基于Lotka-Volterra模型的社交平臺的流量之爭分析

凌世祎

摘要：文章以抖音與微信活躍用戶數量作為研究對象，在Lotka-Volterra模型的基礎上加以改進，建立抖音與微信社交軟件平臺之間的用戶數競爭模型并進行全面的動力學行為分析，得出抖音和微信市場規模達到正平衡點可實現資源的合理利用，實現最大經濟效益。

關鍵詞：Lotka-Volterra模型；競爭關系；平衡點；抖音與微信

doi：10.3969/J.ISSN.1672-7274.2024.04.023

中圖分類號：TN 929.5，TP 393.4? ? ? ? ? 文獻標志碼：B? ? ? ? ? ?文章編碼：1672-7274（2024）04-00-03

Analysis of Traffic Controversy on Social Platforms Based on Lotka-Volterra Model

LING Shiyi

（School of Mathematics and Statistics， Northeastern University at Qinhuangdao， Qinhuangdao 066099， China）

Abstract： This paper takes the number of active users of Tiktok and WeChat as the research object， improves the Lotka-Volterra model， establishes a user number competition model between Tiktok and WeChat social software platform， makes a comprehensive dynamic behavior analysis， Tiktok and WeChat market scale reach a positive balance point， which can realize reasonable utilization of resources and achieve maximum economic benefits.

Keywords： lotka volterra model; competitive relationships; balance point; Tiktok and WeChat

隨著信息技術的加速迭代，社交媒體平臺開始步入全面勃興的新階段。不同的社交平臺之間存在競爭關系，而占用活躍用戶數量越多的應用將會獲得越多的市場份額，在市場中處于優勢地位。因此分析不同社交媒體之間的競爭關系，以期達到資源的合理利用是相當重要的。

1? ?預備知識

一個經典的描述兩個種群互相競爭的Lotka-Volterra模型為[1]

（1）

式中，分別表示種群x和種群y數量的凈增長率，分別表示種群y對x和種群x對y的影響因子，分別代表環境資源容許的種群x和種群y的最大數量，表示種群x和y的種內作用系數。

2? ?模型建立

2.1 單一社交軟件情況

根據Malthus模型[2]，假設只考慮單一社交軟件，而忽略不同社交軟件之間的競爭，在沒有限制的情況下，該社交軟件的用戶數量每年以一定的倍數增長，將此常數表示為r。

在t到t+Δt時間內該社交軟件的用戶群體數量x=x（t）的增長量為：

（2）

于是x（t）滿足微分方程：

（3）

在實際情況中，根據Logistic模型[2]，由于用戶規模總是受到政策、用戶使用偏好等因素的限制，不可能呈現指數增長趨勢，為此引入環境容量，用k表示，此時，用戶數量增長情況模式可修正為：

（4）

而在一定區域內所能提供的用戶數量是有限的，即各個區域的市場大小是有限的，它也會影響這個社交軟件用戶規模的增長，為此再引入區域最大市場容量N，得到：

（5）

式中，隨著x的不斷增加，不斷下降，可知環境容量和區域市場對該社交軟件用戶規模的增長有阻滯效應，且為該模型的平衡點。

2.2 引入競爭社交軟件的情況[3]

