在數學解題中得法、明理、悟道、激趣

【摘 要】 數學解題除了內化數學知識、發展思維能力、積累活動經驗外，其重要的價值在于通過解題研究，得數學之法、明數學之理、悟數學之道、激數學之趣，即掌握數學的策略與方法，認識數學的規律與原理，把握數學的思想與本質，增強對數學探究的興趣．

【關鍵詞】 數學解題;得法;明理;悟道;激趣

數學學習和研究，數學教育和教學，沒有解題萬萬不能，但僅有解題遠遠不夠［1］．數學解題的過程是思考方向從茫然到明朗、分析思路從模糊到清晰、解題方法從復雜到簡捷的過程．這個過程除了內化數學知識、發展思維能力、積累活動經驗外，更重要的是在解題中得數學之法、明數學之理、悟數學之道、激數學之趣，這正是數學解題的價值．本文以一道矩形翻折問題的思路探尋過程為例，談談如何引導學生在數學解題中得法、明理、悟道與激趣．

1 真題呈現及數據分析

真題呈現

如圖1，BD是矩形ABCD的對角線，1＜BCAB＜3，點E，F分別在邊AD，BC上，把△ABE和△CDF分別沿直線BE，DF折疊，使點A，C分別落在對角線BD上的點G，H處，連結FG．

（1）求證：BH=DG；

（2）若AB=6，AD=8，求線段FG的長；

（3）若FG∥CD，求BDAB的值．

數據分析

該題是九年級數學測試卷中的一道題，作為幾何壓軸題安排在試卷的第23題位置（全卷共24題）．筆者所教班級的37名學生中，第（1）（2）兩小題基本能正確作答，但第（3）小題完全正確的僅有3人，占比為8%．那么，第（3）小題正確率為何如此之低？這引起了筆者的關注與思考．

2 思路探索的心路歷程

筆者嘗試對試題第（3）題的思路與方法進行了探尋與研究，經歷了“撥得云開見日出，守得云開見月明”“山重水復疑無路，柳暗花明又一村”“問渠哪得清如許，為有源頭活水來”“刪繁就簡三秋樹，領異標新二月花”“不畏浮云遮望眼，自緣身在最高層”的5個過程．

2.1 撥得云開見日出，守得云開見月明

根據波利亞的解題策略，從條件與結論兩個方面對問題進行分析．從條件看，一是作為圖形基石的“矩形ABCD”有何作用？二是“圖形翻折”的本質是軸對稱，可得到對應線段相等、對應角相等，而連結對應點的線段被“折痕”垂直平分是“圖形翻折”的常規思路，該問題中這樣的線段要不要出現？三是條件“FG∥CD”在解題中的作用何在？四是圖形中的幾對直角三角形相似如何合理利用？從結論來看，求BDAB的值即尋找線段BD，AB間的關系．圖中有直角三角形、相似三角形，是用勾股定理還是三角形相似得線段關系？五是由于沒有給出某些線段的長度，必須要引進參數，那么哪些量可作為參數？引進幾個參數？這一系列疑問有如蔽日云霧，需要解題者慢慢撥開．不失一般性，令AB=CD=1（以下均如此）．

方法一 設BD=x，問題轉化為尋找相等關系建立關于x的方程．由折疊知：BG=AB=1．HG=BG+DH-BD=2-x．一方面，易證△BGF∽△BDC，得BGBD=GFDC，即1x=GF1，有GF=1x；另一方面，由△FGH∽△BGF有FGBG=HGFG，即GF2=HG·BG．故1x2=（2-x）·1．至此思路變得明朗起來，正所謂“撥得云開見日出”．

將所列方程整理得x3-2x2+1=0．系數和為0的方程必有一根為1，故湊含有（x-1）的因式，如x3-x2-（x2-1）=0，從而有（x-1）（x2-x-1）=0．因為x-1≠0，所以x2-x-1=0，解得x=1±52．因為x>0，所以x=5+12．故BDAB=x1=5+12．

