從動腦思考轉(zhuǎn)為動手思考的代數(shù)變形

趙建平 方秀娟

摘要：文章以巧用拼圖因式分解為例，思考如何將初中數(shù)學課堂教學中的動腦思考一步步轉(zhuǎn)向動手思考，再從動手操作里逆向抽象出簡約的數(shù)學模型，從不同紙片的拼接或者疊放的探究來解決代數(shù)變形問題，對基本圖形的拼接、疊加和優(yōu)化，將初中數(shù)學中的十字相乘法分解因式巧妙轉(zhuǎn)化為拼圖游戲課.通過抓住面積不變的關鍵點，讓學生進行動手操作并深度思考，從而在圖形的變化探尋中感受代數(shù)式變形的奧秘，激發(fā)學生的數(shù)學興趣，培養(yǎng)其核心素養(yǎng).

關鍵詞：動腦思考；動手思考；代數(shù)變形；拼圖建構；語言轉(zhuǎn)化

中圖分類號：G632文獻標識碼：A文章編號：1008-0333（2024）11-0053-03

浙教版初中數(shù)學七年級教材中的因式分解，針對十字相乘法的教學篇幅很少而且內(nèi)容很淺，但高中及后續(xù)數(shù)學學習對這方面的要求卻比較高.為更好掌握十字相乘法分解因式，嘗試用拼圖游戲的思路來設計本課，讓學生在抽象的代數(shù)變形中將動腦思考轉(zhuǎn)變?yōu)榭刹僮鞯膭邮炙伎糩1].

1 設計動腦思考解決不了的劣構問題

七年級學生對于二次項系數(shù)不是1的二次三項式還不能因式分解，教材中只對二次項系數(shù)為1的整式采用十字相乘法分解，課前設計一個學生不能解決的問題，利用“挖坑”的學習法激發(fā)學生的認知沖突，引發(fā)其動手思考.

例1把多項式3a2+7ab+2b2因式分解.

在學生一籌莫展時，直接給出圖片信息作為輔助.已有面積分別為a×a，b×b，a×b的A型、B型、C型紙片若干，拼成圖形如右圖所示，根據(jù)圖片信息，思考能否幫助完成剛才的因式分解問題.

觀察圖1可以得出，長方形恰由3個A型、2個B型的正方形紙片以及7個C型的長方形紙片構成，面積即為3a2+7ab+2b2，同時長方形的面積也可以表示為（3a+b）（a+2b），即為長與寬的乘積，所以3a2+7ab+2b2=（3a+b）（a+2b）.根據(jù)因式分解時定義，此即為因式分解的結果.

設計意圖：引導學生在回憶已有的因式分解方法（提取公因式法、公式法等）的基礎上，思考當遇到已有的知識不能解決的問題時如何更進一步地探究.圖形信息的轉(zhuǎn)換之間，可以直接讀出代數(shù)語言作為結論，圖形的語言信息究竟還可以有哪些規(guī)律性的結論幫助我們進行代數(shù)上的分解，觸發(fā)了對以上拼圖問題的進一步的思考.

2 搭建可操作性強的動手思考平臺

通過有啟發(fā)的嘗試與探究，巧用拼圖解決了較為簡單的二次三項式因式分解后，通過層層推進有梯度的三個學生活動在拼圖中進行技巧探尋，從而搭建了許多動手思考的平臺，讓學生利用提供的“支架”進行深度思考.

例2按要求完成下列活動：

活動1：回憶完全平方公式（a+b）2=a2+2ab+b2對應的幾何圖形.

分析學習過程中其實已經(jīng)涉及圖形語言與代數(shù)信息的關聯(lián)探討.圖2是邊長為（a+b）的正方形，可以拆解成1個a×a，1個b×b的正方形以及2個a×b的紙片.該公式從左往右看為整式乘法，從右往左看即為因式分解，所以若能倒推先得到圖形的面積構成及拼法，就能通過從外圍邊長反推因式分解結果.

活動2：如圖3，思考1個a×a、4個b×b的正方形以及4個a×b的紙片還可以拼成怎樣的規(guī)則圖形，得到怎樣的等式.

活動3：想要拼得再大一點的正方形，至少還需要不同類型的紙片多少張，對于不同小正方形的紙片數(shù)量各有什么要求？（各類正方形紙片數(shù)量都是平方數(shù)1，4，9，……）

活動4：有3張A型（a×a），4張B型（b×b），5張C型（a×b）紙片．從中取出若干張紙片，每種紙片至少取一張，把取出的這些紙片拼成一個正方形（無空隙、無重疊地拼接），求拼成的正方形邊長的最大值.

分析在得到了拼成正方形所需的小正方形數(shù)量上的規(guī)律后，范圍內(nèi)只有1張A型、4張C型紙片的數(shù)量是滿足要求的，深化學生對于拼圖過程中數(shù)量規(guī)律的理解.

活動5：分別選取適當數(shù)量的A型（a×a）、B型（b×b）、C型（a×b）紙片，拼出一個長、寬分別為（a+2b）和（a+b）的長方形，求需要A型、B型、C型紙片各自的張數(shù)，并思考如何擺放.

