模式傳統上基于簡化應力-應變關系，采用變形、應變等幾何特征進行定義，不利于因應復雜化應力-應變關系。提出一套完全基于力特征和正交完備性原則的基本模式定義。與廣義梁理論和約束有限條法相比，提出的整體、畸變、局部3種基本變形模式關于剛度嚴格正交，且完整覆蓋薄壁桿件全變形域。基于該定義實現了針對薄壁桿件有限條模型的屈曲模態分解和識別。算例表明，提出的基本模式定義和屈曲模態分析方法具有開、閉口和折、曲線形截面的一致適應能力，剪應變和橫向伸縮的影響在基本屈曲模式中得到合理表達，曲線形截面薄壁構件具有與多邊形截面薄壁構件一致的整體、畸變和局部屈曲機理。

關鍵詞：薄壁構件；屈曲；有限條法；約束有限條法；屈曲模態；廣義梁理論

中圖分類號：TU311.2；TU391 ????文獻標志碼：A ????文章編號：2096-6717（2024）02-0100-08

A force-based constrained finite strip method for buckling modal analysis of thin-walled members

JIN Sheng¹，?LI Zheng¹，?ZHAO Guo¹，?HUANG Hao¹，?XIANG Yang²，?LI Zhanjie³

（1. School of Civil Engineering; Key Laboratory of New Technology for Construction of Cities in Mountain Area， Ministry of Education， Chongqing University， Chongqing 400045， P. R. China；?2. General Research Institute of Architecture & Planning Design Co.， Ltd.， Chongqing University， Chongqing 40045， P.R. China；?3. Department of Engineering， SUNY Polytechnic Institute， Utica 13502， USA）

Abstract： The separation and categorization of the basic “global （G）， distortional （D）， and local （L）”?mode classes are necessary for systematical analysis and design of thin-walled members. This paper proposes a new set of basic mode definitions totally based on the orthogonal completeness principle and the force characteristics， which distinguish from the conventional deformation/strain shape-based definitions and are more compatible with complex stress-strain relationships. In contrast to the current general beam theory （GBT） and constrained finite strip method （cFSM）， the proposed G， D， and L classes span the entire deformation space of the thin-walled member， and are strictly orthogonal to each other with respect to the stiffness of the member. Buckling mode decomposition and identification according to the proposed definitions are realized based on finite strip models of thin-wall members. Numerical validations confirm the applicability of the proposed method to open/closed polygonal/curved cross-sections， and effects from shear and transverse extension deformations can be reasonably accommodated in the GDL classes. Further， the G， D， and L buckling mechanisms of curved cross-sections are consistent with those of the polygonal ones.

Keywords： thin-walled members；?buckling；?finite strip method；?constraint finite strip method；?buckling modes；?generalized beam theory

正如“拉、彎、扭”等基本模式的劃分，建立實體截面桿件的材料力學計算脈絡劃分薄壁桿件的“整體（G）、畸變（D）、局部（L）”等基本模式是條理化開展其工程分析的必要措施。例如，為確定薄壁桿件的穩定性能，注意到不同模式失穩的屈曲機理差異顯著，而缺陷、屈曲后、材料彈塑性等因素對不同失穩模式的影響方式和作用效果也各不相同，因此對G、D、L等基本屈曲模式的界定尤為必要；在北美^[1]、澳大利亞^[2]和中國^[3]得到廣泛研究和應用的直接強度法（DSM）^[4]就是直接基于這3種屈曲臨界力確定穩定承載力的。薄壁構件的臨界力等計算需綜合考慮梁理論和板理論，因此難以建立具有普遍適應性的解析方法。采用殼單元的有限元法雖可得到滿意的屈曲結論，但需在其耦合多種基本變形的大量屈曲解中尋找所需要的屈曲模式類別，較為繁瑣且易發生誤判。通過限定變形沿桿長的函數，有限條法（FSM）^[5]極大簡化了一般殼有限元的模型和結論；特別地，所得到的有限條特征曲線（signature curve）以兩個極小值點給出了DSM等穩定承載力計算所需的局部和畸變屈曲結論。利用了不同類別屈曲臨界波長具有差異性這一屈曲特點，但未揭露它們屈曲機理的差異性，且并不總是有效^[6]。

