線性規劃常見題型及解法例析

汪珊珊

線性規劃問題是高考的必考內容和熱點之一，主要考查在線性約束條件下的函數最值問題以及應用線性規劃的方法解決一些實際問題；內容涉及到了所有題型，其中選擇題和填空題的分值占6～8分，解答題中分值高達10～15分，其重要性可見一斑.所以，無論是在平時的學習還是高考備考中，我們都應該注重學習和掌握線性規劃知識，強化解題訓練，熟知常見題型及解題方法，這樣才能在考場上應對自如地獲取高分，不斷提升自身的數學綜合能力.現將線性規劃常見的題型及解題的思路與方法歸納如下.

1以數形結合思想為指導，解決函數問題

例1（2022年高考浙江卷）若x，y滿足約束條件x－2≥0，2x+y－7≤0，x－y－2≤0，

則z=3x+4y的最大值是（）.

A.20

B.18

C.13

D.6

解析：畫出不等式組對應的可行域，如圖1所示.

當動直線3x+4y－z=0過點A時，z有最大值.

由x=2，2x+y－7=0，可得x=2，y=3，

則A（2，3）.

故當x=2，y=3時，

zmax=3×2+4×3=18.

故選：B.

思路與方法：本題運用數形結合思想，采用了圖解法求最值，先在平面直角坐標系中畫出可行域，然后平行移動直線z=3x+4y即可求出最大值.

例2（2022年重慶市仿真試題）變量x，y滿足約束條件x+2y≥3，7x+10y≥17，x≥0，y≥0，求z=3x+5y的最小值.

解析：畫出約束條件表示的點（x，y）的可行域，如圖2所示的陰影部分（包括邊界直線）.作直線l：3x+5y=0，把直線l向右上方平行移至l1的位置時，直線經過可行域上的點M，此時，l1：3x+5y－z=0的縱截距最小，則z=3x+5y取得最小值.由方程組x+2y=3，7x+10y=17，解得M（1，1）.故當x=1，y=1時，z的最小值為8.

思路與方法：本題根據已知的約束條件先在直角坐標平面上作圖（畫出可行域和直線），然后把直線l向右上方平行移到l1，再通過解方程組得到點M的坐標，最后求出最小值.

2轉化不規則圖形，利用公式求面積

例3（2023年安徽省蕪湖市第二次診斷試題）已知不等式組2x+y－6≥0，x+y－3≤0，y≤2.求該不等式組表示的平面區域的面積.

解析：根據所給的不等式組作出可行域，如圖3所示.由圖3可知，△ABC的面積即為所求.易得

S梯形OMBC=12×（2+3）×2=5，S梯形OMAC=12×（1+3）×2=4.

所以S△ABC=S梯形OMBC－S梯形OMAC=5-4=1.

思路與方法：本題中的可行域是三角形，而這個不規則的三角形面積很難直接求解，于是將它看作梯形OMBC的一部分，利用梯形OMBC與梯形OMAC的面積之差即可得到△ABC的面積.這是把不規則圖形轉化為規則圖形來解決的思路.

例4（2022年安徽師大附中模擬題）如果a≥0，b≥0，且當x≥0，y≥0，x+y≤1時，恒有ax+by≤1，求以a，b為坐標的點P（a，b）所構成的平面區域的面積.

解析：設z=ax+by，根據題意可知，想要ax+by≤1恒成立，當且僅當z=ax+by的最大值小于或等于1，z的最大值只能在平面區域內的A（1，0），O，B（0，1）三點處取得，因此只需要A，O，B三點的坐標都滿足不等式ax+by≤1，即0≤a≤1，0≤b≤1時，則點P（a，b）構成的平面區域是邊長為1的正方形，故面積是1.

思路與方法：本題中由于存在字母系數，很多學生都感到一時無從下手，這時就需要運用轉化的思想，把不熟悉的問題轉化為熟悉的正方形面積問題來解決.

3建立對應關系式，求參數的取值或范圍

例5（2022年浙江杭州二中測試題）若實數x，y滿足不等式組x+3y－3≥0，2x－y－3≤0，x－my+1≥0，且x+y的最大值為9，則實數m的值為（）.

A.－2

B.－1

C.1

D.2

解析：因為直線x－my+1=0過定點（－1，0），根據x+y=z取最大值及另外兩個線性不等式大致作出可行域（如圖4所示），則平移直線x+y=0可知，z應在點A處取最大值9.

