確定圓錐曲線的軌跡方程中范圍的策略

李文東

摘要：文章介紹了確定圓錐曲線的軌跡方程中的范圍的三個(gè)策略：根據(jù)代數(shù)式和方程的意義與范圍、幾何圖形的特征和圖形中的特殊情形.

關(guān)鍵詞：軌跡方程；斜率；范圍

中圖分類號(hào)：G632文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A文章編號(hào)：1008-0333（2024）11-0039-04

求曲線的軌跡方程問(wèn)題是解析幾何的兩個(gè)基本問(wèn)題（求曲線軌跡方程問(wèn)題和根據(jù)方程研究曲線的性質(zhì)）之一.求軌跡方程的方法很多［1］，相對(duì)比較容易掌握，本文不再探討求軌跡方程的方法.在求軌跡方程時(shí)，同學(xué)們面對(duì)的難點(diǎn)是軌跡方程中的變量取值范圍的確定，即軌跡方程的純粹性，這需要我們?nèi)矫妗⒓?xì)致地考慮問(wèn)題.本文探討此類問(wèn)題的常見(jiàn)思考策略.

1 根據(jù)代數(shù)式、方程本身的意義或范圍確定軌跡的范圍

求軌跡方程時(shí)要考慮曲線本身的范圍或代數(shù)式的意義（比如斜率公式的分母不能為零）.

例1已知點(diǎn)A（-2，0），B（2，0），動(dòng)點(diǎn)M與A，B連線的斜率之積為-34，則點(diǎn)M的軌跡方程為.

解析設(shè)M（x，y），則kMA=yx+2，kMB=yx-2.

由題意kMA·kMB=y2x2-4=-34.

整理可得x24+y23=1.

為保證斜率存在，則x≠±2.

因此點(diǎn)M的軌跡方程為x24+y23=1（x≠±2）.

例2若P為橢圓C：x216+y27=1上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)M為過(guò)點(diǎn)P且垂直于x軸的直線上的點(diǎn)，|OP||OM|=λ，求點(diǎn)M的軌跡方程，并說(shuō)明軌跡是什么曲線.

解析設(shè)M（x，y），P（x，y0），點(diǎn)P在橢圓C上，

故x216+y207=1.

即y20=7-716x2.

于是|OP|2=x2+y20=7+916x2 .

由|OP||OM|=λ可得7+916x2=λ2（x2+y2）.

整理，得（16λ2-9）x2+16λ2y2=112.

由于點(diǎn)P在橢圓C上，故x∈［-4，4］.

于是點(diǎn)M的軌跡方程為

（16λ2-9）x2+16λ2y2=112，x∈［-4，4］.

（1）λ=34時(shí)，化簡(jiǎn)得9y2=112.

所以點(diǎn)M的軌跡方程為y=±473（-4≤x≤4），軌跡是兩條平行于x軸的線段.

（2）λ≠34時(shí)，方程變形為

x2112/（16λ2-9）+y2112/16λ2=1，其中x∈［-4，4］.

當(dāng)0<λ<34時(shí)，點(diǎn)M的軌跡為中心在原點(diǎn)、實(shí)軸在y軸上的雙曲線滿足-4≤x≤4的部分.

當(dāng)34<λ<1時(shí)，點(diǎn)M的軌跡為中心在原點(diǎn)、長(zhǎng)軸在x軸上的橢圓滿足-4≤x≤4的部分；

當(dāng)λ≥1時(shí)，點(diǎn)M的軌跡為中心在原點(diǎn)、長(zhǎng)軸在x軸上的橢圓.

2 根據(jù)圖形中的特殊情形（特殊點(diǎn)、特殊位置）確定軌跡的范圍

在求軌跡方程時(shí)，需要考慮幾何圖形中的一些特殊情形，比如三角形的三個(gè)頂點(diǎn)不共線、雙曲線的漸近線對(duì)雙曲線的影響等.

例3已知△ABC的頂點(diǎn)A（-3，0），B（3，0），若頂點(diǎn)C在拋物線y2=6x上移動(dòng)，求△ABC的重心的軌跡方程.

解析設(shè)△ABC的重心G（x，y），點(diǎn)C（x′，y′），

則有x=-3+3+x′3，y=0+0+y′3. 即x′=3x，y′=3y.

因?yàn)辄c(diǎn)C在曲線y2=6x上，所以有（3y）2=6×3x，即y2=2x.

因?yàn)槿切蔚娜齻€(gè)頂點(diǎn)不能共線，所以y≠0.