廣義梁理論（GBT）^[7-9]受到經典梁理論中彎曲與扭轉模式特點（尤其是橫截面正應變場間正交特點）的啟發，通過推廣，在板件數量多于3的薄壁桿件中導出橫截面正應變場正交于彎、扭的畸變變形模式。鑒于基本模式定義對于建立實用桿件理論的基礎性作用，GBT被視為薄壁桿件的基本“理論”而不僅僅是一種“方法”^[10]。例如，?dány等^[11]將GBT模式定義引入FSM，提出約束有限條法（cFSM）實現對屈曲模式的客觀選擇和識別。GBT的G、D基本模式定義直接繼承和發展自Euler-Bernoulli梁理論和Vlasov的開口薄壁梁扭轉理論，經典梁理論與用于處理截面變形的板理論間的協調性值得探討：例如，經典梁理論中，不同模式（如彎曲和扭轉）變形關于桿件剛度正交，但GBT基本模式只關于部分剛度正交，會使分析中產生額外的耦合項。又如，剪應變和橫向伸縮對各類屈曲存在一定影響，但在GBT的G、D、L模式中假定為零，帶來閉口截面桿件扭轉變形分類的困難^[12]，并在考慮較完整本構的有限元或有限條模型中造成顯著的約束效應和偏高的臨界力結論^[13]；特別地，傳統上應用于多邊形截面的GBT模式定義不可應用于曲線形薄壁截面^[14]。針對上述問題，Jin等^[15]提出了一套不同于GBT的模式定義，并基于FSM實現了一種新的約束有限條法fFSM。fFSM將傳統模式定義中易致“過約束”的部分變形特征規定替換為力特征規定。例如對于L模式，繼承了傳統上中線向平移為零這一變形特征規定，但對于G和D，則從力的角度做出規定：G、D模式是僅作用于中線方向的力荷載所致變形，這使得L與GD模式間關于考慮任意線性本構的桿件剛度嚴格正交。雖然Jin等^[15]在G、D模式中引入了剪應變的影響，但橫向伸縮的影響未得到協同考慮，單列為E模式；此外，為滿足模式分解的完備性，還補充了翹曲模式X。但E和X模式并未展現獨立的工程應用意義，反而造成其方法的冗長和低效。一直以來，曲線形截面和多邊形截面的模式定義在GBT中無法得到統一^{[14， 16-17]}，Jin等^[15]借助曲線形截面的切線方向解決這個問題，但這也凸顯了兩類截面模式定義在自由度處理上的對立性。

利用新的力特征定義，在G、D模式中不僅引入剪應變影響，同時引入協同橫向伸縮，僅需G、D、L即可完整覆蓋薄壁構件全變形域，從而大幅簡化實現的方法，并拓展其適用范圍。對于采用多邊形擬合的曲線形截面薄壁構件，該方法也無須借助額外切線方向的定義，實現了曲線形截面和多邊形截面各屈曲模式內在機理的理論一致性。

1 模式定義

由m個平板件構成的開口多邊形薄壁截面如圖1所示，采用n個單元離散，節點數量為n+1，其中交點數量為m-1。在GBT和cFSM中，該截面的G和D模式總自由度數量同主節點（即交點和開口端節點）數量，計m+1。文獻[15]的fFSM采用不同的G和D定義：G和D是橫截面中線向力作用下的變形，并保持零橫向伸縮。對于圖示截面，作用于各節點的中線向力具有m+n個取值自由度（每個交點考慮兩個中線向平移自由度，其他節點考慮一個），扣除n個單元的橫向伸縮變形自由度，因此，GD模式共m個自由度，比GBT/cFSM的GD模式自由度數量少1，原因是并未包含GBT軸向伸縮模式，文獻[15]發現，這對GD模式屈曲分析結果的影響可忽略。

GBT定義整體和畸變模式的原則之一，是各板件的面外變形由面內變形所帶動，fFSM對GD模式的中線向力限定繼承了這一原則，但文獻[15]對GD的零橫向伸縮假定有必要予以解除。根據薄壁桿件中、長半波屈曲變形（以畸變和整體變形為主）的彈性力分布特點，本文采用一個力特征規則取代零橫向伸縮規則：對于GD模式，規定中線向的力在每一平板件的橫截面上是均勻施加的，如圖2所示。這個力特征的規定不再強行約束橫向伸縮，而就GD的自由度而言，每一板件具有一個中線向力的取值自由度，共計m個。

