一道2023年高考題的多解和思考

劉社新

摘要：平面向量作為數學工具對解題有很大幫助，它具有代數和幾何雙重性.以平面向量為背景的試題往往具有迷惑性、開放性，試題通常難度較大，靈活多變，解法新奇.2023年全國乙卷第12題就是一個典例，入口寬、解法多，有研究價值.

關鍵詞：數量積；圓；最值

中圖分類號：G632文獻標識碼：A文章編號：1008-0333（2024）11-0020-04

以平面向量為背景的題目作為高考壓軸題雖然不多，但是每次出現都很新穎，感覺似曾相識，又相去甚遠，入手難，推進更難.這是因為平面向量具有代數和幾何雙重性，往往使題目具有迷惑性、開放性[1].

1 試題呈現

題目（2023年高考乙卷第12題）已知圓O的半徑為1，直線PA與圓O相切于點A，直線PB與圓O交于B，C兩點，D為BC中點，若|PO|=2，則PA·PD的最大值為（）.

A.1+22B.1+222C.1+2D.2+2

2 總體認識

本題作為選擇壓軸題自有其獨到之處，具體表現為：首先，背景知識豐富，有圓與直線相切的位置關系，圓與直線相交的位置關系，弦中點，數量積運算和最值；其次，表象上雖屬于常規題，卻很有新意，融合度高，思路開闊，高度體現了高考的改革風向：注重數學思想、方法的考查.

3 解法探究

思路1按照數量積的定義計算，從題設中尋找兩個向量的模，引入角來聯系向量的模與向量夾角，構造三角函數求最值［2］.

解法1如圖1，連接AO，DO，因為直線PA與圓O相切于點A，所以AO⊥PA.

因為圓O的半徑為1，|PO|=2，

所以△PAO為等腰直角三角形.

所以|PA|=1，∠APO=π4.

設∠OPD=β，當直線PA，PD在PO同側時，記為β負角；當直線PA，PD在PO異側時，記為β正角.

所以β∈（-π2，π2）.

在Rt△PDO中，|PD|=2cosβ.

所以PA·PD=|PA|·PD|cos（π4+β）

=1×2cosβ×cos（π4+β）

=cos2β-sinβcosβ

=22sin（π4-2β）+12

≤1+22，

當β=-π8時，等號成立.

所以PA·PD的最大值為1+22.

故選A.

評析本解法容易想到，但是角β的范圍容易失誤，誤判為銳角，從而取錯最值.對于正負角的考查實屬精辟，也是創新，體現了學以致用的教學精髓.以前不曾在正負角這個知識上做文章，或者說，以前應用較為淺顯.

思路2用特值法固定點A和點P，為引進直線參數方程構造條件，將向量問題轉化為三角問題.

解法2不失一般性，如圖2，依據題意，可令A（0，1），P（1，1）.

易得圓O：x2+y2=1，①

直線PD即BC的參數方程為x=1+tcosα，y=1+tsinα

t為參數，α為直線的傾斜角，②

將②代入①整理，得

t2+2（sinα+cosα）t+1=0.

所以t1+t2=-2（sinα+cosα）.

由參數t的幾何意義知|PD|=|t1+t22|.

所以|PD|=|sinα+cosα|.

數形結合得α∈（0，π2）.

所以|PD|=sinα+cosα.

易知AP∥x軸.

所以PA與PD的夾角為α.

因此PA·PD=|PA|·|PD|cosα

=1×（sinα+cosα）×cosα

=cos2α+sinαcosα

=22sin（2α+π4）+12

≤1+22，

當α=π8時，等號成立.

所以PA·PD的最大值為1+22.

故選A.

評析本解法處理模長和夾角都顯得簡捷，當然概念性更強.將直線BC的傾斜角直接轉化為向量的夾角，比解法1簡單，也使后續運算方便許多.參數方程的引入是本解法的關鍵.

思路3抓住直線與圓相切，以及圓的中點弦，利用垂徑定理，易知A，P，D，O四點共圓，利用平面向量的坐標運算解題.

解法3如圖3，以線段PO所在直線為x軸，線段PO的中垂線為y軸，新的原點記為E，建立平面直角坐標系.

連接AO，因為直線PA與圓O相切于點A，

所以AO⊥PA.

因為D為BC中點，

易得A，P，D，O四點共圓，記為圓E.

因為|PO|=2，

所以圓E：x2+y2=12.

同時，P（-22，0），A（0，22）.

連接DE，設∠DEO=φ，則D（22cosφ，22sinφ）.

于是PA=（22，22），PD=（22cosφ+22，22）.

所以PA·PD=12cosφ+12+12sinφ，

=22sin（φ+π4）+12.

當φ=π4時，PA·PD的最大值為1+22.

