考慮運輸損耗和運輸成本的多狀態配送網絡可靠性評估

徐秀珍, 張媛媛, 何燦, 岳名揚, 牛義鋒

(重慶郵電大學現代郵政學院, 重慶 400065)

配送網絡是商品流通的基礎設施,其高效、穩定運行對經濟社會發展至關重要。配送網絡通常可抽象為由一系列點和邊組成的網絡,其中,每個點可以代表需求地、供應地、轉運中心或者配送中心等等,每條邊代表兩點之間的物流運輸活動[1]。在現實的物流配送過程中,由于受車輛故障、交通事故或者道路封閉等不確定因素的影響,網絡中每條運輸邊的運輸能力通常具有多種狀態[2],導致配送網絡的配送能力也具有多種狀態。因此,配送網絡常常被建模為一個多狀態流網絡模型,其中,網絡的每條邊具有相互獨立的、有限的、取非負整數的多種容量[1,3-5]。

在多狀態流網絡模型下,給定需求水平d,配送網絡可靠性Rd是指網絡能夠把d單位的商品需求從出發地成功輸送到目的地的概率。可靠性指標Rd僅關注網絡的配送能力,而在物流活動中,運輸成本也是度量配送網絡服務效率的重要指標。因此,用包含運輸成本和可靠性的綜合指標Rd,b來評估配送網絡的服務質量,其定義為網絡能夠把d單位的商品需求從供應地配送到需求地且總的運輸成本不超過給定預算費用b的概率。為了計算Rd,b,Jane等[3]提出了一種基于容量向量空間分解的直接評估方法。文獻[5-7]也提出了評估Rd,b的間接方法。間接評估方法首先根據流量分配模型求解滿足需求量d和預算費用約束b的極小容量向量,然后再利用容斥定理或不交和方法計算Rd,b。白光晗等[8]對多狀態網絡可靠性評估算法及其效率提升方面的研究進展進行了總結,可以看出,多狀態網絡可靠性的求解方法得到了不斷完善,并廣泛應用于現實中的網絡系統。值得注意的是,盡管現有研究考慮了可靠性和運輸成本約束,但較少關注到運輸過程中的商品損耗問題。

在實際生活中,許多產品屬于易腐易損商品,如雞蛋、水果、牛奶、肉類等。這些商品在運輸過程中容易受到天氣、溫度、碰撞等因素的影響而腐爛或變質,因此,一些研究者開始從不同角度關注易腐商品的物流活動。在考慮商品運輸損耗基礎上,Keize[9]研究了物流配送網絡最優設計問題。李淑敏等[10]以網絡的級聯失效過程仿真生鮮庫存流量的動態分配,構建一種符合生鮮農產品易腐特性的供應鏈網絡級聯失效模型。徐林坤[11]研究了易腐農產品冷藏集裝箱多式聯運路徑優化問題,在對冷藏集裝箱多式聯運成本和時間分析的基礎上建立了最小成本路徑優化模型。張瑾等[12]研究了帶容量和軟時間窗約束的易腐食品冷鏈物流車輛路徑問題。但上述研究多圍繞確定性配送網絡展開,沒有考慮網絡配送能力的隨機特性,也沒有關注可靠性問題。

當存在運輸損耗時,配送網絡送達目的地的完好商品數量可能無法滿足市場需求,因此,考慮運輸損耗的物流配送網絡可靠性問題更具有現實意義。同時考慮運輸損耗和運輸成本約束,Lin等[1]將配送網絡可靠性定義為,網絡輸送到目的地的完好商品數量能夠滿足市場需求,且總的運輸成本不超過給定預算費用的概率。假設每條極小路(minimal path,MP)關聯著一個固定損耗率,Lin等[1]提出了一種配送網絡可靠性評估方法,其中極小路是指,從出發地到目的地的一條有向路徑,且該路徑中不包含有向圈。基于同樣的假設,Lin等[13]還將商品供應地的生產能力限制考慮到了配送網絡可靠性問題中。注意到Lin等[1,13]研究的網絡模型無法刻畫一條運輸邊損耗率的變化對整個網絡可靠性的影響。

