高考數學復習備考策略的研究

董同明

摘要：我國的中學數學教育正經歷著前所未有的變革，在“新課程、新教材、新高考”背景下對高考數學復習備考的教學提出了新的要求.文章從四方面分析高考數學復習備考策略，以適應教育教學和高考命題改革的需要.

關鍵詞：數學復習；備考策略；高考試題

中圖分類號：G632文獻標識碼：A文章編號：1008-0333（2024）11-0002-04

本文以2023年全國卷高考數學試題為例，從下述幾方面對高考數學復習備考的策略進行研究.

1 數學復習要強調基礎性

深化基礎考查是高考數學命題的根本，雖然高考數學試題千變萬化，但不變的是數學的基礎知識、基本技能和基本思想方法.

例1（新高考Ⅰ卷第2題） 已知z=1-i2+2i，則

z-z-=（）.

A.-iB.iC.0D.1

試題分析本題考查復數的代數形式、復數代數形式的運算、共軛復數的概念等基礎知識和基本方法.由題意首先計算復數z的值，然后利用共軛復數的定義確定其共軛復數即可.

解析 因為z=1-i2+2i=（1-i）（1-i）2（1+i）（1-i）=-2i4=-12i，

所以z-=12i.

即z-z-=-i.

故選A.

2 數學復習要突出綜合性

作為選拔性考試的高考，綜合性就成為高考數學命題的重要特征.高考數學命題依據課程標準，落實“綜合性”考查要求，彰顯學科核心素養，突出對主干、重點知識、內容及關鍵能力的考查，考查綜合應用知識的能力.高考復習備考要重視知識點的交叉，學會從一個知識點向另一個知識點轉化的方法，即轉化條件、轉化結論.學會在不同的知識點之間建立起橋梁，學會對各個知識點進行挖掘、擴展，既深入思考又廣開思路，這是復習備考的核心問題.

例2（乙卷理第21題）已知函數f（x）=（1x+a）ln（1+x）.

（1）當a=-1時，求曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程；

（2）是否存在a，b，使曲線y=f（1x）關于直線x=b對稱，若存在，求a，b的值，若不存在，請說明理由；

（3）若f（x）在（0，+

SymboleB@

）上存在極值，求a的取值范圍.

試題分析該題考查導數知識的綜合應用，設置了三個小題：第（1）小題由題意首先求得導函數的解析式，然后由導數的幾何意義確定切線的斜率和切點坐標，最后求解切線方程即可；第（2）小題首先求得函數的定義域，由函數的定義域可確定實數b的值，進一步結合函數的對稱性利用特殊值法可得關于實數a的方程，解方程可得實數a的值，最后檢驗所得的a，b是否正確；第（3）小題等價于導函數有變號的零點，據此構造新函數g（x）=ax2+x-（x+1）ln（x+1），然后對函數求導，利用切線放縮研究導函數的性質，分類討論a≤0，a≥12和0

解析 （1）當a=-1時，f（x）=（1x-1）ln（x+1），

則

f ′（x）=-1x2×ln（x+1）+（1x-1）×1x+1.

據此可得f（1）=0，f ′（1）=-ln2.

函數在（1，f（1））處的切線方程為

y-0=-ln2（x-1）.

即xln2+y-ln2=0.

（2）由函數的解析式可得

f（1x）=（x+a）ln（1x+1），

函數的定義域滿足1x+1=x+1x>0，即函數的定義域為（-

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，-1）∪（0，+

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）.所以定義域關于直線x=-12對稱.由題意可得b=-12.

由對稱性可知

f（-12+m）=f（-12-m）（m>12）.

取m=32可得f（1）=f（-2）.

即（a+1）ln2=（a-2）ln12.

則a+1=2-a，解得a=12.

經檢驗a=12，b=-12滿足題意.

故a=12，b=-12.

（3）由函數的解析式可得

f ′（x）=（-1x2）ln（x+1）+（1x+a）1x+1.

由f（x）在區間（0，+

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）上存在極值點，則f ′（x）在區間（0，+

SymboleB@

）上存在變號零點.

令（-1x2）ln（x+1）+（1x+a）1x+1=0，則

-（x+1）ln（x+1）+（x+ax2）=0.

令g（x）=ax2+x-（x+1）ln（x+1），

f（x）在區間（0，+

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）存在極值點，等價于g（x）在區間（0，+

SymboleB@

）上存在變號零點，

g′（x）=2ax-ln（x+1），g″（x）=2a-1x+1，

當a≤0時，g′（x）<0，g（x）在區間（0，+

SymboleB@

）上單調遞減，此時g（x）

SymboleB@

）上無零點，不合題意；

當a≥12，2a≥1時，由于1x+1<1，所以g″（x）>0，g′（x）在區間（0，+

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）上單調遞增，所以g′（x）>g′（0）=0，g（x）在區間（0，+

SymboleB@

）上單調遞增，g（x）>g（0）=0，

所以g（x）在區間（0，+

SymboleB@

）上無零點，不符合題意；

當0

當x∈（0，12a-1）時，g″（x）<0，g′（x）單調遞減，

當x∈（12a-1，+

SymboleB@

）時，g″（x）>0，g′（x）單調遞增，

故g′（x）的最小值為

g′（12a-1）=1-2a+ln2a.

令m（x）=1-x+lnx（0

m′（x）=-x+1x>0，

所以函數m（x）在定義域內單調遞增.所以m（x）

據此可得1-x+lnx<0恒成立.

則

g′（12a-1）=1-2a+ln2a<0.

