強化“三思維”，破解三角形

林翠 劉德金

摘要：解三角形問題可以有效溝通初中平面幾何與高中相關知識，實現知識的交匯與融合，一直是高考中的基本考點，本文中結合高考真題加以實例分析，從不同思維視角切入，強化破解三角形問題的“三思維”，總結規律，啟示教學，指導數學教學與解題研究.

關鍵詞：三角形；正弦定理；余弦定理；坐標；幾何

解三角形試題一直是歷年高考命題的基本考點與熱點問題之一，有時以解答題的形式出現，有時以選擇題或填空題的形式出現，簡單直觀，變化多端.此類問題可以很好實現初中數學與高中數學之間的無縫鏈接，綜合體現“在知識點交匯處命題”的高考命題指導思想，合理交匯與融合解三角形、函數、三角函數、平面幾何與平面解析幾何、基本不等式等相關知識，備受命題者青睞.

1真題呈現

高考真題如圖1，在△ABC中，∠B=60°，AB=2，M是BC的中點，AM=23，那么AC=＿＿＿＿；cos∠MAC=＿＿＿＿.

2真題剖析

此題以浙江卷所特有的特色——“兩空”形式展現，通過三角形一邊的中點引入，使得三角形“一分為二”，結合相關的邊長與角度來巧妙設置，進而求解對應的邊長與相應角的余弦值問題.

題目簡單易懂，條件簡明扼要，破解時，可以從解三角形問題的背景出發，或借助解三角形思維來處理，或建立平直直角坐標系結合坐標法來運算，或通過平面幾何來直觀推理與運算等，都可以達到合理處理、巧妙破解的目的.

3真題破解

思維視角一：解三角形思維.

方法1：“正弦定理+余弦定理”法.

解析：在△ABM中，由正弦定理得ABsin∠AMB=AMsinB，

則有sin∠AMB=AB·sinBAM=12，結合AB

所以∠BAM=90°，又M是BC的中點，所以BM=CM=4，則有BC=8.

在△ABC中，由余弦定理，得AC2=22+82－2×2×8cos60°=52，可得AC=213.

在△AMC中，由余弦定理，得cos∠MAC=AM2+AC2－MC22AM·AC=12+52－162×23×213=23913.

點評：根據題目條件，結合“已知兩邊與一邊的對角”選擇正弦定理來切入，求得對應角的正弦值，并通過三角形的性質確定對應角，利用直角求得三角形一邊的長度，再利用余弦定理求得第三邊的長度，并確定對應角的余弦值.巧妙借助正弦定理與余弦定理的聯合應用來合理解決相關的解三角形問題.

方法2：誘導公式法.

解析：以上部分同方法1，可得AC=213.

在△ABC中，由正弦定理得BCsin∠BAC=ACsinB，則有sin∠BAC=BC·sinBAC=23913.

所以可得cos∠MAC=sin（90°+∠MAC）=sin（∠BAM+∠MAC）=sin∠BAC=23913.

點評：在求得三角形第三邊長度的情況下，通過正弦定理的轉化，并利用誘導公式的應用，進而確定對應角的余弦值.巧妙利用直角的轉化，通過誘導公式的應用來處理相應三角形內角的三角函數值.誘導公式法的應用，是在特殊角的背景下才可以實現的.

方法3：余弦定理法.

解析：在△ABM中，由余弦定理，得

AM2=BA2+BM2－2BA5BMcos60°.

所以有（23）2=22+BM2－2×25BM512，整理得BM2－2BM－8=0，解得BM=4或－2（舍去）.

由于M是BC的中點，因此MC=4，BC=8.

在△ABC中，由余弦定理，得AC2=22+82－2×2×8cos60°=52，可得AC=213.

在△AMC中，由余弦定理，得

cos∠MAC=AM2+AC2－MC22AM·AC=23913.