從網絡可靠性的視角出發,重點關注多狀態配送網絡在運輸損耗和運輸費用約束條件下能夠滿足市場需求的能力。鑒于在實際的配送活動中,一條運輸邊的損耗率的變化常常會對多條極小路上的商品損耗產生影響。因此,為了更準確、更合理反映運輸損耗對配送網絡可靠性的影響,引入損耗因子來刻畫每條運輸邊的運輸損耗,在此基礎上計算極小路對應的損耗因子,進而根據需求流量和運輸損耗研究建立網絡流分配策略。基于此分配策略、運輸邊容量約束以及運輸成本約束,建立考慮運輸損耗和運輸成本的多狀態物流配送網絡可靠性評估模型,提出一種計算配送網絡可靠性的極小容量向量方法。通過實例分析驗證算法的有效性,并結合對損耗率的敏感度分析,從可靠性視角給出配送網絡關鍵運輸邊的識別方法,為決策者在配送網絡運營維護方面提供決策指導。

1 模型構建

用G(V,E)表示一個具有λ個源點s1,s2,…,sλ和單一匯點t的多狀態配送網絡,其中,V為由表示供應地、轉運中心或需求地的節點組成的集合,E={ai|1≤i≤m}為有向運輸邊的集合,其中ai為第i條運輸邊。由于不確定性的存在,每條運輸邊都有多種運輸能力,為了便于理解,統一用容量來代稱運輸能力。假定運輸邊ai有πi種容量,即0=hi1

定義1?x?表示不小于x的最小整數。

1.1 理想流向量和實際流向量的關系

首先,用一個簡單網絡來闡明考慮運輸損耗和不考慮運輸損耗兩種情況下網絡流的區別。圖1中的簡單網絡包含一個源點(供應地)s、一個匯點(市場或需求地)t以及兩條邊a1和a2,顯然網絡中有兩條極小路MP1,1={a1}和MP1,2={a2}連接s和t。假設a1和a2分別有3種容量狀態:0、1和2,且t點的需求d=2。如果不存在運輸損耗(即r1=r2=0),顯然流向量(2, 0)(即通過a1和a2的商品流分別為2和0組成的向量)滿足市場需求d=2。然而,假設當路段a1和a2的損耗率分別為r1=0.05和r2=0.08時,流向量(2, 0)不再能夠滿足市場需求d=2,因為此時輸送到需求地t的完好商品流為1.9

圖1 一個簡單網絡Fig.1 A simple network

給定需求地t的市場需求為d,現引入理想流向量F=(f1,f2, …,fj),其中fj為不考慮運輸損耗時通過極小路MPj的商品流量。根據假設條件1,網絡中的所有商品流都滿足流守恒定律,即流入一個點(除源點和匯點之外)的流量等于流出這個點的流量,基于此,任意滿足下列等式的理想流向量F必定滿足市場需求d。

(1)

需要注意的是,此時得到的流向量沒有考慮運輸損耗,因此將其稱為理想流向量。但是某些商品在運輸過程中容易受到惡劣天氣、碰撞、溫度、運輸時間等的影響而損壞,導致運輸到目的地的完好商品可能無法滿足市場需求,因此,分析存在運輸損耗時的情況。用θj表示MPj的損耗率,則有

(2)

式(2)中:ri為運輸邊ai上的損耗因子。

因此,通過極小路MPj的完好商品流為

(3)

為了確保到達市場的完好商品流能夠滿足市場需求d,引入實際流向量I=(o1,o2, …,oj),其中oj為考慮運輸損耗時通過MPj的實際商品流,且實際流oj由理想流fj通過式(4)的關系式轉化而來。

(4)

圖2是一個具有兩條極小路MP1={a1,a3}和MP2={a2,a3}的配送網絡。假設a1、a2和a3的損耗率分別為r1=0.08,r2=0.1和r3=0.15,市場t的需求d=1。若不考慮運輸損耗,根據等式(1)求得的理想流向量F=(1, 0)滿足市場t的需求d=1;若考慮運輸損耗,則根據等式(2)有o1=?1.279?=2和o2=0,此時,由理想流向量F=(1, 0)轉換而來的實際流向量I=(2, 0)也滿足市場t的需求d=1。此外,需要注意的是,在考慮運輸損耗時求得的實際流向量I=(2, 0)是滿足市場需求d=1的極小實際流向量,即對于任意的實際流向量I*