顯然，要正確解出方程，除了適當的策略與方法外，更需要毅力與堅守，否則會功虧一簣．這大概就是“守得云開見月明”吧．但方程系數和為0必有一根為1、湊項法等知識與方法超出初中生的認知范圍，這顯然不是命題者的意圖．

2．2 山重水復疑無路，柳暗花明又一村

“方法一”所得的方程是一元三次方程，解法為初中學生力所難及．若改變參數，情況如何呢？

方法二 設DG=BH=x．由折疊知：BG=DH=1，所以BD=BH+DH=1+x．一方面，由△BGF∽△BDC有GFDC=BGBD，即GF1=11+x，所以FG=11+x；另一方面，由△FGH∽△BGF有FGBG=HGFG，即GF2=HG·BG，所以1（1+x）2=（1-x）·1．

方程整理得x3+x2-x=0．由于x≠0，原方程轉化為一元二次方程x2+x-1=0，解得x=-1±52．因為x>0，所以x=5-12，此時BD=1+x=5+12．故BDAB=5+12．

如果說“方法一”是“山重水復疑無路”，那么“方法二”的方程容易轉化為熟悉的一元二次方程，達到了“柳暗花明又一村”的效果．但需要兩次三角形相似得到方程，而且所列方程仍為三次方程，還是有超標之嫌．

2.3 問渠哪得清如許，為有源頭活水來

俗話說，無“源”則無“流”，“源”正方能“流”清．數學解題同樣需要追本溯源，只有這樣才能讓問題解決從或然走向必然、數學思維從已來走向未來．這里的“源”就是數學的本質，“流”就是解決問題的技能、方法與策略．那么，該問題的數學本質是什么呢？注意到試題的核心條件是“翻折”和“GF∥CD”．“翻折”的本質是軸對稱，可得FD平分∠BDC，結合GF∥CD得到GF=DG．這里的“角平分線+平行=等腰三角形”是常見的基本圖形，抓住這個數學本質，問題迎刃而解．

方法三 設BD=x，則HG=2-x，DG=x-1．由GF∥CD及FD平分∠BDC可得∠GDF=∠GFD，故GF=DG=x-1．易證△FGH∽△BGF，所以FGBG=HGFG，即x-11=2-xx-1，整理得x2-x-1=0（以下同方法一）．

“方法一”和“方法三”都是將BD設為參數，但“方法三”抓住了問題本質，充分利用“平行+角分線”的基本圖形，只要一對相似三角形，還避免了三次方程，屬于初中學生應該掌握的基本方法．由此可見：方法的難易并不取決于參數的選擇，而在于是否抓住了數學的本質．這正應驗了南宋詩人、哲學家朱熹所言：問渠哪得清如許，為有源頭活水來．這里的基本圖形就是源頭活水．

2.4 刪繁就簡三秋樹，領異標新二月花

上述方法都運用了直角三角形相似．進一步思考：能否另辟蹊徑，讓思維更加簡潔明快呢？經過探索與嘗試，發現還有其他思路．

方法四 設BD=x．由“方法三”有GF=DG=x-1．在Rt△BFG中，sin∠GBF=FGBG，在Rt△BCD中，sin∠CBD=CDBD，所以FGBG=CDBD，即x-11=1x．整理得x2-x-1=0（以下同方法一）．

方法五 設BH=DG=x．則BD=x+1．由“方法三”有GF=DG=x．S△BFG=12BG·FH=12BF·FG，即12×1·FH=12BF·x，所以FH=BF·x①；S△BFD=12BF·CD=12BD·FH，即12BF·1=12（x+1）·FH，所以BF=（x+1）·FH②．將①代入②有：BF=（x+1）·BF·x，所以x（x+1）=1，整理得x2+x-1=0（以下同方法二）．

