一道高考圓錐曲線試題多解的深度探究與啟示

安中順 余泉

摘要：以一道典型的圓錐曲線問題開展一題多解，體現(xiàn)其中的不同知識和多種思想方法，促進(jìn)知識的融會貫通.不僅有助于提高學(xué)生推理能力和思維的發(fā)展，還有利于學(xué)生核心素養(yǎng)的養(yǎng)成.

關(guān)鍵詞：直線過定點(diǎn)；圓錐曲線；一題多解；數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)

中圖分類號：G632文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A文章編號：1008-0333（2024）11-0071-03

圓錐曲線中直線過定點(diǎn)的問題是近些年高考常考的一種題型，基本都是以壓軸題出現(xiàn)，人們常用“高考常青樹”來形容［1］.對于這一題型學(xué)生很難拿到較高的分?jǐn)?shù)，本文以2020年高考數(shù)學(xué)全國Ⅰ卷理科第20題為例，詳細(xì)討論了本題直線過定點(diǎn)問題多種解法中的6種特別解法.

1 題目呈現(xiàn)與解答

題目已知A，B分別為橢圓E：x2a2+y2=1（a>1）的左、右頂點(diǎn)，G為E的上頂點(diǎn)，AG·GB=8，P為直線x=6上的動點(diǎn)，PA與E的另一交點(diǎn)為C，PB與E的另一交點(diǎn)為D.

（1）求E的方程；

（2）證明：直線CD過定點(diǎn).

解析（1）

由橢圓方程E：x2a2+y2=1（a>1）可得A（-a，0）， B（a，0），G（0，1）.

所以AG=（a，1），GB=（a，-1） .

所以AG·GB=a2-1=8.

所以a2=9.

所以橢圓E的方程為x29+y2=1.

本題第（2）問中，高考參考答案解法破解難度大，需依托數(shù)學(xué)模型，強(qiáng)調(diào)對數(shù)學(xué)思想方法的考查，要求學(xué)生具有較高計算能力和細(xì)致、全面的思維品質(zhì).筆者從近些年的直線過定點(diǎn)考題中分析問題并從深度探究與教學(xué)的不同角度給出建議，用6種不同解法加以闡述.

解法1（斜率比值型）設(shè)C（x1，y1），D（x2，y2），P（6，t）.

若t≠0，設(shè)直線CD的方程為x=my+n，由題意可知-3

所以y1+y2=-2mnm2+9，y1y2=n2-9m2+9.

由此可得y1+y2=-2mnn2-9y1y2.

易求kPB=t3=3kPA.

即kPBkPA=3.即y2（x1+3）y1（x2-3）=3.

將直線方程代入得my1y2+（n+3）y2my1y2+（n-3）y1=my1y2+（n+3）（y1+y2）-（n+3）y1my1y2+（n-3）y1=3.

提取公因式，該等式一定可化為

-（n+3）（d+y1）（n-3）（d+y1）=3，

其中d=my1y2n-3=mn-3·n2-9m2+9=m（n+3）m2+9，

即-（n+3）（n-3）=3，解得n=32.

故直線CD恒過定點(diǎn)（32，0）.

點(diǎn)評斜率比值型kPAkPB=（y1-t）/x1（y2-t）/x2=x2y1-tx2x1y2-tx1=kx1x2+（m-t）x2kx1x2+（m-t）x1式子并不能完全整理為韋達(dá)定理的形式，一般稱為“非對稱韋達(dá)定理”.這時需要通過所求得的韋達(dá)定理找到x1+x2和x1·x2之間的關(guān)系，將其中一個替換，常用方法是把乘法替換成加法.這樣通過韋達(dá)定理構(gòu)造互化公式，先局部互化，然后可整理成對稱型.

具體辦法之一為聯(lián)立方程后得到韋達(dá)定理：x1+x2=f（t），x1x2=g（t），m（t）（x1+x2）=n（t）x1x2代入之后進(jìn)行代換消元解題，在給學(xué)生講解時注意轉(zhuǎn)化思想的引導(dǎo).

解法2設(shè)點(diǎn)P（6，t），直線CD的方程為x=my+n，由題意可知-3

由于直線PA的方程為tx-9y+3t=0，

直線PB的方程為tx-3y-3t=0，

過A，B，C，D四點(diǎn)的曲線系方程可設(shè)為

λ（tx-9y+3t）（tx-3y-3t）+μ（x29+y2-1）=0.

直線CD的方程為x-my-n=0，直線AB的方程為y=0，即y（x-my-n）=0也過A，B，C，D四點(diǎn)，所以λ（tx-9y+3t）（tx-3y-3t）+μ（x29+y2-1）=y（x-my-n），用待定系數(shù)法求解得n=32.

故直線CD恒過定點(diǎn)（32，0）.

點(diǎn)評經(jīng)過兩曲線f1（x，y）=0和f2（x，y）=0交點(diǎn)的一系列曲線的方程為f1（x，y）+λf2（x，y）=0.如果f1（x，y）=0和f2（x，y）=0齊次，則f1（x，y）+λf2（x，y）=0表示過兩已知曲線交點(diǎn)的一系列同構(gòu)的曲線，如果f1（x，y）=0和f2（x，y）=0都是圓，則f1（x，y）+λf2（x，y）=0也是圓.綜合起來，可以理解為f1（x，y）=0和f2（x，y）=0相交形成了曲線系f1（x，y）+λf2（x，y）=0.