令h（x）=lnx-x2+x（x>0），則

h′（x）=-2x2+x+1x.

當x∈（0，1）時，h′（x）>0，h（x）單調遞增，當x∈（1，+

SymboleB@

）時，h′（x）<0，h（x）單調遞減，

故h（x）≤h（1）=0.

即lnx≤x2-x（取等條件為x=1）.

所以g′（x）=2ax-ln（x+1）>2ax-［（x+1）2-（x+1）］=2ax-（x2+x），

g′（2a-1）>2a（2a-1）-［（2a-1）2+（2a-1）］=0，且注意到g′（0）=0.

根據零點存在性定理可知：g′（x）在區間（0，+

SymboleB@

）上存在唯一零點x0.

當x∈（0，x0）時，g′（x）<0，g（x）單調遞減，當

x∈（x0，+

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）時，g′（x）>0，g（x）單調遞增，所以g（x0）

令n（x）=lnx-12（x-1x），則

n′（x）=1x-12（1+1x2）=-（x-1）22x2≤0.

則n（x）單調遞減，注意到n（1）=0，故當x∈（1，+

SymboleB@

）時，lnx-12（x-1x）<0.

從而有lnx<12（x-1x）.

所以g（x）=ax2+x-（x+1）ln（x+1）

>ax2+x-（x+1）×12［（x+1）-1x+1］

=（a-12）x2+12.

令（a-12）x2+12=0，得x2=11-2a.

所以g（11-2a）>0.

所以函數g（x）在區間（0，+

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）上存在變號零點，符合題意.

綜上可知，實數a的取值范圍是（0，12）.

3 數學復習要關注應用性

數學應用已經滲透到現代社會及人們日常生活的各個方面，而應用數學解決問題是學生學科核心素養的綜合體現.數學模型搭建了數學與外部世界聯系的橋梁，是數學應用的重要形式.因此，高考命題重視應用數學模型解決實際問題，強化對“應用意識”的考查，既體現課程標準的要求，也是考查學生學科素養的重要手段.

例3（新高考Ⅱ卷第19題）某研究小組經過研究發現某種疾病的患病者與未患病者的某項醫學指標有明顯差異，經過大量調查，得到如圖1所示的患病者和未患病者該指標的頻率分布直方圖：

利用該指標制定一個檢測標準，需要確定臨界值c，將該指標大于c的人判定為陽性，小于或等于c的人判定為陰性.此檢測標準的漏診率是將患病者判定為陰性的概率，記為p（c）；誤診率是將未患病者判定為陽性的概率，記為q（c）.假設數據在組內均勻分布，以事件發生的頻率作為相應事件發生的概率.

（1）當漏診率p（c）=0.5%時，求臨界值c和誤診率q（c）；

（2）設函數f（c）=p（c）+q（c），當c∈［95，105］時，求f（c）的解析式，并求f（c）在區間［95，105］的最小值.

試題分析（1）根據題意由第一個圖可先求出c，再根據第二個圖求出c≥97.5的矩形面積即可解出；

（2）根據題意確定分段點100，即可得出f（c）的解析式，再根據分段函數的最值求法即可解出.

解析（1）根據題意可知，左邊圖形第一個小矩形的面積為5×0.002>0.5%，所以95

q（c）=0.01×（97.5-95）+5×0.002=0.035=3.5%.

（2）當c∈［95，100］時，f（c）=p（c）+q（c）=（c-95）×0.002+（100-c）×0.01+5×0.002=-0.008c+0.82≥0.02；

當c∈（100，105］時， f（c）=p（c）+q（c）=5×0.002+（c-100）×0.012+（105-c）×0.002=0.01c-0.98>0.02.

所以f（c）=-0.008c+0.82，95≤c≤100，0.01c-0.98，100

故f（c）在區間［95，105］的最小值為0.02.

4 數學復習要重視創新性

培養學生的創新精神、創新意識和創新能力是高中數學新課程的重要任務，而在數學探究中發現問題、提出問題，并應用數學知識、思想方法分析問題和解決問題是這種創新性的最好表現.高考命題重視對情境創新性的考查，這就要求我們在高考復習備考中重視和加強對數學創新型問題的研究，并引導學生加強對創新問題的訓練，以適應高考命題的要求.

例4（新高考Ⅱ卷第15題）已知直線l：x-my+1=0與⊙C：（x-1）2+y2=4交于A，B兩點，寫出滿足“△ABC面積為85”的m的一個值.

試題分析根據直線與圓的位置關系，求出弦長|AB|，以及點C到直線AB的距離，結合面積公式即可解出.

解析設點C到直線AB的距離為d，由弦長公式得|AB|=24-d2.

所以S△ABC=12×d×24-d2=85，

解得d=455或d=255.

由d=|1+1|1+m2=21+m2，

所以21+m2=455或21+m2=255，

解得m=±2或m=±12.

故答案為2 （2，-2，12，-12中任意一個皆可以）.

5 結束語

教育部考試中心發布的高考評價體系由“一核”“四層”“四翼”組成，其中：“四翼”即基礎性、綜合性、應用性、創新性為考查要求［1］.高考數學復習備考要強化對實現“四翼”考查要求策略的研究，把復習備考的著眼點放在數學的“問題本質”和能力培養上，將本質性的東西弄熟吃透了，閱讀理解能力及數學抽象、邏輯推理和數據分析、直觀想象和數學建模等數學核心素養提高了，相應的問題便迎刃而解.

參考文獻：

［1］?教育部考試中心.中國高考評價體系說明[M].北京：人民教育出版社，2019.

［責任編輯：李璟］