“方法四”“方法五”分別從銳角三角函數和三角形面積兩個角度尋找線段關系．“方法四”所列方程簡約明了，并能迅速轉化為一元二次方程，讓人有痛快淋漓之感．“方法五”從三角形的面積角度出發，分別在兩個三角形中，用不同方式表示同一個三角形面積從而得到兩個等式．看似未知量較多，但通過等量代換、代數約簡，最后只剩下一個未知量．其獨特的構思、新穎的形式給人帶來心理的愉悅，正所謂“刪繁就簡三秋樹，領異標新二月花”．當然，這些方法的獲得并非一蹴而就，而是經歷多次嘗試后，“吹盡狂沙”“洗盡鉛華”后的“滿滿干貨”．

2.5 不畏浮云遮望眼，自緣身在最高層

解題的最高層次是從“解數學題目”到“問題研究”．如對問題進行質疑與反思，讓問題理解更加透徹；跳出具體問題，基于高觀點審視試題，尋找問題的共性特征與一般規律；充分挖掘試題的潛在研究價值，從而達到“不畏浮云遮望眼，自緣身在最高層”的最高境界．

一是對問題的條件與結論進行質疑．條件為何添加“1＜BCAB＜3”的限制？事實上，若BCAB=3，則∠ABD=60°，此時點G，H重合；若BCAB>3，則點G在線段BH上（與點H不重合），GF不可能與CD平行．同樣，若BCAB=1，直觀發現GF也不能與CD平行．

二是基于高觀點研究共性特征與一般規律．如將條件弱化，將“矩形ABCD”改為“ABCD”后結論如何呢？此時原題變為：

如圖2，BD是ABCD（∠ABC＜90°）的對角線，點E，F

分別在邊AD，BC上，把△ABE和△CDF分別沿直線BE，DF折疊，使點A，C分別落在對角線BD上的點G，H處，連結FG．若FG∥CD，能否求BDAB的值呢？

同樣，不失一般性，令AB=CD=1，設BD=x．由折疊知：BG=AB=1，則DG=BD-BG=x-1．由GF∥CD及FD平分∠BDC可得∠GDF=∠GFD，故GF=DG=x-1．易證△BGF∽△BDC，所以BGBD=GFDC，即1x=x-11，整理得x2-x-1=0，解得x=1±52．因為x>0，所以x=5+12，即BD=5+12，故BDAB=5+12．這說明，試題第（3）題中的四邊形ABCD只要是平行四邊形即可，不需要“矩形”的強條件．

三是充分挖掘試題的潛在價值．如再特殊化，將“ABCD”改為“菱形ABCD”．由于菱形具有平行四邊形的一切性質，所以BDAB的值仍為5+12．此外，還有何新發現呢？

如圖3，BD是菱形ABCD（∠ABC＜90°）的對角線，點E，F分別在邊AD，BC上，把△ABE和△CDF分別沿直線BE，DF折疊，使點A，C分別落在對角線BD上的點G，H處，連結FG．若FG∥CD，求∠ABC的大小．

為了更清楚地說明問題，將△BDC從原圖中分離出來．如圖4，連結CH．若AB=1，則BD=5+12，所以BH=BD-DH=5+12-1=5-12，在△BHC與△BCD中，BHBC=5-121=5-12，BCBD=15+12=5-12，所以BHBC=BCBD．又因為∠B為公共角，所以△BHC∽△BCD．所以∠BCH=∠D=∠B．設∠BCH=∠D=α，則∠DCH=∠DHC=2α，所以∠BCD=3α．在△BCD中，α+3α+α=180°，所以α=36°．所以∠ABC=2α=72°．

把“ABCD”改為“菱形ABCD”后，滿足GF∥CD的圖形出現了頂角分別為108°和36°的兩種等腰三角形，即“黃金三角形”．該圖形的美妙之處在于：延長FH必經過點A，延長EG必經過點C，連結并延長CH與AB相交于點M，連結并延長AG與CD相交于點N（如圖5（1）所示），將△BHM，△DEG剪下，分別拼到△PFC與△QCN位置（如圖5（2）所示）可得到“五角星”．顯然，變化后的試題比原題具有更濃的數學味，還具有讓人陶醉的美學價值．至此，試題在原題基礎上有了跳躍式的發展，發揮了應有的學科育人價值．