對于閉口或含閉室的薄壁截面，在GBT和cFSM中需引入額外的整體變形模式以考慮閉室的扭轉剪應變。本方法因不作零剪應變假設，無須額外處理，參見文獻[15]。

綜上，提出模式定義原則1：GD模式是橫截面中線向力作用下的變形，在任一板件橫截面上，中線向力是均勻的。

G和D模式通過拆分GD模式空間得到。文獻[15]通過在GD模式的切向平移上應用“剛周邊”原則得到G，但該原則限制了橫向伸縮，現放棄這一變形特征規定。先采用力特征原則定義D模式，再利用正交規則導出G模式。

GBT的D模式是由正交于截面拉、彎、扭正應變場的特定正應變場導出的^[18]。溯源GBT關于D的最初理念^{[7， 9]}，在橫截面上，其正應力和剪應力分別是自平衡的。鑒于此，提出模式定義原則2：作用在D模式一個橫截面上的中線向力是自平衡的。

上述兩個原則中，以關于力的兩個假定“軸向外力為0、橫向外力均勻”分別替換傳統的零剪應變和零橫向伸縮假定，各板件彎曲及拉壓時所協同發生的剪應變和橫向伸縮在GD和D模式中得以引入，因此，不必專門定義相應模式，只需G、D、L 這3種基本模式即可，即本文的模式定義原則3：G、D和L模式覆蓋薄壁桿件全變形域。

G模式可根據其與D的正交性得到，而L則根據其與GD的正交性得到。有必要對正交的力學意義予以明確。GBT諸模式的正交原則并不統一，其G、D、L模式之間關于中面翹曲子剛度C^M（薄壁中面翹曲相關，見文獻[19]）正交，但它們與剪切模式之間關于子剛度D^M（文獻[19]，中面剪切相關）正交，而與橫向伸縮模式之間的正交性則不可考。本文沿用Euler-Bernoulli和Vlasov經典梁理論基本變形模式（如：拉、彎、扭）間的正交原則，即模式定義原則4：G、D、L之間關于桿件剛度正交。

2 對薄壁桿件有限條模型的約束算法

有限條法采用縱向條單元離散薄壁桿件，如圖3所示。為得到有限條特征曲線，每個節點（即條單元的一條側邊）考慮3個平移自由度和一個轉動自由度，它們沿桿長的分布為單半波的三角函數。關于有限條法的詳細說明可參考文獻[20]。

在整體坐標系X-Y-Z中，薄壁構件有限條模型的整體剛度方程為

式中：位移列向量Δ元素數量為4k（k為節點數），包括各節點的X、Y、Z向平移U、V、W及Y向轉角θ；荷載列向量P是相應的節點力N_X、N_Y、N_Z及力矩M；K_e是桿件的彈性剛度矩陣。

2.1 GD模式

有限條模型的荷載是定義在節點上的。將GD 模式荷載定義（圖2）中的均布力等效為節點力，以隸屬于板件的節點j為例，作用在板件i橫截面上集度為q_i的均布中線向力等效到節點j的集中力為

式中：A_j（i）為板件i中所有毗鄰節點j的單元總截面積；方位角α_i是在Y正平面上從X向到板件i截面中線方向的逆時針轉角。

將方程（2）應用于所有節點并綜合，得到GD模式變形的外荷載列向量P^GD

式中：q_W為各板件中線向力集度q₁，q₂…q_m所構成的列向量，這表明GD模式荷載的取值具有m個自由度。4k行m列變換矩陣J^GD中各元素根據方程（2）描述的關系確定。

2.3 D模式

D模式是在GD模式基礎上進一步定義得到，要求所施加的中線向力是自平衡的，即

式中：α是各板件中線方位角α₁，α₂…α_m所組成的列向量，r是從原點到各板件的距離r₁，r₂…r_m（以其中線方向繞原點逆時針轉動為正）所組成的列向量，對角矩陣A以各板件的橫截面積A₁，A₂…A_m為對角線元素。