圖2 多源點單匯點網絡Fig.2 A network with multiple sources and one sink

1.2 實際流向量和容量向量的關系

容量向量X=(x1,x2,…,xm)表示網絡中各條邊當前的容量狀態,其中xi(1≤i≤m)的取值在hi1～hiπi。H=(h1π1,h2π2, …,hmπm)表示網絡的最大容量向量,每一單位商品流消耗的容量用w來表示。給定最大容量向量H,稱實際流向量I是可行的,如果其滿足式(5)、式(6)的容量約束條件。

「woj?≤min{hiπi|ai∈MPj}, 1≤j≤m

(5)

(6)

(7)

式(7)表示通過ai的商品流消耗的容量不能超過ai當前的容量狀態。為了方便起見,用ΔH和ΔX分別為在最大容量向量H和當前容量狀態X下可行的實際流向量集合。

1.3 預算費用約束

在費用約束中主要考慮運輸成本,且總的運輸成本等于每條邊上的運輸成本之和。用B表示配送過程中總的預算費用上限,稱實際流向量I滿足預算費用約束B,如果I滿足式(8)的預算費用約束關系式。

(8)

式(8)表示總的運輸成本不能超過給定的預算費用約束B。

2 基于(d,B,R)-MCV的可靠性評估方法

在考慮運輸損耗和成本條件下,用Reld,B,R表示網絡可靠性,其定義為給定運輸損耗模式R,網絡運輸到市場的完好商品能夠滿足需求d,且總的運輸成本不超過預算費用約束B的概率。對于給定的運輸損耗模式R,如果網絡在容量向量X下存在可行的實際流向量I(∈ΔX)滿足市場需求d和預算費用約束B,則稱X滿足條件(d,B,R)。因此,根據定義,Reld,B,R=Pr{X|X滿足條件(d,B,R)},令Ψ={X|X滿足條件(d,B,R)},則Reld,B,R的計算公式為

(9)

顯然,一個直接計算Reld,B,R的方法是找出所有X∈Ψ,并將它們的概率值相加得到Reld,B,R,但是當網絡規模較大時,這個方法的計算復雜度太大。根據文獻[1]的研究成果,極小容量向量可以用來提高可靠性的計算效率,因此,采取類似的思想。

定義2Ψ中的極小容量向量MCV稱為(d,B,R)-MCV;換言之,若X是一個(d,B,R)-MCV,有Y

2.1 (d, B, R)-MCV的求解

根據定義,若X是一個(d,B,R)-MCV,則X滿足條件(d,B,R),即存在一個滿足市場需求d和預算費用約束B的可行實際流向量I∈ ΔX。對于滿足市場需求d和預算費用約束B的可行的實際流向量I∈ΔH,定義容量向量X為

(10)

首先,此定義確保了可行的實際流向量I∈ΔX,其次,因為I滿足市場需求d和預算費用約束B,因此X滿足條件(d,B,R),并且對于任意Y

定理1給定運輸損耗模式R,如果容量向量X=(x1,x2,…,xm)是一個(d,B,R)-MCV,則至少存在一個滿足市場需求d和預算費用約束B的可行的實際流向量I∈ΔH,且容量向量X由式(10)定義給出。

根據定理1,當求得所有滿足市場需求d和預算費用約束B的可行的實際流向量I后,需要將他們轉換為候選(d,B,R)-MCV。根據Lin等[1]的結果可得下面類似的結論,該結論給出了從候選(d,B,R)-MCV中尋找(d,B,R)-MCV的方法。

定理2如果X是候選(d,B,R)-MCV集合中的極小元素,則它一定是一個(d,B,R)-MCV。

根據定理2,所有候選(d,B,R)-MCV需要進一步驗證是否是真正的(d,B,R)-MCV,這里可以采用比較法對候選(d,B,R)-MCV進行驗證,同時也能夠刪去重復的(d,B,R)-MCV,比較法的詳細步驟可參見文獻[1]。