3 數學解題的價值探析

解題的目的之一是“建構以概念為基石，以思想方法為紐帶，以揭示對象蘊涵的不變性、規律性為中心，探索組成對象的諸要素之間內在的、必然的聯系，由此幫助學生積累經驗、拓展思維和學會學習”［2］．從上述思路探索的心路歷程發現，問題的解決經歷了方向逐漸明朗、思路逐步清晰、方法漸次優化的過程．在這個過程中，解題者除了內化數學知識、發展思維能力、積累活動經驗外，還實現了“得數學之法、明數學之理、悟數學之道、激數學之趣”的價值．

3.1 在解題中得數學之法

“數學之法”即數學的策略與方法．解題關鍵在于“得法”，“得法”則心明．如本題中的條件、結論如何思考？一是抓住“翻折圖形的軸對稱性”本質，得到對應線段相等、對應角相等、對應點的連線被對稱軸垂直平分．二是將“線段平行”與“角平分線”結合得到等腰三角形．三是將“求兩線段的比值”轉化為尋找線段之間的數量關系，由于直接求比值困難，故運用設未知數、列方程的間接方法．這里的“不失一般性，令AB為1”不影響結果．四是初中幾何中的線段關系來源主要有勾股定理、三角形相似、銳角三角函數、三角形的面積表示等．

“方法一”與“方法二”都用了兩次三角形相似，且所列方程均為三次方程，不僅過程復雜，而且明顯超出初中生的認知能力，這是學生得分之低的原因之一．而“方法三”到“方法五”不僅容易理解，而且簡明、快捷，關鍵是抓住了“線段平行+角平分線=等腰三角形”這個基本圖形．因此，解題是否成功、方法是否簡捷取決于是否“得法”．另外，數學活動經驗也是解題成功的關鍵．問題解決時要激活已有的策略與方法經驗，問題解決后要反思與歸納，積累新的策略與方法經驗．從更高層次上說，數學學習要從“解數學題”到“數學研究”，掌握數學研究的一般方法，如研究試題的前世、今生與未來：試題有什么、要得到什么、如何分析、問題從哪里來、往哪里去．

3.2 在解題中明數學之理

“數學之理”即數學的規律與原理．數學是講理的學科．數學學習不僅要知其然，還要知其所以然，更要知其何以所以然，數學解題的一個重要功能就是明數學之理．如本題除了幾何直觀與代數運算之外，還需要寫出必要的推理過程，每一步都要有依據．以“方法三”為例．為什么當BD=x時，HG=2-x？是因為由翻折得BG=AB=1，DH=CD．而四邊形ABCD為矩形，所以CD=AB=1=DH．所以HG=BG+DH-BD=1+1-x=2-x．這些看似簡單的過程，都必須基于數學概念與定理的邏輯推理．經歷這樣的過程，不僅能夠得出正確結論，內化數學知識，更重要的是明晰數學原理，這是數學解題的價值之一．

3.3 在解題中悟數學之道

“數學之道”即數學的思想與本質，包括數學的“通性通法”與內在聯系．“數學之法”是外顯的，“數學之道”是內隱的，數學解題要以外顯的“法”悟內隱的“道”，“當諸多解題方法紛至沓來之時，一定要梳理、反思、歸納其背后的共性與共融”［1］．一方面解決問題要抓住數學本質，另一方面要在解題中感悟數學本質．以該題方法為例．幾種方法分別運用了“直角三角形相似”“銳角三角函數”和“面積法”，事實上，這三種方法是相通的：銳角三角函數源于直角三角形邊的比，本質上就是直角三角形相似，凡可用直角三角形相似解決的問題一般都可用銳角三角函數解決；初中要得到三角形面積一般需要有高，同一三角形面積的幾種不同表示方式得到的“線段積相等”也都可以通過直角三角形相似得到．由此可見，三種方法在本質上具有一致性．由這種本質一致性可得到一系列解題策略與方法．“數學的發展就是在一步步提高通性通法的層次，拓展通性通法的適用范圍和領域，直至發明新的通法，因此數學教學不要片面追求‘特技特法”［3］而要引導學生掌握“通性通法”，把握數學的內在聯系，真正達到“入寶山而不空返”的效果．