點評：根據題目條件，結合“已知兩邊與一邊的對角”選擇余弦定理來切入，建立對應的方程來求得對應線段的長度，利用中點關系求得三角形一邊的長度，再利用余弦定理求得第三邊的長度，并確定對應角的余弦值.巧妙借助余弦定理來綜合處理形式各樣的解三角形問題，方程思想的應用有助于簡化解題過程，提升解題效益.

思維視角二：坐標思維.

方法4：坐標法.

解析：如圖2所示，以B為坐標原點，BC所在直線為x軸建立平面直角坐標系.

根據題目條件可知A（1，3）.

設M（t，0）（t>0），

則有AM2=（t－1）2+3=12，解得t=4或－2（舍去），

所以M（4，0）.結合M是BC的中點，可得C（8，0）.

所以AC=（1－8）2+（3）2=213.

又由于AM=（3，－3），AC=（7，－3），因此cos∠MAC=AM·AC|AM||AC|=21+323×213=23913.

點評：根據平面直角坐標系的建立，結合條件確定相關點的坐標并設出對應點的坐標，利用兩點間的距離公式建立關系式確定對應的參數值，進而確定所設點的坐標，通過中點性質的應用確定相關點的坐標，利用兩點間的距離公式求得三角形第三邊的長度，并利用平面向量的數量積公式的變形來求解對應角的余弦值.借助坐標法，通過代數運算來解決對應的解三角形問題，對數學運算能力的要求較高.

思維視角三：平面幾何思維.

方法5：幾何法.

解析：如圖3所示，取AC的中點N，連接MN，由于M是BC的中點，則有MN=12AB=1.

在△ABM中，利用余弦定理有AM2=BA2+BM2－2BA5BMcos60°.

于是有（23）2=22+BM2－2×25BM512，整理得BM2－2BM－8=0，解得BM=4或－2（舍去）.

由于AB2+AM2=BM2，因此∠BAM=90°，則有MN⊥AM.

因而AN=AM2+MN2=13，所以AC=2AN=213.

在Rt△AMN中，cos∠MAC=AMAN=2313=23913.

故填答案：213；23913.

點評：通過平面幾何圖形的數形直觀，取相應邊的中點，利用三角形的中位線定理確定對應的線段長度，結合“已知兩邊與一邊的對角”選擇余弦定理來切入，建立對應的方程求得對應線段的長度；通過三角形中三邊長滿足勾股定理確定垂直關系，進而結合平行線的性質轉化垂直關系，確定對應的線段長度，進而求得三角形第三邊的長度，并利用直角三角形中三角函數的定義求解對應邊的余弦值.借助幾何法，合理添加輔助線，直觀形象，通過平面幾何知識來轉化與應用，邏輯推理能力強.

4教學啟示

解決解三角形問題最常見的思維方式主要包括以下三種：

（1）解三角形思維，

借助正弦定理、余弦定理以及三角形的基本性質、面積公式等加以轉化與應用.用此思維破解問題時，關鍵是通過正弦定理、余弦定理等合理溝通三角形的邊與角的聯系，實現條件與結論之間的相互轉化，或解方程，或解三角函數等，借助代數運算，進行必要的邏輯推理與代數運算等處理.

（2）坐標思維，

借助平面直角坐標系的建立，通過坐標運算來轉化與應用.合理構建平面直角坐標系，把三角形放置其中，通過點的坐標的確定、向量的坐標的建立、直線方程的表示等，合理轉化，或利用距離公式、夾角公式等來轉化相應的長度、角的大小問題，將幾何問題抽象為純代數問題，利用平面解析幾何或平面向量的相關知識來分析與處理.

（3）平面幾何思維，

借助平面幾何的直觀形象性加以轉化與應用.合理構建平面幾何圖形中的邊、角、線段等，添加相應的輔助線，通過平面幾何的相關知識來轉化邊、角關系，以初中平面幾何知識交匯高中三角函數等相關知識，合理邏輯推理，巧妙代數運算，綜合處理與巧妙應用.