基于頑固個體的輿論演化動力學研究

許朝瑞 朱月英 江健 劉杰

摘 要：由于經典Hegselmann-Krause模型在研究觀點演化時沒有考慮到個體差異、社會影響力、信息傳播的復雜機制等因素，我們在該模型中引入一定比例的頑固個體，并通過網絡結構來刻畫個體作用之間的差別，進而研究異質群體的輿論演化動力學行為，并分析網絡結構和頑固個體比例對輿論演化動力學的影響。結果表明，在沒有頑固個體的情況下，高信任閾值會促進共識態的形成，而頑固個體的存在則會導致群體觀點的碎片化分布，且高信任閾值并不有利于群體形成局部共識。此外，對比基于度異質性引入頑固個體的不同選擇策略下的研究結果發現，選擇度較大的個體作為頑固個體時最有利于群體形成局部共識， 網絡結構、頑固個體比例和頑固個體的選擇策略對系統弛豫時間也有顯著影響。這些發現對于揭示真實社會系統中輿論演化的宏觀規律和內在機理具有重要意義。

關鍵詞：HK模型；輿論動力學；網絡結構；頑固個體

中圖分類號：O29 文獻標識碼：A 文章編號：2095－414X（2024）02－0084－07

0 ?引言

輿論作為一個獨立的綜合術語最早出現在18世紀，通常用來描述公眾廣泛共享的觀念、看法、判斷或情緒^[1]。輿論是指社會公眾在特定事件下表達個體意見，并通過這些意見之間的相互作用形成的觀點，是人類特有的社會現象^[2]。輿論動力學是研究輿論形成機制和人類觀點演化規律的學科。在重大熱點事件中，個體觀點通過交互與群體觀點互動，促使觀點逐步完善。該理論考慮了來自社會文化、民族情感、區域經濟、宗教信仰等多方面的影響因素，這些因素源于人類獨有的認知、情感和歷史等多維因子的綜合作用^[3]。輿論的形成是一個動態的、連續的、融合的過程，個體根據群體間意見的相近性不斷調整自己的意見，眾多意見相互碰撞、影響，使得輿論處于持續演變的狀態^[4]。

在前文綜述了輿論的歷史起源及其動態演變，為了深入地理解和分析這一復雜而動態的社會現象，我們將深入探討輿論動力學模型，輿論動力學模型主要分為四類：離散輿論動力學模型、連續輿論動力學模型、混合動力學模型和其它動力學模型。常見的離散輿論動力學模型包括：Sznajd模型^[5]、Ising模型^[6]、Voter模型^[7]、Majority rule模型^[8]；連續輿論動力學模型以有界信任閾值模型著稱，主要包括Deffuant Weisbuch （DW）模型^[9]和Hegselmann- Krause（HK）模型^[10]，這兩種連續輿論動力學模型都將信任閾值作為影響意見演變的主要因素，即個體更偏向于跟與其意見差值在信任閾值范圍內的其他個體進行交流^[11]。然而，在DW模型中，每個個體在每一時刻僅與一個滿足信任閾值條件的其他個體通信^[12]，但在HK模型中，每個個體^[13]可以同時與多個個體進行通信，這在社交網絡中更為現實。根據信任閾值的設置特點可以分別定義同質和異質HK模型。同質HK模型中所有個體的信任閾值都相同，而異質HK模型對不同個體設置不同的信任閾值。