故△ABC的重心的軌跡方程為y2=2x（y≠0）.

點(diǎn)評(píng)本題是典型的相關(guān)點(diǎn)法求軌跡方程，題目中三點(diǎn)A，B，C要構(gòu)成三角形，因此三個(gè)頂點(diǎn)不能共線，這就對(duì)軌跡方程產(chǎn)生范圍.

例4圓x2+y2=4，A（-1，0），B（1，0），動(dòng)拋物線過(guò)A，B兩點(diǎn)，且以圓的切線為準(zhǔn)線，則拋物線的焦點(diǎn)軌跡方程為.

解析根據(jù)拋物線的定義，焦點(diǎn)F到A和B的距離之和等于A和B分別到準(zhǔn)線的距離和.如圖1，點(diǎn)A和B到準(zhǔn)線的距離分別為|AM|，|BN|，點(diǎn)O到準(zhǔn)線的距離為|OP|，由梯形的中位線知|AM|+|BN|=2|OP|=2r=4.

故|FA|+|FB|=4.

所以焦點(diǎn)的軌跡方程C是以A和B為焦點(diǎn)的橢圓，軌跡方程為x24+y23=1.

上述求解用到了梯形的中位線，考慮特殊情況：當(dāng)切線為x=±2時(shí)，此時(shí)M，N重合，A，B，M，N不構(gòu)成梯形，顯然此時(shí)焦點(diǎn)F（±2，0），焦點(diǎn)在準(zhǔn)線上，不符合題意，故拋物線焦點(diǎn)的軌跡方程為x24+y23=1（y≠0）.

例5已知雙曲線x22-y2=1的左、右頂點(diǎn)分別為A1，A2，點(diǎn)P（x1，y1），Q（x1，-y1）是雙曲線上不同的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn).求直線A1P與A2Q交點(diǎn)的軌跡E的方程.

解法1由A1，A2為雙曲線的左右頂點(diǎn)知，A1（-2，0），A2（2，0）.

則A1P：y=y1x1+2（x+2），

A2Q：y=-y1x1-2（x-2）.

兩式相乘，得y2=-y21x21-2（x2-2）.

因?yàn)辄c(diǎn)P（x1，y1）在雙曲線上，

所以x212-y21=1.

即y21x21-2=12.

所以y2=-12（x2-2）.

即x22+y2=1.

由于點(diǎn)P（x1，y1），Q（x1，-y1）是雙曲線上不同的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P為左、右頂點(diǎn)A1，A2時(shí)，P，Q重合，此時(shí)直線A1P與A2Q交點(diǎn)也為左、右頂點(diǎn)A1，A2，不符合題意；

又雙曲線x22-y2=1的漸近線為y=±22x，當(dāng)點(diǎn)P在無(wú)限遠(yuǎn)處時(shí)，直線A1P，A2Q與漸近線平行，此時(shí)其交點(diǎn)為（0，±1），不符合題意；

故直線A1P與A2Q交點(diǎn)的軌跡E的方程為

x22+y2=1，（x≠±2，x≠0）.

解法2由A1，A2為雙曲線的左右頂點(diǎn)知，

A1（-2，0），A2（2，0）.

則A1P：y=y1x1+2（x+2），

A2Q：y=-y1x1-2（x-2）.

聯(lián)立解得交點(diǎn)坐標(biāo)為x=2x1，y=2y1x1.

即x1=2x，y1=2yx.①

因?yàn)辄c(diǎn)P（x1，y1）在雙曲線x22-y2=1上，x212-y21=1，將①代入得x22+y2=1.

下面根據(jù)求解過(guò)程確定軌跡方程的范圍：

由x=2x1知x≠0，又顯然x1≠±2，故x≠±2，

于是直線A1P與A2Q交點(diǎn)的軌跡E的方程為x22+y2=1（x≠

±2，x≠0）.

3 根據(jù)幾何圖形的特征確定軌跡的范圍

一些軌跡問(wèn)題中，由于題中幾何圖形的特征，軌跡往往被限制在某部分，這時(shí)需要先作出題中的幾何圖形，然后細(xì)致觀察軌跡的大概分布情況.

例6已知橢圓x22+y2=1，求斜率為2的平行弦的中點(diǎn)軌跡方程.

解析設(shè)弦兩端點(diǎn)分別為M（x1，y1），N（x2，y2），線段MN的中點(diǎn)R（x，y），則

x21+2y21=2，x22+2y22=2，x1+x2=2x，y1+y2=2y，

①②③④

①-②，得

（x1+x2）（x1-x2）+2（y1+y2）（y1-y2）=0.