設計意圖：從拼成正方形推廣到更為普遍的長方形，一步步探究拼圖過程中的數(shù)量規(guī)律（正方形數(shù)量各為平方數(shù)）和位置規(guī)律（相等邊貼著放，正方形對角放，定邊長再平移）.基本拼圖規(guī)律的總結，讓之后深入運用與問題思考有跡可循.

3 拓展多維開放的動手思考空間

通過不同的動手嘗試與思考，解決拼圖過程的思維阻焊點.本課例中設計三個有深度問題，引發(fā)學生多角度去思考，拓展了更加開放的動手思考的空間，讓學生進行從圖形變化到代數(shù)變形的自我建構[2]，從而利用“支架”進行深度思考.

例3完成下列問題：

問題1：思考a2+5ab+6b2的因式分解結果.

分析1張a×a，6張b×b的正方形紙片擺放位置需要先確定，后者就有1×6，6×1，2×3，3×2幾種不同位置情況，引導學生深度思考，當填補部分需要a×b的長方形個數(shù)剛好為5個時可以判斷該種擺放方式符合要求.利用分類討論的思想進行具體分析.顯然，第三、四兩種情況剛好滿足拼圖要求.此時因式分解的結果為a2+5ab+6b2=（a+3b）（a+2b）或a2+5ab+6b2=（a+2b）（a+3b）.

設計意圖：圖5通過分類討論面積為a2與b2的正方形的擺放位置去湊剩余部分滿足中間項5ab的做法，類比于用十字相乘法因式分解中的“拆兩頭，湊中間”來驗證的思想.

問題2：能否用適當數(shù)量的A型、B型、C型卡片，拼成一個面積為2a2+3ab+3b2的長方形.

分析圖6不論兩類正方形的位置怎么擺放，所需要面積為a×b的長方形個數(shù)都不能剛好為三個，因此無法用拼圖所得.

設計意圖：若二次三項式無法進行因式分解，進而對應面積的長方形不可能通過拼圖所得.發(fā)現(xiàn)了這一因式分解的驗證依據(jù)，進一步引申對長方形面積的思考：即用來拼圖的正方形與長方形紙片張數(shù)有一定的數(shù)量要求.通過問題循序漸進地拋出與解決，慢慢引導學生發(fā)現(xiàn)并探究拼圖過程中的規(guī)律.

問題3：若取A型、B型、C型卡紙片若干張（三種紙片都要取到），拼成一個長方形，使其面積為4a2+mab+b2，求m的值．

設計意圖：小組合作的形式，讓學生發(fā)散性地對得到的知識進行驗證與思考，在組內(nèi)合作討論、組間交流學習過程中，進一步深化對應用性知識的理解.

4 反思與建構動手思考后的活動經(jīng)驗

對小組合作及動手操作中積累的活動經(jīng)驗進行反思，提煉拼圖與解決問題中的爬坑經(jīng)驗.本課例中的問題思考，正是反思與建構動手思考后的理論感悟，讓學生在已有經(jīng)驗上遷移應用[3].

例4問題思考：對下列多項式a2-ab-2b2進行因式分解.

分析回憶平方差公式（a+b）（a-b）=a2-b2對應圖形的由來，如圖7，若長方形的面積表達式中出現(xiàn)負號，巧用割補法把不規(guī)則圖形通過先切割、再找等邊進行拼接組成規(guī)則圖形即可得到a2-ab-2b2=（a+b）（a-2b）.

設計意圖：負號的引入，引發(fā)學生聯(lián)想平方差公式推導過程中割補法的運用.從不規(guī)則圖形轉(zhuǎn)化成規(guī)則圖形的化歸思想，以及從遇到問題到方法找尋的思考探究過程，讓學生進一步感受數(shù)學學習中數(shù)形結合、層層遞進的美妙感.

5 結束語

通過先給學生設計用動腦思考無法直接解決的實際問題，激發(fā)學生認知沖突后創(chuàng)新，再搭建讓學生操作的動手思考平臺，進而逐步啟發(fā)與拓展多維的動手思考空間，最后進行理論提煉后積累活動經(jīng)驗，從而解決生活中的實際問題.本課例通過拼圖，利用給定面積的長方形的長與寬，引導學生在數(shù)形結合的思想中用拼圖進行因式分解，通過“外拼”與“內(nèi)割”總結不同類圖形的拼接規(guī)律，巧借拼圖將數(shù)學符號語言與數(shù)學圖形語言進行了結合，讓多維的圖形變化歸一成簡約的代數(shù)變形表達，從而在數(shù)學動手操作中培養(yǎng)學生核心素養(yǎng).

參考文獻：

［1］ 章建躍.核心素養(yǎng)導向的初中數(shù)學教學變革[J].中學數(shù)學教學參考，2023（1）：2-5.

[2] 陶明.PISA數(shù)學測評與我國數(shù)學教育測評比較探究[J].中小學數(shù)學，2021（7）：90-92.

[3] 陸卓濤，安桂清.學科實踐的內(nèi)涵、價值與實現(xiàn)路徑[J].課程·教材·教法，2022（9）：73-77.

［責任編輯：李璟］