在單一社交軟件系統的情況下，再引入同類的競爭性社交軟件，這兩種社交軟件分別表示為x、y，對它們在同一區域內的競爭情況進行分析。

區域最大市場容量用N表示，兩種社交軟件的環境容量分別為k1和k2，用戶增長率分別為r1、r2，基于2.1中的分析，建立了以下模型：

（6）

式中，表示單位用戶選擇社交軟件2對社交軟件1的替代作用，其替代因子為b1。b1、b2沒有確定性關系，它們的大小取決于社交軟件自身的市場搶占競爭力。

實際情況可分為六種：，由于k1、k2的對稱性，下面對其中的三種情況進行討論。

2.2.1 的情況

在情況下，各個社交軟件所能容納的最大用戶數量小于這個區域所能提供的最大用戶數量，在此情況下，可將式（6）改寫為：

（7）

此時4個平衡點分別為P1（k1，0）、P2（0，k2）、P3、P4（0，0），下面討論其穩定性。

當b1<1、b2<1時，系統軌跡都將趨向平衡點P3，此時P1（k1，0）、P2（0，k2）不穩定，P3處于穩定狀態。

當b1<1、b2>1時，系統軌跡都將趨向均衡點P1（k1，0），此時，P2（0，k2）、P3不穩定，P1處于穩定狀態。

當b1>1、b2<1時，系統軌跡都將趨向平衡點P2（0，k2），此時，P1（k1，0）、P3不穩定，P2處于穩定狀態。

當b1>1、b2>1時，P3為鞍點，不穩定，軌線開始趨向于P3，而后又遠離P3，達到一定程度后軌線或者趨近于P1，或者趨近于P2，具體路徑由軌線的初始狀態決定。

2.2.2 的情況

在此情況下，可將式（6）改寫為：

（8）

此時4個平衡點分別為P1（k1，0）、P2（0，N）、P3、P4（0，0），下面討論其穩定性：

（1）當b1<1、b2<1時，系統軌跡都將趨向平衡點P3，此時P1（k1，0）、P2（0，N）不穩定，P3處于穩定狀態。

（2）當b1<1、b2>1時，系統軌跡都將趨向平衡點P1（k1，0），此時，P2（0，N）、P3不穩定，P1處于穩定狀態。

（3）當b1>1、b2<1時，系統軌跡都將趨向均衡點P2（0，N），此時，P1（k1，0）、P3不穩定，P2處于穩定狀態。

（4）當b1>1、b2>1時，P3為鞍點，不穩定，軌線開始趨向于P3，而后又遠離P3，達到一定程度后軌線或者趨近于P1，或者趨近于P2，具體路徑由軌線的初始狀態決定。

2.2.3 的情況

在此情況下，可將式（6）改寫為：

（9）

此時4個平衡點分別為P1（N，0）、P2（0，N）、P3、P4（0，0），下面討論其穩定性。

（1）當b1<1、b2<1時，系統軌跡都將趨向平衡點P3，此時P1（N1，0）、P2（0，N）不穩定，P3處于穩定狀態。

（2）當b1<1、b2>1時，系統軌跡都將趨向平衡點P1（N，0），此時，P2（0，N）、P3不穩定，P1處于穩定狀態。

（3）當b1>1、b2<1時，系統軌跡都將趨向平衡點P2（0，N），此時，P1（N，0）、P3不穩定，P2處于穩定狀態。

（4）當b1>1、b2>1時，P3為鞍點，不穩定，軌線開始趨向于P3，而后又遠離P3，達到一定程度后軌線或者趨近于P1，或者趨近于P2，具體路徑由軌線的初始狀態決定。

2.3 得出結論

兩個社交軟件在競爭中可以長期共存，在P3點達到平衡，社交軟件1最后的用戶規模為，社交軟件2最后的用戶規模為。

3? ?實證結果及數值仿真

3.1 研究對象及數據來源

本文以抖音和微信這兩種社交軟件為例，選取了各社交軟件從2018年第一季度起每季度的活躍用戶數量作為實證檢驗的核心數據，數據的可視化分析如圖1所示。

經分析可知，微信活躍用戶數量的平均值遠高于抖音，但是抖音的用戶規模增長迅速，并且其在2022年第三季度的活躍用戶數量略大于微信的活躍用戶數量。總體上來說，微信的市場規模占有較大優勢，但是抖音迅速增長的用戶群體也體現出其不可小覷的競爭實力。

3.2 數值仿真及結果分析

為了探究社交軟件的競爭演化規律，現利用Matlab軟件進行數值模擬分析。設x為微信，y為抖音，時間分度值為1季度。從2018年開始統計，取兩種社交軟件的初始規模：微信1 000（百萬）、抖音100（百萬），用戶規模最大數量參考2022年全球用戶最多的移動通信應用。設N1=2 000、N2=2 000，通過計算各季度用戶數量的凈增長率再取平均值得r1=0.0126、r2=0.14。兩種社交軟件彼此的影響較小，取b1=0.3、b2=0.2。

通過Matlab畫圖得到微信與抖音月活躍用戶數量隨時間變化以及二者的相軌線如圖2所示。

分析可知，截至2022年第三季度，二者用戶數量增長與實際基本一致，證實了模型的可靠性。2022年第三季度后抖音的活躍用戶數量會超過微信的活躍用戶數量，然后二者會處于一種長期共存的局面。

4? ?結束語

本文通過分析不同社交平臺之間的流量之爭，建立抖音與微信社交軟件平臺之間的用戶數競爭模型。首先，以Lotka-Volterra模型為基礎，綜合考慮實際情況，對模型進行了一定的改進；其次，對模型進行求解，分析了不同情況下的具體競爭規律；最后，聯系實際，分析了抖音和微信在達到正平衡點時實現了最合理的分配，資源得到了最有效的利用。該模型還可以應用到其他與實際生活相關類型的經濟競爭中，為此類問題的解決提供新的思路。■

參考文獻

[1] 溫金秋．三類種群競爭模型的動力學行為分析[D]．重慶：西南大學，2020.

[2] 王高雄．普通高等教育十一五國家級規劃教材：常微分方程（第3版）[M]．北京：高等教育出版社，2006.

[3] 靳城，陸玉麒，徐菁．基于Lotka-Volterra系統的旅游景點市場競爭分析[J]．南京師大學報（自然科學版），2007（2）：104-109.