3.4 在解題中激數學之趣

什么是學科育人？一方面，弘揚主旋律、傳播正能量毫無疑問屬于學科育人．另一方面，營造出意蘊悠然的磁場，散發出引人入勝的氣息，令孩子們流連忘返、興趣盎然、欲罷不能，此乃數學教師的責任擔當．《義務教育數學課程標準（2022年版）》提出了要讓學生“對數學具有好奇心和求知欲，了解數學的價值，欣賞數學美，提高學習數學的興趣”［4］的數學教學目標．“數學之趣”即讓學生感受“數學好玩”，從而激發數學探究興趣．如引導學生通過探究與思考找到問題解決的思路，發現獨特、簡捷的方法，哪怕這個過程是艱難的、曲折的，但學生從中享受到成功的快樂，獲得了愉悅的心理體驗，從而對數學產生更加濃厚的興趣，形成了刻苦鉆研的意志品質．這也是學科育人的重要方面．

本題呈現的五種方法依次從兩對三角形相似到一對三角形相似，從“三角形相似法”到“銳角三角函數法”再到“三角形面積法”得到線段間的數量關系，思路與方法不斷優化；所列方程從“難解”的一元三次方程到容易轉化為一元二次方程的三次方程，再到直接列出一元二次方程，讓解題者體驗到數學解題的過程也是不斷追求簡約美的過程．同時還發現，“直角三角形相似”“銳角三角函數”和“面積法”等方法在本質上是一致的，讓人們感受到數學內在的統一美．“方法五”中的“面積法”看上去過程比較復雜，但結論一眼洞穿．將“平行四邊形”改為菱形后得到美麗的黃金三角形，從而通過剪拼還能得到漂亮的“五角星”，讓人們領略到了數學結構的和諧美．通過對問題進行質疑與反思，發現原結論在條件弱化后仍成立，運用了從特殊到一般與變中不變的思想，體現了數學思想的本質美……這些數學的美讓解題者獲得心理上的愉悅感，從而反過來激發解題者對數學探究的興趣，這正是學科育人的具體體現．

4 結束語

解題是數學教與學的一種重要手段．得乎其上，取乎其中．數學解題的“得法”“明理”“悟道”“激趣”四者中，“法”其下，“趣”其上．鞏固數學知識、掌握解題方法是數學解題的基本功能．但數學解題重在明理、貴在悟道，只有理解其中的數學原理，感悟問題的數學本質，才能真正發揮數學解題的應有作用．更為重要的是，如果能像玩游戲一樣玩解題，并體驗其中的樂趣而樂此不疲，那就達到了數學解題的最高境界．

參考文獻

［1］鄭瑄，沈吉兒．也談“好的例題教學是照亮學生解題的燈塔”［J］．數學通報，2020，59（08）：40-45．

［2］王紅權．思維教學：發揮數學解題教學的過程價值［J］．中學教研（數學），2023（07）：18-22．

［3］陸正海．從教到考 再談通性通法的教學［J］．數學通報，2013，52（04）：49-56．

［4］中華人民共和國教育部．義務教育數學課程標準：2022年版［M］．北京：北京師范大學出版社，2022：11．

作者簡介 裘秀琴（1981—）女，浙江寧波人，中小學高級教師；主要從事中學數學教學、解題與命題研究．