故選A.

評析這種方法變換了坐標系，被研究元素的坐標具體化、簡單化，從而使相關向量坐標可視化，于是數量積就水到渠成.將抽象復雜問題簡單化，需要較高的邏輯推理能力，從而簡化運算.

思路4本題中，點P的位置不影響問題的本質，因此可以特殊化，從而可以確定點A，于是可以把問題歸結為動直線BC與圓O的相交關系下的函數問題.

解法4不失一般性，結合題意，設P（-2，0），結合前文，易得A（-22，22）.

圓O：x2+y2=1，設BC：y=k（x+2），

由y=k（x+2），x2+y2=1，得

（1+k2）x2+22k2x+2k2-1=0.

因為直線BC與圓O相交，

所以Δ=8k4-4（1+k2）（2k2-1）>0，

解得-1

另外，xB+xC=-22k21+k2，

所以xD=-2k21+k2.

因為yD=k（xD+2），

所以yD=2k1+k2.

于是PA=（22，22），PD=（21+k2，2k1+k2）.

所以PA·PD=11+k2+k1+k2=1+k1+k2.

令φ（k）=1+k1+k2，-1

則φ′（k）=-1+2k+k2（1+k2）2.

由φ′（k）>0，得-1

由φ′（k）<0，得2-1

所以φ（k）在（-1，2-1）單調遞增，在（2-1，1）單調遞減.

因此φ（k）max=φ（2-1）=1+22.

故選A.

評析本解法是圓錐曲線的通解通法，借助導數求出最值，平時教學加強訓練，既對小題有幫助，又對解析幾何的壓軸大題有支撐作用.

思路5處理復雜函數是學生的難點，解法4中處理函數最值也可以從均值不等式入手，構造均值不等式是關鍵.

解法5結合解法4，

φ（k）=1+k1+k2

=1+k（1+k）2-2k

=1+k（1+k）2-2（1+k）+2

=1（1+k）+2/（1+k）-2，-1

因為-1

所以1+k+21+k≥22.

所以1+k+21+k-2≥22-2>0.

進而11+k+2/（1+k）-2≤122-2=1+22，

當且僅當1+k=21+k，即k=2-1時等號成立.故選A.

評析這類函數最值是常見模型，處理過程中要注意三點：一是定義域的限制，二是定值（常數）的構造，三是當均值不等式失效的情況下，及時利用對勾函數補救.這個問題可以衍生出其他類型的最值問題.

類型1已知h（k）=1+k1+k2，k∈R，求h（k）的值域.特點：定義域開放.

類型2已知h（k）=1-k21+k2，k∈R，求h（k）的值域.特點：解析式中僅含二次項.

類型3已知h（k）=1+k21+k，k∈（-1，1），求h（k）的值域.特點：與類型1比較，分子分母顛倒，更容易構造均值不等式.

類型4已知h（k）=1+k21+k，k∈R，求h（k）的值域.特點：定義域區別于類型3.

類型5已知h（k）=1+k+k21+k2，k∈R，求h（k）的值域.特點：與類型2比較，分子分母均為二次式，且含有一次項.

以上每種類型的處理辦法不盡相同，有興趣的同仁可以仔細研究.

4 高考鏈接

（2017年高考數學課標Ⅱ卷理科第12題）已知△ABC是邊長為2的等邊三角形，P為平面ABC內一點，則PA·（PB+PC）的最小值是（）.

A.-2B.-32C.-43D.-1

參考答案：B.

5 結束語

突破高考壓軸題要在日常教學中下功夫，尤其不能有畏難思想，比如遇到“難題”“新題”就因為害怕而放棄，因為下次可能不再遇見就僥幸過關，因為耗時較多就擱下，等等.事實上，只有加強耐挫力的培養，學生才能提高學習自信心.通過一定次數的磨礪，所謂的難題也就在感覺上變得容易.否則，學生的應試能力節節敗退，高端題害怕，中檔題也擔心.

突破高考壓軸題要在基本功上下功夫，不能搞套路化訓練.因為基本功扎實了，思路就開放了，邏輯就連貫了，運算就準確了，速度也自然提升了.反之，被灌輸一些套路的學生遇到新情景、新問題就只能束手就擒，無計可施，在考場上情緒激動，影響整場考試心理，這就是常說的“平時學得很好，高考沒發揮出來”.本題中，求函數的最值需要學生良好的基礎，無論是三角出口，還是分式函數出口都是日常教學的重點.

參考文獻：

[1]劉族剛，唐忠.一道模擬試題的深度解題[J].數理化學習，2020（10）：29-31.

[2] 候正衛，王勇.2021年高考平面向量考點透析[J].中學生理科應試，2022（Z1）：26-30.

［責任編輯：李璟］