當構件中的板件不小于3個，或者說，有限條模型包含至少3個中線不交于同一點且不平行于同一直線的單元時，D的該平衡條件有效數量是3，即要求兩個橫向合力和一個縱向合力矩為0。因此是m×（m-3）矩陣，而φ^D是一個任意的（m-3）元列向量，即D模式的自由度為m-3。

2.4 G模式

因為G模式屬于GD模式，荷載可寫作

根據其與D模式的正交性可知

2.5 屈曲模態分解和識別

2.5.1 屈曲模態分解

有限條法所構造的線性屈曲問題特征值方程是

式中K_e和K_g分別是桿件的彈性和幾何剛度矩陣。求解該方程得到的特征向量d即屈曲模態變形，λ是相應的荷載或應力的臨界值系數。

本文實現屈曲模態分解的方法與cFSM一致：通過約束通用屈曲方程（22）得到指定類別屈曲的特征值方程

式中上標“^*”指所需的屈曲類別，可以是“^L”“^D”“^G”，或它們的任意組合，其中的模態彈性剛度矩陣為

模態幾何剛度矩陣為

2.5.2 屈曲模態識別

因G、D、L覆蓋薄壁桿全變形域，所以它們的約束矩陣C^*各列向量構成薄壁桿件變形空間的一組基，可用于分解該桿件的一個任意的變形，例如任意一個屈曲變形，從而定量該變形或該屈曲的每一基本模式參與度。設有一個屈曲模態變形Δ^Ω，對其開展分解

解得φ^*，進而得到原屈曲變形Δ^Ω中的“^L”“^D”“^G”類子變形

及它們的應變能

由于L、D、G間關于剛度的嚴格正交性，可知

因此，各模式基于應變能占比的模態參與系數為

2.6 方法的實現

采用MATLAB編制程序，實現了上述計算過程。條單元的彈性剛度矩陣和幾何剛度矩陣可調用開源軟件CUFSM^?[21]內的klocal和kglocal函數文件進行構造。在計算流程方面，根據有限條模型的單元和節點構成，綜合出桿件的整體彈性剛度矩陣及GD模式荷載變換矩陣J^GD后，即可分別按式（9）、式（15）和式（21）確定各變形模式的約束矩陣，進而按式（23）和式（26）開展屈曲模態分解和識別。

3 算例1：卷邊槽鋼軸壓桿

本例分析卷邊槽鋼軸壓桿的屈曲模態。桿件腹板高200 mm，翼緣寬90 mm，卷邊長20 mm，板厚2 mm；材料彈性模量210 GPa，泊松比0.3。在腹板、翼緣和卷邊上分別設置7、3、1個等分節點，建立該桿件的有限條模型。采用CUFSM算得有限條特征曲線和cFSM模態分解結論，可導出為文本文件，或在程序內設置斷點于運行過程中截獲。上述結果與本文方法得到的屈曲模態分解結果對比見圖4。有限條特征曲線系該有限條模型線性屈曲的最低臨界應力曲線，本文和cFSM對其模態識別的結論對比見圖5。CUFSM基于應變能范數（strain energy norm）^{[22， 23]}計算模態參與系數時，基向量R_i按?進行標準化。為與本文直接基于應變能的模態參與系數作對比，圖5中各cFSM模態參與系數c^*根據式（31）計算。

式中：為CUFSM基于應變能范數算得的模態參與系數。

上述對比結論如下：

1）短波長區域的有限條特征曲線，特別是其中第一波谷點，反映薄壁構件局部屈曲的主要性質。本文獲得與cFSM一致的L臨界應力曲線（圖4），該曲線在半波長度l₀< 300 mm的區段與有限條特征曲線吻合良好。

2）有限條特征曲線在大波長區段（l₀>2 000 mm）為整體屈曲。彎、扭等整體變形存在橫向伸縮效應，但cFSM 的整體模式定義規定橫向正應變為0，該規定造成的約束導致圖4中其整體屈曲臨界應力較FSM的結論顯著偏高，達到10%左右^[24]，參見表1中對半波長度4 000 mm處各計算結論的對比。這同時也表現在圖5的屈曲模態識別結論中：在l₀>2 000 mm區段，其ST模式（剪切和橫向伸縮模式）占有一定比例。本文方法利用力特征定義取代了零橫向伸縮限定，所得到的整體屈曲結論與cFSM聯合考慮剪切、橫向伸縮及整體變形的屈曲結論（見表1中cFSM方法的“G+ST”屈曲結論）一致，且與FSM的結論吻合良好，圖5中識別結論也佐證了這一點。

