立足“基本” 學會思考 重在建構

【摘 要】 在解決求線段最值問題時，需要培養學生的邏輯推理、問題分析、數學運算和構造歸納等能力.以一道求線段最值題為例，從“基本經驗”出發，尋求知識之間的聯系，引導學生學會思考的方法，重在建構為手段，培養學生核心素養.

【關鍵詞】 基本圖形；基本經驗；線段最值；核心素養

數學是思維的體操，問題是數學的心臟.在解決數學問題過程中，學生的邏輯推理、問題分析、數學運算和構造歸納等能力都得到了培養.求線段最值問題是初中數學中的難點之一，學生常常感到無從下手.這類問題需要學生有一定的思維能力和分析能力，能夠從復雜的問題中尋找出規律和方法.因此，在解決這類問題時，引導學生從“基本圖形”和“基本經驗”出發，通過思考和探究，尋找出解決問題的方法.最后落腳到課本知識點，建構知識體系，完善思想方法，達到對知識理解升華，在此過程中培養學生核心素養.

1 試題呈現及解答分析

原題 如圖1，△ABC中，AB=AC=5，BC=8，D，E分別是BC，AC上的動點，∠ADE=∠B=∠C，求AE的最小值.

1.1 從“想到一個熟悉的題目或基本圖形”探索解題方向

在通讀題目，理順條件和結論之后，最自然的想法就是“觀察未知量，并盡量想出一道你所熟悉的且具有相同或相似未知量的題目”或者這里有一個與你現在的問題有聯系且早已解決的問題.

分析 圖中存在一個學生熟悉的基本“一線三等角”模型，然后，從“基本經驗”出發，尋求知識之間的聯系.因為AE+CE=5，所以AE=5-CE，求AE的最小值就是求CE的最大值.設BD=x，CD=8-x，易證△ABD∽△DCE，得CEBD=CDAB，即CEx=8-x5，CE=x（8-x）5，AE=5-x（8-x）5=15（x-4）2+95，所以AE的最小值為95.

小結 此方法利用函數求最值.先找出與要求線段相關的等量關系，建立此線段的函數模型，再利用函數的最值去求解.

1.2 從“基本經驗”出發，尋找突破點，關聯題目條件

我們發現需要用到解決問題的“基本經驗”，最后回到原點，直指結論，需要“基本思想”進行轉化，提煉出“直觀后的理性分析”是解題的最佳策略［1］.

分析 通過觀察、分析，利用三角形外角和知識等，發現圖中還存在另一對相似，△ADE∽△ACD，故AEAD=ADAC，即AEAD=AD5，AE=AD25，求AE最小值轉化成求AD的最小值，而AD⊥BC時AD最小值為3，故AEmin=325=95.

小結 轉化思想在解題中有很好的指導作用.AE的最小值不好直接求，而AD的最小值可直接求，能否把求AE的最小值轉化到求AD的最小值？這就為解題指明了一種方向.利用△ADE與△ACD相似，找出AE與AD的關系式，成功把求AE的最小值轉化到求AD的最小值.

反思與總結 通過這道題的解答過程，我們可以看到學生應用知識解決問題的過程.一些學生熟悉“一線三等角”模型，他們從這個模型入手思考；而另一些學生熟悉“養母子”型相似，他們通過這一對相似三角形找到AE與AD的數量關系.無論是哪種方法，他們都成功地找到了解決問題的途徑.

在日常教學中，應該從多角度、多層次引導學生對已知條件進行觀察、分析，透過現象看本質，抓住知識的本質特征；引導學生進行探究，尋找不同條件之間的內在聯系，尋找普遍適用的規律；引導學生將復雜問題簡單化、特殊化，追求解題方法的簡潔、明快［2］.通過這樣的訓練，提升學生更好地掌握知識和運用知識的能力.同時，通過例題的教學，我們也可以培養學生觀察、分析和解決數學問題的能力.看到一條線上有三個角相等時，我們會去想“一線三等角”相似；看到有兩個角相等再找一個公共角時，也可得出相似從而找到等量關系；可以利用函數知識求最值，也可以利用垂線段最短來求解.例題兩種解法后，老師引導學生學會思考，這是從兩個不同路徑去求解問題，一個運用函數求最值，一個運用轉化思想把AE的最小值轉化為AD的最小值，但它們也有共同點，都是通過相似得出等量關系.