由x+y=9，2x－y=3，解得x=4，y=5.

又因為點A（4，5）在直線x－my+1=0上，所以m=1.

故選：C.

思路與方法：本題屬于線性問題中含有參數，要求參數的取值問題.首先確定可行域，然后結合題意尋找符合條件的最優解，建立相對應的關系式（方程組）即可獲解.

4用線性規劃解決實際問題

例6（2022年安徽省蕪湖市一中檢測卷）某百貨公司倉庫A存有貨物12t，倉庫B存有貨物8t，現按7t，8t和5t把貨物分別調運給甲、乙、丙三個商場.從倉庫A運貨物到商場甲、乙、丙，運費分別為8元/t、6元/t、9元/t；從倉庫B運貨物到商場甲、乙、丙，運費分別為3元/t、4元/t、5元/t.問應如何安排調運方案，才能使得從兩個倉庫運貨物到三個商場的總運費最少？

解析：（1）模型建立.設倉庫A運給甲、乙商場的貨物分別為xt，yt，則由表1可知倉庫A運給丙商場的貨物分別（12－x－y）t，從而倉庫B運給甲、乙、丙商場的貨物分別為（7－x）t，（8－y）t，（x+y－7）t，于是總運費為

z=8x+6y+9（12x－x－y）+3（7－x）+4（8－y）+5（x+y－7）

=x－2y+126.

所以得到的數學模型為：求z=x－2y+126在約束條件12－x－y≥0，7－x≥0，8－y≥0，x+y－7≥0，x≥0，y≥0，即x+y≤12，0≤x≤7，0≤y≤8，x+y≥7下的最小值.

（2）模型求解.作出上述不等式組表示的平面區域，即可行域，如圖5所示.

作出直線l：x－2y=0，把直線l平行移動，顯然當直線l移動到過點A（0，8）時，在可行域內z=x－2y+126取得最小值zmin=0－2×8+126=110，則x=0，y=8時，總運費最少.

（3）模型應用.安排的調運方案如下：

倉庫A運給甲、乙、丙商場的貨物分別為0t，8t，4t，倉庫B運給甲、乙、丙商場的貨物分別為7t，0t，1t，此時，可使得從兩個倉庫運貨物到三個商場的總運費最少.

思路與方法：本題屬于實際問題中給定一項任務，問怎樣統籌安排，使完成這項任務耗費的人力、物力資源量最小的問題.解答這類問題的主要思路是運用轉化思想，通過設元，寫出約束條件和目標函數，將實際問題轉化為數學中的線性規劃問題來解決.

例7（2022年天津市大港區模擬試題）某公司計劃今年內同時出售電子琴和洗衣機，由于這兩種產品的市場需求量非常大，有多少就能銷售多少，因此該公司要根據實際情況（如資金、勞動力等）確定產品的月供應量，以使得總利潤達到最大.已知對這兩種產品有直接限制因素的是資金和勞動力，通過調查，得到這兩種產品的有關數據如表2.

（如圖6中陰影部分內的整點）.令z=0，作直線l：6x+8y=0，當平行移動直線l過可行域內的點A時，z=6x+8y能夠取得最大值.由方程組30x+20y=300，5x+10y=110，得x=4，y=9.

將A（4，9）代入z=6x+8y，得

zmax=6×4+8×9=96.

所以當月供應量為電子琴4架、洗衣機9臺時，公司可獲得最大利潤是96百元.

思路與方法：本題是給定一定的人力、物力資源，問怎樣運用這些資源，使完成的任務量最大，收到的效益或利潤最大.解答這類問題時，首先要認真審題，明確約束條件中有無等號，未知數是否有限制等；其次是寫出線性約束條件及目標函數，然后作出可行域，在可行域內求出最優解；最后將求解出來的結論反饋到具體的實例中，設計出最佳方案.

綜上所述，線性規劃問題在實際生產和生活中應用十分廣泛，解決線性規劃問題的基本方法是圖解法，它是數形結合思想、等價轉化思想以及函數思想與方法的具體體現.靈活運用線性規劃知識，可將一些抽象的、不熟悉的、難度較大的問題化為具體的、熟悉的、較簡單的問題來解決；學會并掌握這些解題思路與方法，能夠幫助我們快速、準確地找到解決問題的突破口，有助于不斷提高數學綜合解題能力.