切點弦場景創設，定點與動點軌跡

盧闖

切點弦是二次曲線中一類比較特殊的弦，其是由二次曲線外的一點向二次曲線引兩條切線，連接兩切點的線段.特別對于拋物線中的切點弦問題，更是其中一個具有獨特屬性的知識點，備受關注.

1問題呈現

問題（2024屆廣東四校高三第一次聯考數學試卷·16）過P（m，－2）向拋物線x2=4y引兩條切線PQ，PR，切點分別為Q，R.又點A（0，4）在直線QR上的射影為H，則焦點F與H連線的斜率的取值范圍是＿＿＿＿.

2問題剖析

此題以過定直線中的動點向拋物線引兩條切線來設置問題場景，結合拋物線切點弦的構建，以及定點到切點弦上的射影的給出，確定焦點到對應射影的連線的斜率問題，以直線斜率的取值范圍來構建問題.

本題涉及動點、切點、定點、射影、焦點等眾多類型的點，切線、弦點弦、焦點與射影的連線等對應類型的直線，創設一個“動”“靜”結合的和諧場景，以定直線上動點的變化帶動切線的變化，引起切點弦的變化，進一步帶動定點在切點弦上的射影的變化，最后直接關系到焦點與射影連線的斜率的變化，“定值”與“變量”的巧妙轉化，構建一個動態情景，同時也為問題的解決提供切入點.

本題可以從眾多類型的點入手加以設點法處理，也可以從眾多類型的直線入手加以設線法處理，都可以很好達到解決問題的目的.若理解并掌握圓錐曲線切點弦公式的話，可直接利用“二級結論”快捷處理.

而對于該問題，當動點P（m，－2）中m=0時，焦點F與點H的連線是一條怎樣的直線，是否存在斜率呢？這也是該問題命制過程中的一個弊端所在，要加以合理的修正與改進，以保證命題的完善性.

3問題破解

方法1：設點法——導數思維.

解析：設Q（x1，y1），R（x2，y2），則有y1=14x21，y2=14x22.

依題y=14x2，求導可得y′=12x.

根據導數的幾何意義可得，切線PQ的方程為y－14x21=12x1（x－x1），整理有y=12x1x－y1.

而點P（m，－2）在切線PQ上，則有－2=12x1m－y1，即x1m－2y1+4=0，

所以（x1，y1）是方程mx－2y+4=0的解，即點Q是直線mx－2y+4=0上的點.

用x2替換x1，用y2替換y1，可知點R也是直線mx－2y+4=0上的點.

所以直線QR的方程為mx－2y+4=0.

將上述方程變形，得mx=2（y－2），從而直線QR過定點B（0，2）.

而由于AH⊥BH，|AB|=2，

則知點A在直線QR上的射影H的軌跡就是以AB為直徑的圓，其方程為x2+（y－3）2=1.

圖1

當FH與該圓相切時，結合平面幾何性質可知，直線FH的斜率分別為－3，3，如圖1所示.

故焦點F與H連線的斜率的取值范圍是（－∞，－3]∪[3，+∞）.

解后反思：通過設點法，結合導數的幾何意義來確定圓錐曲線的切線方程，為進一步求解圓錐曲線的切點弦提供條件.這是圓錐曲線的切點弦方程求解的一種“通性通法”.而基于拋物線的切點弦方程，通過對直線過定點的挖掘，以及射影軌跡的判斷，為數形結合確定對應直線斜率的極端情況打下基礎.同時要注意直線斜率的取值范圍以及圖形之間的聯系，不要出現混淆.

方法2：設線法——方程思維.

解析：設切線PQ，PR的方程分別為

y=k1（x－m）－2，y=k2（x－m）－2.

聯立y=k1x－k1m－2，x2=4y，消去參數y并整理可得x2－4k1x+4k1m+8=0，

由判別式Δ=16k21－4（4k1m+8）=0，化簡有k21－k1m－2=0，

可得x1=x2=2k1，則Q（2k1，k21），

用k2替換k1，同理可得R（2k2，k22）.

于是可知k1，k2是方程k2－km－2=0的兩個根，利用韋達定理可得k1+k2=m，k1k2=－2.