2 學會思考

2.1 從“基本經驗”出發，尋求知識之間的聯系

分析1 圖2中∠ADE=∠B為一個定角，這個定角所對邊為AE，AE是一條動邊.“定角對定邊”可構造圓來求解，定角對動邊也可構造圓來思考.作△ADE外接圓，如圖2.

因為∠AOE=2∠ADE=2∠B，過O作OH⊥AE交AE于H，所以∠AOH=∠B，易求sinB=35，AH=35r，AE=2AH=65r.因此求AE最小值轉化成求r最小值，如圖3，當圓O與BC相切時圓半徑r最小，此時OD⊥BC，易證A，O，D在同一直線上，AD=2r=3，r最小值為32，故AE最小值=65×32=95.

通過思考，定角對動邊，可構造圓來思考.因圓周角確定，故圓心角也確定，動邊與半徑數量關系也隨之確定，把求AE的最小值轉化求圓的半徑最小值.如何求圓半徑的最小值呢？因圓與BC有一交點D，當圓與BC相切時圓最小.

鞏固練習 如圖4，在矩形ABCD中，AB>BC，BC=6cm，點M在AB邊上，從A向B運動.連接MD，以M為頂點，MD為一邊作∠DMN=45°，另一邊交CD于點N.在運動過程中，求線段DN長度的最小值.

分析2 構造△MDN外接圓⊙O，如圖5. 圖5

∠DON=2∠DMN=90°，DN=2r，r越小DN越小，當圓O與直線AB相切時r最小，方法如分析1.換個角度，能否用不等式來求半徑的最小值？因定角頂點M到動邊所在直線距離為6，是一個定值.而M到動邊所在直線距離還有一種表達方式：MO+OH，它們都可用r表示，為r+22r，顯然MO+OH≥6，即r+22r≥6，r≥12-62，故DN=2r≥122-12，所以DN最小值為122-12.

通過對上述問題的進一步思考，發現此題與原題相同點都是定角頂點在直線上移動，而動邊也在一條直線上變化，求此動邊的最小值.我們通過構造圓來進行求解時，均是把要求的動邊長度用圓半徑來表示，再轉換到求半徑的最小值.而求半徑最小值又想到數學原理：直線外一點與直線上所有點連線中，垂線段最短.先把定角頂點到動邊所在直線路線長度用r表示，如圖3中D-O-A為2r，圖5中M-O-H為r+22r，利用垂線段最短，圖3中可列不等式2r≥3，圖5中，r+22r≥6，從而求出r的最小值，再得到動邊長度最小值.而例題中用的不是定角頂點D到動邊AE垂線段最短這一數學原理，它是利用定點A與BC上動點D路線長度最小值為點A到直線BC距離垂線段最短，而點A與動點D路線長度用r表示.

2.2 從和諧擴展的視角，提出另一形式的問題

是否還有其它情況呢？想出幾個與此題相類似有聯系的有關問題，即適當改變條件，提出另一形式的問題，予以求解.

拓展一 等腰直角三角形頂角夾半角，求半角所對邊的最小值

如圖6，△ABC中，CB=AC=2，∠ACB=90°，D，E分別為AB上兩個動點，且∠DCE=45°，求DE的最小值.

分析3 構造△DCE外接圓⊙O，如圖7.∠DOE=2∠DCE=90°，DE=2r，r越小DE越小，此題明顯看出并不是圓O與直線AB相切時r最小，那r什么時候最小呢？觀察發現定角頂點C不動，動邊DE在AB上運動，而點C到AB距離垂線段CF最短，另外點C到直線AB距離用r表示為CO+OH=r+22r，顯然CO+OH≥CF，即r+22r≥2，r≥22-2，故DE=2r≥4-22，所以DE最小值為4-22.

拓展二 正方形頂角夾半角，求半角所對邊的最小值

如圖8，邊長為2的正方形ABCD中，F，E分別為BC，DC上兩個動點，且∠EAF=45°，求EF的最小值.

分析4 構造△AEF外接圓⊙O，如圖9.∠FOE=2∠EAF=90°，FE=2r，r越小FE越小，此題也明顯看出并不是圓O與直線相切時r最小，那r什么時候最小呢？觀察發現定角頂點A不動，動邊DE一端點E在CD上運動，另一端點F在CB上運動，而點A與點C兩點之間線段最短為AC，另外A到C路線用r表示為AO+OH+CH=r+22r+22r，顯然AO+OH+CH≥AC，即r+22r+22r≥22，r≥4-22，故EF=2r≥42-4，所以EF最小值為42-4.