異質HK模型由于考慮了不同個體在信任閾值參數上的差異性，所以能刻畫更符合理論實際的輿論演化動力學行為，從而得到了相關領域學者的廣泛關注。Lorenz J等^[14]通過研究異質HK模型揭示了具有兩種不同信任閾值的社會群體仍然可以在觀點上達成共識，且這兩種信任閾值都顯著低于同質HK模型的臨界信任閾值。Kou G等^[15]運用社會分化理論將群體劃分為不同信任閾值的意見子群體，進而建立多層次異質群體的輿論動力學模型，分析了異質個體比例、初始意見和群體規模對集體意見演變的影響。Yang Y?等^[16]在經典HK模型的基礎上引入權重矩陣刻畫不同個體在影響其他個體意見改變能力方面的差異性，并進一步研究了加權HK模型的收斂行為。Fu G等^[17]考慮到真實社會系統中異質個體的存在，將系統中的個體分為三類：思想開放個體、思想溫和個體和思想封閉個體，通過考慮信任閾值在不同類別個體之間的差異性分析了不同群體的人口規模對輿論演化行為的影響。Chen S等^[18]使用有界信任閾值模型分析了競爭性意見領袖的聲譽、頑固性、吸引力和極端性對社會群體共識形成的影響，相關結果強調了領導者的靈活性和吸引力對成功吸引追隨者和在競爭環境中取得影響力的重要性。Cheng C等^[19]通過引入群體壓力對個體觀點演化的影響研究了更符合理論實際的群體輿論演化動力學行為，發現群體壓力的存在更有利于系統共識態的達成。Chen G等^[20]在HK模型中引入環境噪聲和通信噪聲，發現系統在準同步和觀點差異上限方面存在相變，揭示了個體異質性可能導致現實中意見難以同步的原因。Xu H等^[21]通過引入媒體素養對HK模型進行改進，媒體素養可以幫助個體更準確地選擇鄰居進行通信，研究發現改進的HK模型不受置信限制的影響，可以實現更快的通信和更短的收斂時間，同時對環境噪聲表現出強大的魯棒性。Vasca F等^[22]將一個群體分成若干個小群體，研究了個體在異質置信度情況下的輿論演化動力學行為。Bernardo C等^[23]考慮了具有置信閾值適應策略的異質群體輿論動力學行為，提出了在有限時間內達成實際共識的充分條件，而這一條件的獲得取決于置信閾值自適應算法參數的穩態實際簇的最大數量的上限。Xu M等^[24]通過考慮有爭議問題的單邊和雙邊呈現方式的影響，對經典HK模型進行了改進，并引入了一種基于信息型教育的新型HK模型。

經典HK模型的輿論演化動力學將系統中的個體看成是同質的，即每個個體具有相同的屬性，在觀點演化過程中，每個個體會根據與其有連邊的所有其他個體觀點的平均值更新自己的觀點。然而，在真實社會系統中，個體總會有不同于他人的屬性，如性格特征，興趣愛好，心理偏向等^[25-26]。基于這一事實，本文中我們在經典HK輿論動力學模型中引入頑固個體，頑固個體由于其性格原因，在觀點演化過程中始終堅持自己最初的觀點，即觀點保持不變。進而研究頑固個體的比例和網絡結構對輿論演化動力學的影響。我們在第二部分詳細介紹了經典HK模型和基于頑固個體改進后的輿論動力學模型。在第三部分，我們考慮兩種網絡結構：規則網絡和Barabási—Albert（BA）無標度網絡^[27]，通過調整模型和網絡參數得到數值仿真結果，并對結果進行分析。第四部分對主要結果進行總結。

1 ?模型介紹

在經典的HK模型中，假設一個群體中有N個體，每個個體都有一個隨時間變化的意見值，且，并且這個個體只會與跟自己意見差值在信任閾值范圍內的個體交互意見。這種機制是基于一種現實現象提出的，即如果一個人覺得自己的意見與他人相比存在很大差距，他/她就不愿意接受另一個人的意見。個體i在t時刻的鄰居集可以表示為

（1）

經典HK模型的意見更新規則為

（2）

其中，表示中元素的個數。

研究發現，隨著信任閾值q的增大，系統會從多種觀點共存的狀態逐漸演變到只有一種觀點存在的狀態（共識態），也就是說系統會發生從無序態到有序態的相變。但是經典HK模型是在兩個假設的基礎上建立的：1）平均場極限：系統中的個體充分混合，每個個體以相同的概率與所有其他個體進行交流；2）個體同質：每個個體擁有同等且不依賴于時間的能力，去說服其他個體接受某一觀點。但在真實社會系統中，個體總是偏向于跟自己身邊的親人、朋友或同事等少數個體交流，與其他大部分個體交流的概率幾乎為零。此外，總會有一些思想封閉的個體，通常稱為頑固個體，在系統演化過程中始終保持自己的觀點不變。因此，為了研究更符合理論實際的個體觀點的演化動力學行為，我們在經典HK模型的基礎上通過引入網絡結構刻畫個體相互作用之間的差別，同時還考慮了一定比例的頑固個體的存在，進而研究網絡結構和頑固個體比例對輿論演化動力學行為的影響。