2.2 Reld,B,R的計算步驟

根據以上討論,下面給出計算可靠性指標Reld,B,R的具體步驟。

步驟1找出滿足需求約束的理想流向量F,如式(1)所示。

步驟2將理想流向量F轉換為實際流向量I,如式(4)所示。

步驟3驗證實際流向量I是否可行。若沒有I同時滿足約束條件式(7)和式(8),則Reld,B,R=0并停止計算。

步驟4根據可行的實際流向量I定義容量向量X,如式(10)所示。

通過步驟4得到的容量向量X被稱為候選(d,B,R)-MCV。

步驟5利用比較法從候選(d,B,R)-MCV中得到(d,B,R)-MCV。

步驟6利用不交和方法計算Reld,B,R。

3 算例分析

用圖3中的網絡作為例子來闡明前面提出的算法。網絡中每條邊的容量狀態分布以及單位運輸費用如表1所示。該網絡共有4條連接供應地和市場的極小路,其中MP1={a1,a5}和MP2={a2,a6}連接s1和t,MP3={a3,a5}和MP4={a4,a6}連接s2和t。假設每條邊的運輸損耗率分別為r1=0.06、r2=0.1、r3=0.02、r4=0.03、r5=0.02、r6=0.01,即運輸損耗模式R=(0.06, 0.1, 0.02, 0.03, 0.02, 0.01),1單位商品流消耗0.6單位的容量,即w=0.6。給定市場需求d=3,預算費用約束B=18,接下來首先求解滿足市場需求d=3和預算費用約束B=18的極小容量向量(d,B,R)-MCV,然后再利用(d,B,R)-MCV計算Reld,B,R。

表1 圖3中每條邊的相關數據

圖3 一個簡單的配送網絡Fig.3 A simple distribution network

步驟1找出滿足需求約束的理想流向量F。

f1+f2+f3+f4=3

(11)

式(11)中:f1、f2、f3、f4分別為MP1、MP2、MP3、MP4的理想流,用枚舉法求得20個理想流向量,如表2的第1列所示。

表2 各步驟的計算結果

步驟2將步驟1求得的所有理想流向量F轉換為實際流向量I。例如,將F1=(1, 1, 1, 0)轉換為實際流向量:o1=2,o2=2,o3=2,o4=0,因此I1=(2, 2, 2, 0),求得的所有實際流向量如表2的第2列所示。

步驟3驗證實際流向量I是否可行,即是否滿足容量約束W=(2, 1, 2, 2, 3, 2)和預算費用約束B= 18。

(12)

求得4個可行的實際流向量,如表2的第3列所示。

步驟4將每個可行的實際流向量I轉換為容量向量X。

結果如表2第4列所示。

步驟5用比較法求得2個極小容量向量(d,B,R)-MCV:X1和X3[注意X2和X4是重復(d,B,R)-MCV]。

步驟6最后通過不交和法求得Reld,B,R=0.928 32。

即在給定運輸損耗模式R下,網絡運輸到市場的完好商品能夠滿足需求d=3,且總的運輸成本不超過預算費用約束B=18的概率為0.928 32。

4 數值分析

圖4為某第三方物流企業關于商品A的一個物流配送網絡。該網絡包含4個供應地,5個轉運中心,1個需求地。從4個供應地到需求地的極小路共有16條。一般來說,商品A被裝入標準包裝盒,其中一個標準盒可以裝10 kg商品A。在運輸過程中,標準盒通常被裝入長6.096 m的標準箱里,每個標準箱最多能夠裝600標準盒商品A;為方便起見,這里假設1單位需求代表300標準盒商品A,因此,1單位需求消耗0.5個容量單位,即w=0.5。網絡中各條路段的信息如表3所示(該信息可根據歷史數據統計得到)。其中,網絡中每條運輸路段的容量代表所對應的承運商所能承擔的商品運輸能力。以運輸邊a1來說,Pr(x1=h13)=Pr(x1=2)=0.115表示運輸邊a1上的承運商在一定時間內能夠提供2個運輸箱的概率是0.115。那么,該承運商在一定時間內至少能夠提供2個運輸箱的概率即為Pr(x1=h13)+Pr(x1=h14)+Pr(x1=h15)=0.958。