反思與總結 這些題之間發現有什么共同的東西沒有？從和諧擴展的視角，這一塊知識是怎樣生長與發展的？

分析1是從學生熟悉的“定角對定邊，無中生圓”出發，提出定角對動邊，能否也無中生圓？嘗試試驗發現動邊與半徑長度比是確定的，但這個圓是動的，如何找到圓的半徑最小值就是此類問題得到解決的關鍵.有的是相切時圓最小，如上面例題中分析1、鞏固練習中分析2；有的不是相切時圓最小，如拓展一中分析3、拓展二中分析4.這些題之間有什么共同的東西沒有？如何找到它的通性通法呢？發現它們的最值與初中數學教材平面幾何有關線段最值問題的定（公）理有關，有的是直線外一點到直線上所有點連結的線段中垂線段最短，如分析1、分析2、分析3；有的是兩點之間線段最短，如分析4.

3 重在建構

初中數學教材平面幾何有關線段最值問題的定（公）理有：①直線外一點到直線上所有點連結的線段中垂線段最短；②兩點之間線段最短；③三角形第三邊小于兩邊之和，大于兩邊之差.通過原題及拓展的研究，發現它們都是立足教材，解決它們的原理是教材中的定理或公理，只要將線段最值問題與這些定理公理結合求解，就會尋找出解題思路.原題及鞏固練習和拓展主要用到定（公）理①②，定（公）理③也有很好的應用，下面舉一例進行應用.

例如，圖10是一種推磨工具模型，圖11是它的示意圖，已知AB⊥PQ，AP=AQ=3dm，AB=12dm，點A在中軸線l上運動，點B在以O為圓心，OB長為半徑的圓上運動，且OB=4dm，在點B的運動過程中，求點P與點O之間的最短距離.

分析5 如圖12，連結B′P′，OB′，OP′，因為OB′=4，B′P′=A′B′2+P′A′2=122+32=317，在△OP′B′中，OP′最小值為|B′P′-OB′|=317-4. 圖12

小結 此題充分運用知識遷移的原理，突出基本定（公）理的教學.設計相應的題型，強化訓練，讓學生看到定（公）理的靈活運用，所有的題目都是圍繞著核心知識點來轉，只是變了一個形式，是知識的不同角度、多方位的解讀和訓練，是檢測認知結構是否牢固的試金石，從而加強知識間的內在聯系.

反思與總結 上面圍繞求線段最值建構了求線段最值的知識體系，通過原題練習及拓展的分析，更系統理解這些定（公）理內容及適用條件.同時，在研題過程，我們又從不同角度，不同知識去解決同一問題，多種解法培養發散思維，尋找各種解法共性，聚集關鍵知識點與思想方法；而通過不同知識解決同一問題，加強不同知識間的關聯，把不同知識聯系起來，使學生形成一個最佳的認知結構，真正體會異曲同工之妙.在解決問題同時又培養學生模型、轉化、構造等數學思想方法，在此過程培養學生數學核心素養，在系統化知識理解同時，又增加了學生體驗，補充了學生數學思想，完善學生數學抽象、模型、轉化、構造核心能力.同時，從一個更高角度指導學生去解決問題，培養了學生學習素養，提高學生學習力.它們之間的關聯可用圖13表示.

4 結束語

羅增儒教授認為，數學核心素養并非獨立于數學知識，而是寓于數學知識之中.它不是通過直觀獲得的，而是通過不斷探索、實踐和思考而形成的.在教學中，我們注重從學生已有的基本活動經驗出發，引導學生學會思考，重在建構知識體系與積累核心方法.對于動態問題的解決，它需要我們以靜制動，動中找靜，把握問題的本質，尋找最佳的解決方案.這是一個復雜的過程，需要豐富的數學思想和方法，但只有這樣，我們才能真正提高學生解決數學問題的能力，讓他們學會獨立思考，發現問題的本質，找到解決問題的方法.

參考文獻

［1］俞凱.用好“三個一”，講好一道題［J］.中學數學教學，2016（04）：36-37.

［2］奚喜兵.謀定而后功：幾何動點問題的解決策略［J］.中學數學，2015（10）：79-80.

作者簡介 陳丹盛（1982—），女，浙江舟山人，中學一級教師;主要研究課堂教學方法與實踐;曾獲浙江省新生代數學優質課評比一等獎，全國初中青年教師數學優質課評比二等獎.