對于每個特定的時間t：如果節點i是頑固個體，則其觀點保持不變，

. ?????????????????????（3）

如果節點i不是頑固個體，則其觀點將按照在考慮網絡結構影響的基礎上修改過的HK模型的演化規則進行更新，

. ?????????????（4）

其中，表示中元素的個數，且

，（5）

其中，N是網絡中的節點數，是網絡鄰接矩陣A的元素，定義為：

（6）

我們引入參數p表示系統中頑固個體的比例，取值范圍為（0， 1），q表示信任閾值，取值范圍（0，1]。此外，個體的意見融合過程是基于網絡傳播的，而現實中存在多種類型的網絡結構，如隨機網絡模型、小世界網絡模型、無標度網絡模型等^[28-29]，在本文的工作中，我們旨在研究頑固個體比例以及網絡拓撲結構對個體觀點演化行為的影響。

2 ?數值模擬

根據上面建立的模型，我們對系統進行蒙特卡羅模擬。初始時刻，個體的觀點在[0，1]之間均勻分布。為了綜合考慮頑固個體和個體相互作用異質性的影響，在給定參數p的情況下，對于在規則網絡中，我們在系統中隨機選擇p*N個體作為頑固個體；對于在BA無標度網絡中，我們分別通過三種策略選擇系統中的個體作為頑固個體。策略1：在系統中隨機選擇p*N個體作為頑固個體；策略2：選擇前p*N個度最大的個體作為頑固個體；策略3：選擇前p*N個度最小的個體作為頑固個體，進而分析不同策略下個體觀點演化行為之間的差異。

2.1 ?個體觀點隨時間的演化

圖1描述了網絡節點N為100、平均度k為4的規則網絡中，不同參數p和q下，個體觀點隨時間的演化情況。從圖中我們可以發現：當系統中沒有頑固個體存在，即p=0時，觀點演化最終結果會因為q的增大，導致觀點由碎片化分布轉為共識態。說明當整個系統中沒有頑固個體時，信任閾值q的大小將直接影響最終的演化結果。但是當系統中存在頑固個體時，我們發現信任閾值的變化對最終觀點演化的影響并不大，都將導致最終觀點的碎片化分布。從側面說明當系統中存在頑固個體時，系統很難達到共識態。

為了考慮網絡結構異質性對觀點演化行為的影響，接下來我們研究了BA無標度網絡上不同參數p和q下個體觀點的演化情況，如圖2所示。圖2（a）- 圖2（c）依次對應采取策略1、策略2和策略3設置頑固個體時的觀點演化結果。我們發現其最終演化結果和圖1中規則網絡上的演化結果差別不大，說明當有頑固個體存在時，不同的網絡拓撲結構對個體觀點的最終演化結果影響不大，但是BA無標度網絡上的個體更容易在觀點上達成局部共識。此外，對比設置

頑固個體的不同策略下的結果發現，個體觀點的演化行為和系統達到穩定態的時間都有所不同。策略1 （隨機選擇頑固個體）對應的系統達到穩定態的時間最長，但個體觀點卻最容易形成局部共識，而策略2（選擇度大的個體作為頑固個體）對應的系統中的個體最不容易達成局部共識。

2.2 ?最大社團的分析

從上面研究的個體觀點隨時間的演化情況可以發現，信任閾值q、頑固個體比例p、頑固個體設置策略以及網絡結構對個體觀點的聚類行為具有較大影響。因此，下面我們將著重分析個體觀點的聚類行為。將觀點差值不超過0.01的個體定義為一個社團，我們重點關注系統達到穩定后不同參數對最大社團尺寸的影響。其中為了獲得更為穩健和可靠的結果，同時減小由于隨機性引起的波動，更好地理解系統的行為，設置系統獨立模擬的次數n_s=100，即所有結果都是100次獨立模擬下的系綜平均值。