表3 網絡中每條邊上的承運商的容量數據

圖4 一個物流配送網絡Fig.4 A logistics distribution network

4.1 不同預算費用下的網絡可靠性評估

在物流活動中,隨著預算費用的增長,網絡可靠性通常會有所提高,但此類影響并非是一成不變的,當費用達到一定的區間時,往往會出現一個可靠性閾值。為了驗證不同預算費用約束對網絡可靠性的影響,假定市場對商品A的需求為1 800標準盒,即d=6,測試了預算費用從B=70 000以1 000的增長幅度增長至B=84 000時不同預算費用下的網絡可靠性,結果如圖5所示。和預期一樣,網絡可靠性隨著預算費用B的增多從0.796 5增長到0.897 4。此外,當預算費用從70 000增加至77 000時,網絡可靠性增長顯著,意味著在該預算費用區間內,新增相同的預算費用將產生更大的經濟效益;但當預算費用從77 000增加至84 000時,網絡可靠性增長幅度不明顯,可靠性值在0.891 0～0.897 4范圍內。若此時管理者希望網絡可靠性超過0.890 0,為了實現利潤最大化,預算費用B=77 000無疑是最佳選擇。

圖5 不同預算費用下的網絡可靠性Fig.5 Network reliabilities under different budget constraints

4.2 關于損耗率的敏感性分析

可靠性是度量物流配送網絡服務質量的一個核心指標。因此,利用敏感性分析方法來確定網絡可靠性對運輸邊損耗率的敏感程度,進而為提升配送網絡服務質量提出決策建議,其中敏感度最高的運輸邊意味著該運輸邊損耗率的增長對網絡可靠性的影響最大。給定市場需求d=6,B=60 000,首先假設每條運輸邊的運輸損耗率為0(即不考慮運輸損耗),計算得到可靠性為0.988 784;然后每次將其中一條邊的運輸損耗率從0增加至0.1,同時保持其他邊的運輸損耗率為0。例如,令r1=0.1,其他邊的運輸損耗率為0時,得到網絡可靠性為0.988 658,與不考慮運輸損耗時的網絡可靠性相比下降了0.000 125。重復此過程,計算結果如表4所示。根據表4的結果可以看出,考慮運輸損耗時的網絡可靠性都低于不考慮運輸損耗時的網絡可靠性,且對于給定的d=6,B=60 000,邊a15的運輸損耗率對網絡可靠性的影響最大。為進一步驗證所得結論,還分析了在保持其他邊的損耗率為0時,依次將運輸損耗率變為0.4的情況,計算結果如表5所示,進而從可靠性的視角識別出了關鍵運輸邊a15。換言之,此條邊的運輸活動應該受到更大重視,以降低運輸損耗對網絡可靠性的影響。

表4 邊ai關于損耗率的敏感性分析

表5 邊ai關于損耗率的敏感性分析

5 結論

(1)運輸損耗在商品配送過程中是一種普遍現象,運輸損耗的存在使得配送到目的地的商品可能無法滿足市場需求。為量化物流配送網絡在運輸損耗條件下的服務能力,基于運輸邊損耗率和商品需求水平,建立實際流向量和理想流向量之間的對應關系,并在考慮運輸邊容量約束和運輸成本約束條件下,提出可行實際流向量概念。進而構建了運輸損耗和成本約束下的配送網絡可靠性評估模型。

(2)利用極小容量向量的概念,提出計算運輸損耗和運輸成本約束下的商品配送網絡可靠性評估方法,所提出的方法共分為兩個階段:第一階段,在考慮運輸損耗的情況下求解滿足市場需求和預算成本約束的所有極小容量向量;第二階段通過不交和方法計算網絡可靠性。并借助于敏感性分析確定網絡可靠性水平對運輸邊損耗的敏感程度,從而為管理者在配送網絡運營方面提供決策指導。

(3)在實際的商品配送過程中,運輸損耗的發生還涉及時間等其他因素。因此,未來還需將配送時間納入可靠性分析范疇,并進一步擴展所構建的可靠性模型,從而使其更加符合實際需求。