3）有限條特征曲線的第二波谷區段主要反映構件畸變屈曲性質。畸變屈曲中，板件在各自中面內存在一定拉壓，伴生橫向伸縮；同時，由于屈曲半波不長，剪應變亦有一定影響。因此，圖5的cFSM識別結論中，ST模式占比在該區段有所提升。這些變形在本文的D模式定義中得到考慮，因此在該區段獲得更接近有限條特征曲線的D臨界應力曲線和更高的D模態占比。

4 算例2：曲線形截面

對文獻[16]的軸壓鋼橢圓管行屈曲模態分析。該橢圓管壁厚6 mm，截面長半徑150 mm，短半徑100 mm；鋼材彈性模量210 GPa，泊松比0.3。采用22個條單元構建該橢圓管的有限條模型，CUFSM所得到的有限條特征曲線見圖6。根據文獻[16]的分析，該橢圓管局部屈曲的軸壓力臨界值為17 790 kN，這與有限條特征曲線第一個波谷點（l₀= 60 mm）處的臨界力結論吻合。

采用cFSM的L模式定義，即約束各交點的所有平移自由度，得到的L模式臨界力曲線見圖6。從圖6中可發現，該結論與前述結論存在顯著差異。對比橫截面的橫向變形可推斷其原因：曲線形截面采用多邊形擬合后，各節點因相鄰單元中線不平行，在cFSM中按交點處理，因而L模式的橫向變形僅余22個節點轉動自由度。對節點橫向平移的過度約束導致不良L屈曲結論。

在本文的方法中，該有限條模型的平板件數量為22，GD模式在每一板件上僅賦一個橫向力取值自由度。在與之正交的情況下，L模式仍具有44個描述該截面橫向變形的自由度，包括足夠的節點橫向平移自由度。所得到的L屈曲臨界力和屈曲變形（圖6）與有限條特征曲線在第一個波谷處吻合良好。

閉口截面的扭轉變形中，閉室中面剪應變顯著，如Bredt剪應變等。零中面剪應變的假定使得cFSM的G模式定義不適用于閉口截面，因此，CUFSM不能給出本例的屈曲模態分析結論。本文的G和D模式定義中不作零剪應變的假定，代之以零軸向力的假定。文獻[15]的分析表明，該假定在G和D模式中合理引入了相應的剪應變效應。在中等和較長波長處，本文的D和G結論分別與FSM的結論吻合良好，見圖7，圖中所繪制的D和G屈曲的橫截面變形與文獻[16]導出的結論基本一致。此外，在圖8中，對有限條特征曲線解進行了模態識別，識別結論印證了模態分解結論與特征曲線的良好吻合性。

5 結論

薄壁桿件的模式定義不僅僅用于屈曲模態分析，更是建立這類桿件工程實用計算理論的基礎。作為理論基礎，模式定義應具備對不同簡化層次模型的一般適應性、對不同類型截面的一致概括性、對經典理論的傳承性和足夠的簡潔性。GBT發展至今，尤其在其考慮橫向伸縮、剪應變等因素后，在上述方面表現出一定的不足。筆者認為：1）從力特征的角度定義基本模式比傳統上從變形或應變特征角度的定義方式具有更強的復雜本構適應能力；2）模式正交性的力學意義應予以明確，原則應貫穿始終；正交性不僅是定義所需實現的目標之一，也可作為手段之一。

為探討上述觀點的合理性，將其落實為薄壁構件的4條模式定義原則，針對薄壁桿件有限條模型的線性屈曲，開展屈曲模態分析，并與已有方法進行對比。結果表明，所定義的局部、畸變和整體模式良好表征了薄壁構件不同波長屈曲的主要變形特征和屈曲特點；橫向伸縮和剪應變在各模式屈曲中的效應得到了合理處置。文中的分析還表明：曲線形截面薄壁構件的整體、畸變和局部屈曲機理與多邊形截面是一致的。

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（編輯??王秀玲）