由題意知x1≠x2，則上式兩端同除以x1-x2，有

x1+x2+2（y1+y2）y1-y2x1-x2=0.

將③④代入得x+2yy1-y2x1-x2=0.⑤

將y1-y2x1-x2=2代入⑤得所求軌跡方程為

x+4y=0.

顯然中點(diǎn)在橢圓內(nèi)，故所求軌跡方程為

x+4y=0（橢圓x22+y2=1內(nèi)部分）.

例7求與⊙C1：x2+（y-1）2=1和⊙C2：x2+（y+1）2=4都外切的圓的圓心M的軌跡方程.

解析設(shè)動(dòng)圓M的半徑為r，因?yàn)椤袽與⊙C1，⊙C2都外切，所以|MC1|=r+1，|MC2|=r+2.

所以|MC2|-|MC1|=1.

所以點(diǎn)M的軌跡是以C2，C1為焦點(diǎn)的雙曲線的上支，且有

a=12，c=1，b2=c2-a2=34.

所以所求的雙曲線的方程為

4y2-4x23=1（y≥12）.

但是上述結(jié)果是錯(cuò)誤的！如圖2，顯然軌跡應(yīng)該在⊙C1和⊙C2的外面，聯(lián)立x2+（y-1）2=1，x2+（y+1）2=4解得y=34.

故所求的雙曲線的方程為4y2-4x23=1（y>34）.

例8已知圓F1：x2+y2+4x=0，圓F2：x2+y2-4x-12=0，一動(dòng)圓與圓F1和圓F2同時(shí)內(nèi)切.求動(dòng)圓圓心M的軌跡方程.

錯(cuò)解由圓F1：x2+y2+4x=0，得

（x+2）2+y2=4.

可知F1（-2，0），其半徑為2.

由圓F2：x2+y2-4x-12=0，得

（x-2）2+y2=16，

可知F2（2，0），其半徑為4.

設(shè)動(dòng)圓半徑為r，

圓M與圓F1和圓F2同時(shí)內(nèi)切，

故|MF1|=r-2，|MF1|=r-4.

于是|MF1|-|MF2|=2<|F1F2|=4.

故動(dòng)圓圓心M的軌跡是以F1，F(xiàn)2為焦點(diǎn)的雙曲線的右支，其軌跡方程為x2-y23=1（x≥1）.

上述解法是不完整的，原因是沒(méi)有結(jié)合具體圖形的位置考慮，需要畫(huà)出圖形，仔細(xì)觀察求解.

解析如圖3，需要分兩種情形討論：由圓F1：x2+y2+4x=0，得（x+2）2+y2=4，

可知F1（-2，0），其半徑為2.

由圓F2：x2+y2-4x-12=0，得

（x-2）2+y2=16，

可知F2（2，0），其半徑為4.

設(shè)動(dòng)圓半徑為r，

（1）當(dāng)動(dòng)圓M在圓F1，F(xiàn)2外面時(shí)：

|MF1|=r-2，|MF1|=r-4，

故|MF1|-|MF2|=2<|F1F2|=4.

所以動(dòng)圓圓心M的軌跡是以F1，F(xiàn)2為焦點(diǎn)的雙曲線的右支，其軌跡方程為x2-y23=1（x≥1）.

（2）當(dāng)動(dòng)圓M在圓F1，F(xiàn)2里面時(shí)：

|MF1|=2-r，|MF1|=4-r，

故|MF2|-|MF1|=2<|F1F2|=4.

所以動(dòng)圓圓心M的軌跡是以F1，F(xiàn)2為焦點(diǎn)的雙曲線的左支位于兩圓內(nèi)部的部分，其軌跡方程為x2-y23=1（-32

綜上，動(dòng)圓圓心M的軌跡方程為

x2-y23=1（-32

4結(jié)束語(yǔ)

在求解軌跡問(wèn)題時(shí)，需要考慮軌跡方程的純粹性和完備性，這可以培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理能力和思維的嚴(yán)密性.對(duì)于軌跡方程的純粹性，要結(jié)合代數(shù)式、方程本身的意義或范圍、圖形中的特殊情形（特殊點(diǎn)、特殊位置）和幾何圖形的特征來(lái)細(xì)致考慮.

參考文獻(xiàn)：

［1］?許莉.求軌跡方程方法研究[J].中學(xué)教學(xué)參考，2023（17）：13-16，34.

［責(zé)任編輯：李璟］