我們首先研究了規則網絡上不同網絡平均度和不同頑固個體比例情況下最大社團歸一化尺寸=（，為最大社團中個體的數目）隨信任閾值參數q 的分布情況，如圖3所示。研究發現：當有頑固個體存在時，最大社團尺寸隨參數q的分布會存在一個峰值，且在該峰值附近，網絡平均度越大，最大社團尺寸越大。當網絡平均度相同時，頑固個體比例越大，最大社團尺寸越小。

接下來我們研究了頑固個體的不同選取策略對最大社團尺寸的影響，相關結果如圖4所示。網絡節點N為1000，平均度k為10的無標度網絡，通過設置不同參數p，得到的最大社團歸一化尺寸隨參數q的分布情況。從圖中可以看出，與規則網絡上的結果類似的，當有頑固個體存在時，最大社團尺寸隨參數q的分布會出現一個峰值，并且峰值所對應的參數q（約為0.23）的值受頑固個體比例p以及頑固個體選取策略的影響較小。此外，無論采取哪種策略設置頑固個體，頑固個體所占比例p越大，最大社團尺寸越小。我們也發現：當頑固個體所占比例p確定時，相同參數q下，選擇度較大的個體作為頑固個體時最大社團尺寸最大，隨機選擇個體作為頑固個體次之，選擇度較小的個體作為頑固個體時最大社團尺寸最小。

圖3 ?在網絡節點N為1000的規則網絡中，平均度k分別為4（左圖）、10（右圖），不同參數p下最大社團歸一化尺寸隨參數q的分布情況

圖4 ?在網絡節點N為1000，平均度k為10的無標度網絡中，設置不同參數p，得到的最大社團隨參數q的分布情況圖，從左往右頑固個體的設置依次采取策略 1、策略 2和策略3

為了深入研究網絡結構和頑固個體對觀點聚類行為的影響，我們進一步分析了最大社團尺寸隨參數q分布的峰值大小以及峰值所對應q的值對網絡結構和參數p的依賴情況，如圖5所示，表示分布的峰值大小，分布的峰值所對應的q的取值用表示。從圖5（a）中可以看出最大社團尺寸隨參數q分布的峰值會隨著參數p的增大而減小，且不同網絡結構以及頑固個體選擇策略對相關結果的影響變化趨勢一致。在圖5（b）中，取頑固個體比例p=0.01，研究發現，隨網絡平均度k的增大而減小，在BA無標度網絡中，采取策略2來設置頑固個體，隨網絡平均度k的變化劇烈，說明對平均度的依賴較強;在規則網絡中，的變化較為平緩，不隨平均度k的波動而顯著變化，對平均度的依賴較弱。

2.3 ?系統弛豫時間的研究

系統的弛豫時間即系統達到穩定態時所對應的時間步長，在這里我們用表示，從前面個體觀點隨時間的演化分布圖可以發現，網絡結構和頑固個體比例對系統弛豫時間都有較明顯的影響，因此，我們下面將對此做具體研究。

2.3.1 ?系統弛豫時間隨頑固個體比例的變化情況

我們首先探討了系統弛豫時間隨參數p的分布，研究發現在規則網絡下，當p>0時，信任閾值q較小時，隨著p增加，系統弛豫時間會先上升然后下降；當信任閾值較大時，系統弛豫時間都會隨著參數p單調減小。而在BA無標度網絡中，當p>0，無論信任閾值取多大，系統弛豫時間始終隨參數p增大而減小。研究還表明，頑固個體的不同設置策略對系統弛豫時間的影響較大，如圖6，我們發現隨機選擇個體作為頑固個體時，系統弛豫時間較長，而當我們選擇度值小的個體以及選擇度值較大個體的作為頑固個體時，系統弛豫時間相差不大。