而直線QR的方程為y－k21=k22－k212k2－2k1（x－2k1），即y=k1+k22x－k1k2，亦即y=m2x+2，

變形可得mx=2（y－2），從而直線QR過定點B（0，2）.

以下部分同方法1（此略），可知焦點F與H連線的斜率的取值范圍是（－∞，－3]∪[3，+∞）.

解后反思：通過設線法，結合方程的判別式來確定圓錐曲線的切點弦所在的直線方程，為進一步求解圓錐曲線的切點弦提供條件.這是圓錐曲線的切點弦方程求解的另一種“通性通法”.思維視角不同，對數學基礎知識的理解與應用也有所側重，關鍵是把握問題的內涵與實質，巧妙加以綜合與應用.

方法3：性質法.

解析：由圓錐曲線的切點弦方程的“二級結論”

可知，直線QR的方程為mx=4×－2+y2=2（y－2），從而直線QR過定點B（0，2）.

以下部分同方法1（此略），可知焦點F與H連線的斜率的取值范圍是（－∞，－3]∪[3，+∞）.

解后反思：熟練掌握圓錐曲線的切點弦方程的“二級結論”——過曲線Ax2+Cy2+Dx+Ey+F=0（A，C不同時為零）外一點M（x0，y0）作曲線的兩條切線MP，MQ，切點分別為P，Q，則切點弦PQ所在的直線方程為Ax0x+Cy0y+D·x0+x2+E·y0+y2+F=0.作為課外拓展與提升知識，供學有余力或參與競賽的學生參考，在把握“二級結論”的基礎上，解題更加簡單快捷，很好地提升解題效益.

4問題辨析

在以上問題中，對于動點P（m，－2），若m=0時，此時點P（0，－2），過點P向拋物線x2=4y引兩條切線PQ，PR，利用拋物線的對稱性可知，切點Q，R關于y軸對稱，由此可得點A（0，4）在直線QR上的射影H在y軸上，而焦點F（0，1）也在y軸上，可知FH的方程為x=0，此時，FH的斜率不存在.

由以上問題的特殊場景分析可知，在原問題的設置中，應該把m=0這一特殊情況排除在外，由此對原問題進一步加以改進如下：

問題過P（m，－2）（m≠0）向拋物線x2=4y引兩條切線PQ，PR，切點分別為Q，R.又點A（0，4）在直線QR上的射影為H，則焦點F與H連線的斜率的取值范圍是＿＿＿＿.

這樣修改后，問題更加合理與完善，不存在漏洞或不合理的地方，而具體的解析過程也更加合理有效.

5變式拓展

借助原問題解析過程中的產物，可以得到一些相應的變式問題.

5.1定點問題

變式1過P（m，－2）向拋物線x2=4y引兩條切線PQ，PR，切點分別為Q，R，則直線QR恒過的定點的坐標是＿＿＿＿.（答案：（0，2）.）

由此可得更加一般性的結論：

結論：過P（m，a）（a<0）向拋物線x2=2py（p>0）引兩條切線PQ，PR，切點分別為Q，R，則直線QR恒過的定點的坐標是（0，－a）.

5.2軌跡問題

變式2過P（m，－2）向拋物線x2=4y引兩條切線PQ，PR，切點分別為Q，R.又點A（0，4）在直線QR上的射影為H，則動點H的軌跡方程是＿＿＿＿.

（答案：x2+（y－3）2=1.）

6教學啟示

二次曲線（圓、橢圓、雙曲線與拋物線）中的切點弦問題，是平面解析幾何中一類綜合性較強的問題，解決這類問題的“通性道法”主要有兩種：

（1）結合函數與導數的應用，利用導數的幾何意義確定對應的切線方程，進而加以深入綜合與應用；（2）結合函數與方程的應用，利用方程的判別式確定對應的切線方程，同時為切點弦的確定提供條件.

而特殊的思維技巧就是借助二次曲線的切點弦方程的“二級結論”，直接利用公式確定切點弦方程，快速解決問題.

常規的技巧方法是我們必須理解并掌握的知識，也是對此類問題的基本要求，需要借助知識的學習與練習的訓練加以掌握與應用；而特殊的思維技巧給我們的課外學習開辟了一個更加寬廣的空間，提供了更加簡單快捷的技巧與方法.