解法3（截距式）設(shè)C（x1，y1），D（x2，y2），P（6，t），易知

3kPA=3kAC=kPB=kBD.即3·y1x1+3=y2x2-3.

即3x2y1-y2x1=3y2+9y1.①

由橢圓第三定義知y1x1+3·y1x1-3=-19，y2x2-3·y2x2+3=-19，得

x2y1-3x1y2=-3y1-9y2.②

由①+②，得4x2y1-4x1y2=6y1-6y2.

即a=32.

故直線CD恒過定點(diǎn)（32，0）.

點(diǎn)評設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2）為不同兩點(diǎn)，且AB不與坐標(biāo)軸垂直，則直線AB的橫截距a=y2x1-y1x2y2-y1，縱截距b=y2x1-y1x2x1-x2，先通過猜想定點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，再利用截距式求解.

解法4設(shè)點(diǎn)P（6，t），點(diǎn)C（3cosα，sinα），D（3cosβ，sinβ），則

kAC=kAP=t9=sinα3cosα+3=tan（α/2）3，

kBD=kBP=t3=sinβ3cosβ-3=1-3tan（β/2）.

即tanα2·tanβ2=-13.

設(shè)CD過定點(diǎn)為M（m，0），

由kMD=kCM，得

m=3sin（β-α）sinβ-sinα

=3×2sin［（β-α）/2］·cos［（β-α）/2］2cos［（β+α）/2］sin［（β-α）/2］

=3cos［（β-α）/2］cos［（β+α）/2］

=3［1+tan（α/2）·tan（β/2）］1-tan（α/2）·tan（β/2）

=32.

故直線CD恒過定點(diǎn)（32，0）.

解法5平移使點(diǎn)B（3，0）→（0，0），在新坐標(biāo)系下，設(shè)lC′D′：1=mx′+ny′，并將該直線代入橢圓（x′+3）29+y′2=1中得

9（y′x′）2+6n（y′x′）+6m+1=0.

故有kBD·kBC=y′1x′1·y′2x′2=6m+19=-13.

解得m=-23.

即可知新坐標(biāo)系下直線C′D′恒過（-32，0）.

故直線CD恒過定點(diǎn)（32，0）.

點(diǎn)評對于圓錐曲線中的雙斜率問題， 常規(guī)方法是聯(lián)立方程結(jié)合韋達(dá)定理求解；也可以通過齊次化處理，利用齊次式解決更加方便快捷，可簡化運(yùn)算，降低運(yùn)算難度.

齊次化方法一般適用于兩直線斜率之和（或積）為常數(shù)的題型，可以解決與斜率之和（或積）有關(guān)的定點(diǎn)、定值或軌跡等問題.使用齊次化方法時，需要注意兩個關(guān)鍵步驟：

步驟1：先平移坐標(biāo)系， 將定點(diǎn)P（x0，y0）平移至原點(diǎn)O（0，0），平移公式x′=x-x0，y′=y-y0，其中（x′，y′）為新坐標(biāo)，（x，y）為同一點(diǎn)舊坐標(biāo).

步驟2：設(shè)直線l：mx+ny=1（l不過原點(diǎn)時這樣設(shè)，避免討論斜率是否存在，簡化了解題）與一個二次曲線C：ax2+by2+cxy+dx+ey+f=0交于兩點(diǎn)A，B，顯然該式子是一個二次齊次式，且一定可化為Ay2+Bxy+Cx2=0的形式，即A（yx）2+B（yx）+C=0.

由韋達(dá)定理知k1+k2=-BA，k1k2=CA，解出m，n之一的值或m，n的關(guān)系，進(jìn)而求得直線過定點(diǎn)或定斜率.

解法6設(shè)點(diǎn)P（6，t），則點(diǎn)P對應(yīng)的極線方程為69x+ty=1，因點(diǎn)P對應(yīng)的極線必過AB與CD的交點(diǎn)，即CD必過極線與AB的交點(diǎn)（32，0），故直線CD恒過定點(diǎn)（32，0）.

2 結(jié)束語

通過對圓錐曲線問題的深度探究，學(xué)生從“會通性通法”到“能變式解法”，再到“會創(chuàng)新解法”，有利于培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題和解決問題的能力，在探究過程中讓學(xué)生的綜合素質(zhì)得到發(fā)展.總之，對學(xué)生解壓軸題能力提升的探究不是一朝一夕就能完成的，也不是僅通過幾個題目的多種解法就可以強(qiáng)化的，它需要學(xué)生領(lǐng)會圓錐曲線中直線過定點(diǎn)或定斜率問題呈現(xiàn)背景的多樣性.因此，學(xué)生要注重以必備知識和方法為起點(diǎn)，借助模型和師生合作探究挖掘更多的探究點(diǎn)，從圓錐曲線性質(zhì)多方面進(jìn)行滲透，促進(jìn)學(xué)生將直線過定點(diǎn)或定斜率的知識掌握得更牢固.

參考文獻(xiàn)：

［1］ 胡惠根.“直線與圓錐曲線位置關(guān)系”的判斷新法［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2015（13）：25-27.

［責(zé)任編輯：李璟］