圖6 ?不同網絡結構和信任閾值參數下系統弛豫時間隨參數p的分布圖，（a）是在網絡節點N為 1000， 平均度k為4的規則網絡上的分布圖；（b）、（c）、（d）分別對應的是在網絡節點N為1000， 平均度k為4的BA無標度網絡中，頑固個體的設置依次采取策略1、策略2、策略3得到的分布圖

2.3.2 ?系統弛豫時間隨平均度k的變化情況

從圖7中我們發現，當網絡結構為規則網絡時，隨著網絡的平均度的增加，系統弛豫時間隨著k先增加然后保持不變，對于在BA無標度網絡中，網絡的平均度的變化對系統達到穩定并無太大影響。同時，我們也發現，網絡結構的不同對系統達到穩定的時間是有影響的，相同參數情況下，規則網絡上系統達到穩定時間大于在BA無標度網絡上系統達到穩定的時間。

3 ?結論

本文中我們主要考察了基于頑固個體的輿論演化動力學行為，通過在規則網絡和BA無標度網絡上的模擬研究揭示了信任閾值（q）、頑固個體比例（p）、頑固個體設置策略、網絡拓撲結構對個體觀點演化及聚類行為的顯著影響。研究結論如下。第一，頑固個體的存在會導致群體觀點的碎片化分布，且高信任閾值并不有利于群體形成局部共識。第二，當系統中存在頑固個體時，最大社團尺寸隨信任閾值的分布存在峰值，且峰值對應信任閾值參數的取值對頑固個體比例及頑固個體選取策略的依賴較小；相同參數下，選擇度較大的個體作為頑固個體時最大社團尺寸最大，說明其最有利于群體形成局部共識。第三，系統的弛豫時間嚴格依賴于網絡的拓撲結構、頑固個體比例和頑固個體的選擇策略，在規則網絡中，頑固個體比例的增加初期會導致系統弛豫時間上升，隨后下降；而在BA無標度網絡中，系統弛豫時間始終隨著頑固個體比例的增加而減小，其中頑固個體的隨機選擇策略導致系統弛豫時間最長。

整體而言，這些實驗結果揭示了頑固個體、信任閾值以及網絡結構對群體觀點演化的復雜影響。頑固個體的存在顯著改變了輿論動力學的演化行為，而網絡的拓撲結構和平均度也在觀點的形成和演化中起到了關鍵作用。這些發現對于理解社交網絡中觀點的形成和演化具有重要意義，并為分析社會網絡動態、社會動力學模型的建立和實際政策的制定提供了參考依據。

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The Study of Opinion Dynamics based on Stubborn Individuals

XU?Chaorui，ZHU?Yueying，JIANG?Jian，LIU?Jie

（a. Research Center of Applied Mathematics and Interdisciplinary Sciences; b. School of Mathematical and Physical Sciences，

Wuhan Textile University， Wuhan Hubei 430200， China）

Abstract：Due to the classical Hegselmann-Krause model neglecting factors such as individual differences， social influence， and the complex mechanisms of information propagation in studying opinion evolution， we introduce a certain proportion of stubborn individuals in this model. We characterize the differences in individual interactions through a network structure， thereby investigating the dynamical behavior of opinion evolution in heterogeneous populations. We also analyze the impact of network structure and the proportion of stubborn individuals on the dynamics of opinion evolution. The results indicate that in the absence of stubborn individuals， a high trust threshold promotes the formation of consensus states. However， the presence of stubborn individuals leads to a fragmented distribution of group opinions， and a high trust threshold is not conducive to the formation of local consensus within the group. Furthermore， contrasting research results under different selection strategies for introducing stubborn individuals based on degree heterogeneity reveal that selecting individuals with higher degrees as stubborn individuals is most favorable for the formation of local consensus within the group. The network structure， the proportion of stubborn individuals， and the selection strategy for stubborn individuals also significantly impact the system's relaxation time.These findings are of paramount significance in unraveling the macroscopic patterns and underlying mechanisms of opinion evolution in real-world social systems.

Keywords：HK Model; Opinion Dynamics; Network Structure; Stubborn individual

（責任編輯：田媛苑）